精品解析：江苏如皋市石庄镇初级中学2025-2026学年七年级下学期第四次集中数学作业

2025-2026学年度第二学期第四次集中作业 数学 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 3. 已知，下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A. 2 B. 2或 C. 1 D. 6. 如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 8. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若两个非负数，满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点……按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．） 11. 为了画出某样本的频数分布直方图，小明对数据进行了分组．在整理数据后，发现数据的最小值为42，最大值为90，若组距取10，则数据可分成___________组． 12. 在中，，，则________ ． 13. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 14. 在平面直角坐标系中，平移线段，使点移到点，点移到点，若三点的坐标分别为，则点的坐标为___________． 15. 若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________． 16. 已知关于，的方程，当时，写出与的数量关系式______；若无论为何值时，方程总有一组解为（其中是常数），则的值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．） 17. （1）解方程组： （2）解不等式组，并写出该不等式组的正整数解． 18. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的平方根． 19. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了___________名观众，其中喜欢哪吒的有___________名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢申公豹角色对应的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有3000人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人？ 20. 在平面直角坐标系中，． （1）求的面积； （2）已知为轴上一点，若，求点的坐标． 21. 已知，在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的值． 22. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）求证． 23. 某超市为积极响应我市交管部门“骑行电瓶车时佩戴安全头盔”的号召，计划购进一批、两种型号的头盔．已知购进1个型头盔和2个型头盔需要180元；购进2个型头盔和1个型头盔需要210元． （1）购进1个型头盔和1个型头盔各需多少元？ （2）该超市计划用不超过3600元购进、两种不同型号的头盔共60个，且销售1个型头盔可获利40元，销售1个型头盔可获利30元，若超市要求总利润不低于元时有且仅有两种进货方案可供选择，求的取值范围． 24. 如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． （1）如图1，若，则的度数为___________． （2）当时，求证：； （3）如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 25. 综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数a，b，c，d，其中，”为条件进行了延伸探究． （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ∵， ∴， ∴， ∴． 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点B落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点D落在线段上； ③由图1可知，，，点D在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点A，B；作射线，…．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为O，判断与的大小关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第四次集中作业 数学 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、1是整数，属于有理数，不符合题意； B 、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C、0是整数，属于有理数，不符合题意； D、是整数，属于有理数，不符合题意． 故选：B． 2. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和普查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、了解某校八年级男生的身高情况，适宜普查，故本选项符合题意； B、了解镇江市全市空气质量情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解黄河流域现有鱼的种类，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； D、了解某品牌洗衣机的使用寿命，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 已知，下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得出答案． 【详解】解：A.两边都加4，不等号的方向不变，此选项错误； B. 两边都减3，不等号的方向不变，此选项错误； C. 两边都乘以，不等号的方向不变，此选项正确； D. 两边都乘以-2，不等号的方向改变，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是不等式的性质，熟记不等式性质内容是解此题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据，得出点位于第一象限，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点位于第一象限， 故选：A 5. 如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A. 2 B. 2或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 6. 如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是，， ∴设这个三角形第三边长为， 则x的取值范围是：，即， 故这个三角形第三边的长可能是． 故选：B． 7. 如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，估算无理数的大小，进而得到的大小，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 由数轴上各点所表示的数可得， 故选：D． 8. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设买得醇酒斗，买得行酒斗，根据“现有30钱，买得2斗酒” 列方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒斗，买得行酒斗， ∵一共买得酒总共有2斗， ∴可得方程， ∵醇酒1斗价值50钱，行酒1斗价值10钱，一共花费30钱， ∴可得总花费方程， ∴可列方程组． 9. 若两个非负数，满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，由题意可得，再根据，为非负数可得且求得y的取值范围，然后将代入中得到关于y的代数式后求得其范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为非负数， ∴且， 即且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点……按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为1，2，2，4，4，，每5次一轮，每次比前一次起始多4这一规律，纵坐标为，，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4， 第6到10次运动横坐标分别为：， … ∴第到次运动横坐标分别为：， 前五次运动纵坐标分别为， 第6到10次运动纵坐标分别为， … 第到次运动纵坐标分别为， ∵， ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过2026次运动后，点的坐标是． 二、填空题（第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．） 11. 为了画出某样本的频数分布直方图，小明对数据进行了分组．在整理数据后，发现数据的最小值为42，最大值为90，若组距取10，则数据可分成___________组． 【答案】5 【解析】 【分析】根据组数=最大值与最小值的差除以组距来计算，组数应向上取整，计算解答即可． 本题考查了直方图中的组数的确定，熟练掌握确定的基本方法是解题的关键． 【详解】解：解：最大值与最小值的差是， 则可以分成的组数为： 组数应向上取整，故分为5组． 故答案为：5． 12. 在中，，，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为，结合已知两个内角的度数即可求解第三个内角的度数． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴ ． 13. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 14. 在平面直角坐标系中，平移线段，使点移到点，点移到点，若三点的坐标分别为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定是一个向左平移5个单位，向下平移3个单位的平移变换，确定平移坐标即可． 本题考查了坐标的平移，根据坐标确定平移方式，再确定平移坐标是解题的关键． 【详解】解：根据确定是一个向左平移5个单位，向下平移3个单位的平移变换， 故点平移后的坐标为． 故答案为：． 15. 若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知关于，的方程，当时，写出与的数量关系式______；若无论为何值时，方程总有一组解为（其中是常数），则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】将代入关于，的方程中整理后可得x与a的数量关系式；再将代入该方程，然后根据题意列得关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：将代入方程得， 将代入中得， 整理得：， 即， 关于的方程，无论为何值时，总有一组解为（其中是常数）， ∴， 解得：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．） 17. （1）解方程组： （2）解不等式组，并写出该不等式组的正整数解． 【答案】（1）（2），故其正整数解为：，，，， 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了方程组的解法，不等式组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：（1） 用得， ． 把代入②得， 解得， 这个方程组的解为：． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 这个不等式组的解集为：， 故其正整数解为：，，，，． 18. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，以及已知字母的值，求代数式的值． （1）根据平方根的意义求出a的值，再估算出的b值然后代入代数式进行计算即可解答； （2）把a，b的值代入中进行计算，然后再求出25的平方根即可解答． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵b是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，时， ， ∴的平方根为． 19. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了___________名观众，其中喜欢哪吒的有___________名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢申公豹角色对应的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有3000人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人？ 【答案】（1）150,60 （2）， 补图如下： ； （3）2100人 【解析】 【分析】根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，频数等于频率乘以样本容量计算即可． 根据圆心角的计算方法，频数等于频率乘以样本容量，先计算其他组的频数，后补图即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得样本容量为：， 喜欢哪吒的频数为， 故答案为：150,60． 【小问2详解】 解：根据题意，得喜欢申公豹角色对应的圆心角度数：， 根据题意，得其他的频数为，哪吒的频数为60； 【小问3详解】 解：根据题意，喜欢哪吒和敖丙的观众共有： （人）． 答：喜欢哪吒和敖丙的观众共有2100人． 20. 在平面直角坐标系中，． （1）求的面积； （2）已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，，得的面积为：． 【小问2详解】 解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 21. 已知，在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； 【小问2详解】 解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 22. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）求证． 【答案】（1） （2） 证明：平分， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形外角性质求出，即可求出，再根据三角形外角的性质求出即可； （2）根据是的平分线，得到，进而利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 略 23. 某超市为积极响应我市交管部门“骑行电瓶车时佩戴安全头盔”的号召，计划购进一批、两种型号的头盔．已知购进1个型头盔和2个型头盔需要180元；购进2个型头盔和1个型头盔需要210元． （1）购进1个型头盔和1个型头盔各需多少元？ （2）该超市计划用不超过3600元购进、两种不同型号的头盔共60个，且销售1个型头盔可获利40元，销售1个型头盔可获利30元，若超市要求总利润不低于元时有且仅有两种进货方案可供选择，求的取值范围． 【答案】（1）购进1个型头盔需要80元，购进1个型头盔需要50元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购进型头盔个，则购进型头盔个，根据题意列出一元一次不等式并求解，可得，进而可得当购进型头盔20个，购进型头盔40个时，总利润为2000元，当购进型头盔19个，购进型头盔41个时，总利润为1990元，当购进型头盔18个，购进型头盔42个时，总利润为1980元，根据题意，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元， 根据题意，可得， 解得． 答：购进1个型头盔需要80元，购进1个型头盔需要50元； 【小问2详解】 设购进型头盔个，则购进型头盔个， 根据题意，可得， 解得， ∴共有20种进货方案， ∵销售1个型头盔可获利40元，销售1个型头盔可获利30元， ∴购进的型头盔越多，利润越大， 当购进型头盔20个，购进型头盔40个时，总利润为元， 当购进型头盔19个，购进型头盔41个时，总利润为元， 当购进型头盔18个，购进型头盔42个时，总利润为元， ∴若仅有两种进货方案可供选择， 则的取值范围为． 24. 如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． （1）如图1，若，则的度数为___________． （2）当时，求证：； （3）如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： 根据（2）解答，得， 根据三角形内角和定理，得， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， 故． 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可． （2）根据（1）的证明解答即可； （3）根据（2）的结论，证明解答即可； 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数a，b，c，d，其中，”为条件进行了延伸探究． （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ∵， ∴， ∴， ∴． 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点B落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点D落在线段上； ③由图1可知，，，点D在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点A，B；作射线，…．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为O，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1）解：．理由如下： ，四个正数， ， ． （2）解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②作出点；在射线截取，，则点落在线段上； ③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F，④根据作图，得到四边形都是长方形，且；； ⑤根据长方形在长方形内部，得到， ⑥故． （3） （4）解：．理由如下： 如图，四边形中，，垂足为， 根据（3）中的结论，得， 故， 故， 故． 【解析】 【分析】（1）仿照题干给出的解法，利用不等式的性质即可作答． （2）仿照小丽的方法，构造一大一小两个长方形，根据大长方形的面积大于小长方形的面积即可得出结论． （3）过点B作于点E，得，故，利用不等式的性质，三角形的面积解答即可． （4）根据（3）的结论，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 过点B作于点E，则，故 ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $