26.4 第3课时 抛物线型的实际问题 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

课题

26.4 第3课时　抛物线型的实际问题

授课人

教学目标

1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.

3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题.

教学重点

探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.

教学难点

如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

（1）欣赏一组石拱桥的图片，如图，观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？

（2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，如图，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？

通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫

探究新知

二次函数与抛物线形问题

问题：图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？

通过具体例子，让学生列出

师生活动：教师进行引导，提出问题：

对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？

根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.

学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.

①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；

②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；

③求出函数解析式，进而求点的坐标；

④求函数解析式应该用待定系数法.

师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程.

解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图22－3－24.根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2.把y＝－3代入函数解析式，得x＝±，所以CD－AB＝（2 －4）米，则水面宽度将增加（2 －4）米.

活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.

学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标

关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.

系是否相同，计算结果是否一致.

如解法：如图，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2），通过以上条件可设解析式为顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标（－2，0）代入解析式，得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±，

所以CD－AB＝米，则水面宽度将增加（2 －4）米.

2.归纳总结：

①建立适当的平面直角坐标系；

②根据题意找出题目中的点的坐标；

③求出抛物线的函数解析式；

④直接利用图象解决实际问题.

典例精析

【例1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋2x＋c表示．

（1）请写出该抛物线的函数关系式；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交