26.4 第3课时 抛物线型的实际问题 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“抛物线型的实际问题”，通过展示石拱桥、喷泉等生活场景图片，引导学生观察抛物线形状，复习二次函数知识，搭建从生活实例到数学模型的学习支架。 此资料以“建系—求解析式—解决问题”为主线，让学生分组讨论建立不同坐标系解决拱桥问题，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过隧道、涵洞等典例精析，强化模型意识与推理能力（数学思维），助力学生提升用数学语言解决实际问题的能力，为教师提供清晰教学流程与方法指导。

26.4　实际问题与二次函数 第3课时 抛物线型的实际问题 教学设计 课题 26.4 第3课时　抛物线型的实际问题 授课人 教学目标 1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力. 3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题. 教学重点 探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法. 教学难点 如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 （1）欣赏一组石拱桥的图片，如图，观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？ （2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，如图，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？ 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数与抛物线形问题 问题：图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？ 师生活动：教师进行引导，提出问题： 对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？ 根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答. 学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题. ①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系； ②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标； ③求出函数解析式，进而求点的坐标； ④求函数解析式应该用待定系数法. 师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程. 解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图22－3－24.根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2.把y＝－3代入函数解析式，得x＝±，所以CD－AB＝（2 －4）米，则水面宽度将增加（2 －4）米. 活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答. 学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致. 如解法：如图，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2），通过以上条件可设解析式为顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标（－2，0）代入解析式，得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±， 所以CD－AB＝米，则水面宽度将增加（2 －4）米. 2.归纳总结： ①建立适当的平面直角坐标系； ②根据题意找出题目中的点的坐标； ③求出抛物线的函数解析式； ④直接利用图象解决实际问题. 通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力. 典例精析 【例1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋2x＋c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【解】（1）根据题意得C(0，4)， 把C(0，4)代入y＝－x2＋2x＋c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋4． （2）：抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋4 ＝－(x－6)2＋10， ∴对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)， 当x＝2或x＝10时，y＝＞6， ∴这辆货车能安全通过． 【例2】如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明． 【解】（1）如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)． 设y＝a(x－8)2＋8， 将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8， 解得a=-. 故函数的解析式为y＝-(x－8)2＋8 (0≤x≤16)． （2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离x＝7.5－3.5＝4． 当x＝4时，y＝6， 即允许的最大高度为6米， 而5.8＜6，故该车辆能通行．但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶． 【方法总结】 解决形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； （3）恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式； （4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流. 随堂检测 1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　） A．9.2 m 　　　B．9.1 m C．9 m 　　　 D．5.1 m 答案：B. 2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 ． 答案：y＝－3.75x2. 3.校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为 y=-（x-3）2+2.5，那么小明这次投掷的成绩是  米． 解：令y=0，则为-（x-3）2+2.5=0， 解得x1=8，x2=-2（舍去）， ∴小明这次投掷的成绩是8米 故答案为：8 4．某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（如图），若抛物线最高点M离墙1米，离地面 米，求水流落地点B离墙的距离． 解：设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2+. 抛物线过点(0，10)，.∴10=a(0－1)²+ 解得a=－. ∴该抛物线的解析式为y=－(x-1)2+. 令y=0，则－(x-1)2+=0， 解得x1=3，x2=-1（舍去）. 水流落地点B离墙的距离为3米. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？ 1. 方法层面 学习了利用二次函数解决抛物线型实际问题，紧扣数形结合、建模思想、坐标转化的核心思路，将生活中的抛物线类实物场景，转化为平面直角坐标系中的二次函数模型，结合坐标、线段、最值知识求解实际问题，体会建系设点、以数解形的转化方法，掌握实物图形与函数解析式的对应、求解、应用全流程. 2. 知识内容层面 掌握抛物线型实际问题的常见场景、建模步骤、求解方法和坐标应用技巧. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳抛物线型问题的方法． 巩固所学知识，加深对利用二次函数解决实际问题的理解. 作业布置 板书设计 抛物线型问题 拱桥问题 运动问题. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $