精品解析：吉林省长春市第八十九中学2025-2026学年下学期期中考试 七年 数学试卷

吉林省长春市第八十九中学2025-2026学年下学期期中考试七年数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 方程 的解是( ) A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中，不成立的是( ) A. B. C. D. 3. 要求画 的边 上的高．下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的内角和等于180° D. 三角形的任意两边之和大于第三边 5. 一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则 的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正六边形和正三角形 B. 正六边形和正方形 C. 正八边形和正五边形 D. 正十二边形和正五边形 8. 下列不等式变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，且 ，得 C. 由，得 D. 由，得 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 在中，如果 ，那么__________． 10. 已知，用含 的代数式表示 ，则___________． 11. 用不等号填空：若，则______________________________． 12. 若一个多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形，它的内角和为_________度 13. 如图，在 中，点D是 的中点，，若 的面积为10，则 的面积是_______． 14. 已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当 时，不等式组的解集是； 若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有 个整数解，则； 若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（78分） 15. 解方程及方程组： （1）解方程： （2）解方程组：． 16. 解不等式及不等式组： （1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 17. 若一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ，线段在网格线上． （1）画出 边上的高线 ； （2）画出 边上的中线 ； （3）在线段上任取一点P，则 的面积是______． 19. 学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本． 20. 如图，在 中，是 边上的高，． （1）　　　　； （2）若平分交于点 ，，求的度数． 21. 如图，在 中， 平分 交 于点D． ， ，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在 中， （ ）, 又∵， （已知）， ． 平分 （已知）， （角平分线定义）． 是的外角（已知）， + （ ）, ． 22. 教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在 中，，， 平分， 平分，求的度数． 解：∵ 平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（ ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在 中，、的角平分线交于点P，将 沿 折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在 中， 的角平分线与 的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 23. 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 24. 如图，在 中，．点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点 运动的时间为 秒． （1）当点 在上运动时， 的长为 （用含 的代数式表示）． （2）当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的值． （3）当 将 分成的两部分的面积相等时，求 的值． （4）当点 与 的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市第八十九中学2025-2026学年下学期期中考试七年数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 方程 的解是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析： 故选A. 2. 若，则下列不等式中，不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. B. 不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A. B正确； C. 不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变，故C正确； D. 不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变，故D错误； 故选D. 点睛:此题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 3. 要求画 的边 上的高．下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线，即可判断解题． 【详解】解：A、图中 为边 上的高，不符合题意； B、图中 不是高，不符合题意； C、图中 为边 上的高，符合题意； D、图中 为边 上的高，不符合题意； 故选：C． 4. 三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的内角和等于180° D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 5. 一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则 的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ． 故选：C 6. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案， 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：， 故选：B． 7. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正六边形和正三角形 B. 正六边形和正方形 C. 正八边形和正五边形 D. 正十二边形和正五边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为 ．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正六边形和正三角形内角分别为 、，由，能构成周角，故能铺满，符合题意； B、正六边形和正方形内角分别为 、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意； C、正八边形和正五边形内角分别为、 ，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意； D、正十二边形正五边形内角分别为、 ，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意． 故选：A． 8. 下列不等式变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，且 ，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】A． 由，若c＜0，得，故本选项不一定正确； B． 由，且 ，若m＜0，得，故本选项不一定正确； C． 由，若z=0，得，故本选项不一定正确； D． 由，可得z≠0，，将不等式的两边同时除以，得，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是不等式的变形，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 在中，如果 ，那么__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将 代入，得 ． 10. 已知，用含 的代数式表示 ，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，然后利用一元一次方程的解法求解． 把x看作已知数表示出y即可． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 11. 用不等号填空：若，则______________________________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【详解】解：， 根据不等式的基本性质1，不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变，可得． 根据不等式的基本性质3，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得． 根据不等式的基本性质2，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得． 12. 若一个多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形，它的内角和为_________度 【答案】 ①. 五 ②. 540 【解析】 【分析】由一个多边形的每一个外角都是72°，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和． 【详解】∵一个多边形的每一个外角都是72°,多边形的外角和等于360°， ∴这个多边形的边数为：360÷72=5， ∴这个多边形的内角和为：(5−2)×180°=540°. 故答案为5，540°. 13. 如图，在 中，点D是 的中点，，若 的面积为10，则 的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握三角形面积等高模型得到是解题的关键．根据中线性质可得，再结合，得到，即可解题． 【详解】解： 的面积为10，点D是 的中点， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当 时，不等式组的解集是； 若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有 个整数解，则； 若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数，根据各项中的条件，逐一计算后，判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 当 时，不等式组的解集是，原说法正确，符合题意； 若不等式组的解集是，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组恰有 个整数解，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组无解，则，原说法掌握，不符合题意， ∴正确结论为； 故答案为：． 三、解答题（78分） 15. 解方程及方程组： （1）解方程： （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 移项得 ， 合并同类项得， 系数化为1得 ； 【小问2详解】 解：， 得 ， 得， 解得 ， 把 代入①得 ， 解得 ， 因此方程组的解为． 16. 解不等式及不等式组： （1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2） ，在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）先分别求出每一个不等式的解集，再求其公共部分得不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并得： ， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， ∴不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： ． 17. 若一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和恒为 ， 边形内角和公式为列出方程，求解即可得到多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为 ，已知多边形外角和为 ，内角和为， 根据题意得 ， 解得 ． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ，线段在网格线上． （1）画出 边上的高线 ； （2）画出 边上的中线 ； （3）在线段上任取一点P，则 的面积是______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，中线的定义，运用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点C作 垂直于 的延长线，交点为点 ，即可作答． （2）根据网格特征以及中线定义，进行作图即可； （3）根据平行线之间的距离处处相等的性质，得出与 的距离为5，再结合三角形面积公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： 边上的高线 如图所示： 【小问2详解】 解： 边上的中线 如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： ∴ 的面积． 19. 学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本． 【答案】每套课桌椅成本82元． 【解析】 【详解】解：设每套课座椅的成本为 元． 则 解得 经检验，符合题意． 答：每套课座椅的成本为82元． 20. 如图，在 中， 是 边上的高，． （1）　　　　； （2）若平分交 于点 ，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，交的和差计算． (1)根据，结合， 计算即可． (2)根据，得，利用三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 ∵ 是 边上的高， ∴ ， ∵，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 是 边上的高， ． ， ， ． 又 平分， ． ． 21. 如图，在 中， 平分 交 于点D． ， ，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在 中， （ ）, 又∵， （已知）， ． 平分 （已知）， （角平分线定义）． 是的外角（已知）， + （ ）, ． 【答案】，三角形的内角和等于，， ，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质．根据三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，由三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：在 中， ∵（ 三角形的内角和等于）， 又∵（已知）， ∴ ． ∵ 平分 （已知）， ∴（角平分线定义）． 又∵是的外角（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴． 22. 教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在 中，，， 平分， 平分，求的度数． 解：∵ 平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（ ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在 中，、的角平分线交于点P，将 沿 折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在 中， 的角平分线与 的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 【答案】（1）25；三角形的内角和等于； ；；（2）114；（3）49 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，继而得到，再由垂线的定义得到，则； 【详解】解：（1）∵ 平分（已知）， ∴． 同理可得 ． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为： ，三角形内角和定理， ，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分， 平分， ，， ， 即， ， 故答案为：； （3）平分 ， 平分， ，， ，即，， ， ， ， 即， ； 故答案为：49； 23. 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 【答案】（1）购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元和220元． （2）总费用最低方案是购买A型80套，购买B型120套． 【解析】 【分析】（1）设购买一套A型课桌凳需要x元，购买一套B型课桌凳需要y元，再根据“购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元”及“购买4套A型和5套B型课桌凳共需元”列方程组即可得出答案； （2）设购买a套A型课桌凳，则购买套B型课桌凳，再根据“购买这两种课桌凳的总费用少于元”及“购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的”列一元一次不等式组，求解后得到方案情况，再分别求得方案所需金额，作对比即可得出答案． 【详解】（1）设购买一套A型课桌凳需要x元，购买一套B型课桌凳需要y元， 根据题意得： 解得： 答：购买一套A型课桌凳需要180元，购买一套B型课桌凳需要220元． （2）设购买a套A型课桌凳，则购买套B型课桌凳， 根据题意得： 解得： ∵a为整数 ∴共有2种购买方案，方案1：购买79套A型课桌凳，121套B型课桌凳；方案2：购买80套A型课桌凳，120套B型课桌凳． 方案1所需费用：（元）； 方案2所需费用：（元）． ∴方案2购买80套A型课桌凳，120套B型课桌凳所需费用最低，最低费用为40800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，找到相对应的等量关系和不等关系是解题的关键． 24. 如图，在 中，．点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点 运动的时间为 秒． （1）当点 在上运动时， 的长为 （用含 的代数式表示）． （2）当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的值． （3）当 将 分成的两部分的面积相等时，求 的值． （4）当点 与 的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出 的值． 【答案】（1） （2）4 （3） （4）0.9或2.4或3.6 【解析】 【分析】（1）由 等于点P运动的距离与 的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在 上、点P在 上当点P在 上时，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点P运动的距离是 ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点P在 上， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由题意得：点P在 上， ∵ 将 分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：，， 当点P在 上时，， ∴，即， ∴， 当点P在 上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $