25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦几何图形面积与边长问题的一元二次方程应用，通过回顾一次方程（组）实际应用导入，搭建从一次到二次方程的知识支架，衔接旧知引入新知。 以探究任务驱动教学，通过直角三角形边长、矩形面积及道路问题实例，培养几何直观与推理意识，两种列方程方法（如道路问题总面积法与平移法）发展空间观念与模型意识，助力学生提升问题分析能力，为教师提供分层教学资源。

25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形的面积与边长问题 1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题． 2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易． 3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准． 1.通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．（重点） 2.在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．（难点） 知识链接：前面我们学习了一次方程（组）的实际应用，回顾一下相关知识． 　探究点一：一元二次方程解决图形的边长问题  是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？ a2＋b2=c2（勾股定理）． 追问：若存在这样的三角形，该怎么设未知数求解？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为　x　，　x＋1　，　x＋2　，其中x为正整数．由勾股定理，得x2＋（x＋1）2=（x＋2）2.解方程，得x1=3，x2=－1（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁． 　探究点二：一元二次方程解决图形的面积问题  用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的　周长　就是细绳的长度．设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边和邻边长，再利用面积列方程求解． 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为96 m2，得x（20－x）=96.解方程，得x1=12，x2=8. 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 由题可知12 m和8 m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域． 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有几种？试着列举两例． 例如：（1）可设一边长为x m，那么其邻边长为　　m； （2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为　（10－x）　m． 追问：能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点．  如图①，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？ 方法一：解：如图②，设道路的宽为x m．则　20×32－32x－20x＋x2=540　． 思考：还有其他列法吗？ 方法二：如图②，设道路的宽为x m．则　（32－x）（20－x）=540　．整理，得　x2－52x＋100=0　． 学生自行完成解答． 归纳总结：在几何图形的面积问题中：规则图形可直接运用面积公式；不规则图形可先割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程． 1.（4分）用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为（B） A．x（20＋x）=64　　B．x（20－x）=64　　C．x（40＋x）=64　　D．x（40－x）=64 2.（4分）若用一条长为30 cm的铁丝围成一个斜边长是13 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为　5　cm，　12　cm． 3.（10分）如图，在一块长为22 m、宽为17 m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪．要使草坪面积为300 m2，则道路宽为多少米？ 书写通关 解：设　道路宽为x m　． 根据题意得　（22－x）（17－x）=300　． 解得　x1=37，x2=2　． （x=　37　不合题意，舍去） 答：　道路宽为2 m　． 4.（12分）如图，要利用一面墙（墙长为25 m）建羊圈，用75 m长的围栏围成总面积为300 m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 解：设AB的长度为x m，则BC的长度为（75－3x） m．根据题意得（75－3x）x=300，解得x1=20，x2=5.当x=20时，75－3x=15＜25，符合题意．当x=5时，75－3x=60＞25，不符合题意，舍去． ∴AB=20 m，BC=15 m． 答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，15 m． 图形的面积问题 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $