25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.3　实际问题与一元二次方程

第1课时　几何图形的面积与边长问题

1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．

2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．

3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．

1.通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．（重点）

2.在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．（难点）

知识链接：前面我们学习了一次方程（组）的实际应用，回顾一下相关知识．

　探究点一：一元二次方程解决图形的边长问题

是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？

思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？

a2＋b2=c2（勾股定理）．

追问：若存在这样的三角形，该怎么设未知数求解？

解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为　x　，　x＋1　，　x＋2　，其中x为正整数．由勾股定理，得x2＋（x＋1）2=（x＋2）2.解方程，得x1=3，x2=－1（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.

归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁．

　探究点二：一元二次方程解决图形的面积问题

用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的　周长　就是细绳的长度．设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边和邻边长，再利用面积列方程求解．

解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为96 m2，得x（20－x）=96.解方程，得x1=12，x2=8.

追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

由题可知12 m和8 m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域．