2.4 幂函数、二次函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数核心考点，涵盖定义、图象性质、解析式及与方程不等式关系，依据高考评价体系构建知识网络，分析幂函数图象特征、二次函数最值等高频考点权重，归纳比较大小、解析式求解等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“考点分层突破+真题变式训练”，如二次函数最值通过对称轴与区间位置关系分类讨论（考向3例5），培养逻辑思维与数学建模素养。含连线高考真题及对点训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第4节　幂函数、二次函数 强基础•固本增分 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  (2)常见的五种幂函数的图象 y=xα (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)内都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点　　　　和　　　　,且在(0,+∞)内单调递增;  ③当α<0时,幂函数的图象都过点　　　　,且在(0,+∞)内单调递减;  ④当α为奇数时,y=xα为　　　　　;当α为偶数时,y=xα为　　　　　　.  (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 [教材知识深化] 1.幂函数图象的特征 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”). (2)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. 2.幂函数y=xα(α∈R)在第一象限内图象的画法 (1)当α<0时,其图象可类似y=x-1画出. (2)当0<α<1时,其图象可类似y=画出. (3)当α>1时,其图象可类似y=x2画出. 微思考　幂函数的图象可以经过第四象限吗? 提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,但一定不经过第四象限. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=　　　　　　　　.  顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为　　　　.  零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的　　　　.  ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛物线)     定义域 　　   值域 　　　　　   　　　 　　  对称轴 x=　 　  顶点坐标 　　　　　　　  R [,+∞) (-∞,] - (-) 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 奇偶性 当b=0时是　　　函数,当b≠0时是非奇非偶函数  单调性 在(-∞,-]上单调递　　　;  在[-,+∞)内单调递　　  在(-∞,-]上单调递　　　;  在[-,+∞)内单调递　　  偶 减 增 增 减 微思考　如何求解二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值? 提示 (1)当-m时,最小值为f(m),最大值为f(n); (2)当m<-时,最小值为f(-),最大值为f(n); (3)当<-n时,最小值为f(-),最大值为f(m); (4)当->n时,最小值为f(n),最大值为f(m). 3.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根 有两相异实数根 x1,2= (x1<x2) 有两相等实数根 x1=x2=- 没有实数根 一元二次 不等式 的解集 ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R,且x≠-} 实数集R ax2+bx+c<0(a>0) {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 连线高考 1.若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c D 解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1. 又0.60.5<0.60=1, 所以1.010.6>1.010.5>0.60.5, 即b>a>c.故选D. 2.已知a∈R,函数f(x)=若f=3, 则a=　　　　　.  2 解析 因为函数f(x)= 所以f()=()2-4=2, 所以f(f())=f(2)=|2-3|+a=3, 解得a=2. 研考点•精准突破 考点一　幂函数的图象与性质 例1(1)如图,已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降、急速上升、缓慢上升,则(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.a<b<c B 解析 由题意结合图象可知a<0<c<1<b.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)内单调递减,则m的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 因为幂函数y=(m∈Z)在区间(0,+∞)内单调递减, 所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3,因为m∈Z,得m=0,或m=1,或m=2. 当m=0时,函数y=x-3是奇函数,不关于y轴对称,故舍去,当m=1时,函数y=x-4是偶函数,关于y轴对称,符合题意,当m=2时,函数y=x-3是奇函数,不关于y轴对称,故舍去,所以m=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则(　　) A.m,n是奇数,且<1 B.m是偶数,n是奇数,且>1 C.m是偶数,n是奇数,且<1 D.m,n是偶数,且>1 C 解析 函数y=的图象关于y轴对称,故m为偶数,n为奇数,当x∈(0,1)时,y=的图象在y=x的图象的上方,当x∈(1,+∞)时,y=的图象在y=x的图象的下方,故<1. 考点一 考点二 考点三 (2)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是 (　　) A.m=4 B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 C 解析 函数f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,则m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1. 当m=4时,f(x)=x4在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意;当m=-1时,f(x)=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,所以A错误;又f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但不是减函数,所以B错误;又因为f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,故C正确,D错误,故选C. 考点一 考点二 考点三 考点二　二次函数的解析式 例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 解 (方法一　利用“一般式”解题) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 考点一 考点二 考点三 (方法二　利用“顶点式”解题) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x=,所以m= 又根据题意,函数有最大值8,所以n=8, 所以f(x)=a(x-)2+8. 因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. 考点一 考点二 考点三 (方法三　利用“零点式”解题) 由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8,即=8.解得a=-4. 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,求f(x)的解析式. 条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5; 条件②:函数f(x)≤0的解集为{1}; 条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且=10. 考点一 考点二 考点三 解 函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c, 因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即x2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2, 所以f(x)=x2-2x+c,图象开口向上,对称轴为直线x=1. 若选条件①,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,所以f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3. 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. 若选条件②,由函数f(x)≤0的解集为{1},可得f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1, 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. 若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且=10. 由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c, 又(x1+x2)2=+2x1x2,所以4=10+2c,解得c=-3. 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. 考点一 考点二 考点三 考点三　二次函数的图象与性质(多考向探究预测) 考向1　二次函数图象的识别 例3(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,则下面四个结论正确的是 (　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c<0 D.5a<b AD 考点一 考点二 考点三 解析 因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确; 对称轴为直线x=-1,即-=-1,所以2a-b=0,故B错误; 结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误; 由对称轴为直线x=-1知,b=2a,根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a=b,即5a<b,故D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](多选题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,错误的是(　　) A.a+b+c>0 B.a-b+c<0 C.abc>0 D.b=2a CD 考点一 考点二 考点三 解析 由图象可知,当x=1时,y=a+b+c>0,故A正确;当x=-1时,y=a-b+c<0,故B正确;函数图象的开口向下,a<0,对称轴直线x=->0,即b>0,当x=0时, y=c>0,则abc<0,故C错误;若b=2a,则对称轴直线x=-=-1,与图象不符,故D错误.故选CD. 考点一 考点二 考点三 考向2　二次函数的单调性 例4 已知函数f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在(0,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.  [-1,0] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在(0,+∞)内单调递增,符合题意; 若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤0. 综上所述,实数m的取值范围是[-1,0]. 考点一 考点二 考点三 变式探究1 本例中,函数解析式不变,若函数在[1,2]上单调递减,则实数m的取值范围是 　　　　.  (-∞,-2] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[1,2]上单调递增,不符合题意; 若m+1>0,即m>-1时,依题意应有解得无解; 若m+1<0,即m<-1时,依题意应有解得解得m≤-2. 综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-2]. 考点一 考点二 考点三 变式探究2 本例中,函数解析式不变,若函数在区间[-3,-2]上不单调,则实数m的取值范 围是　　　　.  (-,-) 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[-3,-2]上单调递增,不符合题意; 若m+1≠0,则应有-3<<-2,解得-<m<-, 因此实数m的取值范围是(-,-). 考点一 考点二 考点三 变式探究3 本例中,若函数解析式不变,且对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时都有>-2,则实数m的取值范围是　　　　　.  [-1,2] 考点一 考点二 考点三 解析 不妨设x1>x2,则>-2可化为f(x1)-f(x2)>-2x1+2x2, 即f(x1)+2x1>f(x2)+2x2, 若令g(x)=f(x)+2x=(m+1)x2-(m-2)x-1,则g(x)在(0,+∞)内单调递增. (1)若m+1=0,则m=-1,此时g(x)=3x-1,在(0,+∞)内单调递增,符合题意; (2)若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤2. 综上所述,实数m的取值范围是[-1,2]. 考点一 考点二 考点三 考向3　二次函数的最值 例5 已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0). (1)若a=b=1,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值; (2)若函数f(x)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值. 考点一 考点二 考点三 解 (1)当a=b=1时,函数f(x)化为f(x)=x2-2x+2,其图象的对称轴为直线x=1, 而=t+ ①当t+1,即t时,函数在x=t时取得最大值t2-2t+2; ②当t+>1,即t>时,函数在x=t+1时取得最大值(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. 综上,当t时,最大值为t2-2t+2;当t>时,最大值为t2+1. (2)因为函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=1, 所以函数在[2,4]上单调递增,所以当x=2时,函数f(x)取得最小值b+1; 当x=4时,函数f(x)取得最大值16a-8a+1+b=8a+1+b. 由题意,可得解得 考点一 考点二 考点三 [对点训练4]已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-2,0)和原点,且对于任意x∈R,都有f(x)≥2x. (1)求函数f(x)的表达式; (2)设g(x)=f(x)+2mx,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值h(m). 解 (1)由题意得所以b=2a,c=0,f(x)=ax2+2ax. 因为对于任意x∈R,都有f(x)≥2x,即ax2+2(a-1)x≥0恒成立, 故解得a=1,所以f(x)=x2+2x. 考点一 考点二 考点三 (2)g(x)=f(x)+2mx=x2+(2+2m)x,则g(x)的图象的对称轴为直线x=-m-1, 当-m-1≤0,即m≥-1,函数在[0,1]上单调递增,故g(x)在[0,1]上的最小值为g(0)=0;当-m-1≥1,即m≤-2时,函数在[0,1]上单调递减,故g(x)在[0,1]的最小值为g(1)=2m+3;当0<-m-1<1,即-2<m<-1时,函数在[0,-m-1)内单调递减,在(-m-1,1]上单调递增,故g(x)在[0,1]上的最小值为g(-m-1)=-(m+1)2. 综上,h(m)= 考点一 考点二 考点三 考向4　与二次函数有关的恒成立问题 例6 已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),求k的取值范围; (2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围; (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围. 考点一 考点二 考点三 解 (1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0. 由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k, 由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞). (2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0. 由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k, 由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞). (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3]. 由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2. 由120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞). 考点一 考点二 考点三 [对点训练5]已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5. (1)求f(x)的解析式; (2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方,求实数m的取值范围. 解 (1)根据题意得二次函数f(x)的顶点坐标为(2,3),设f(x)=a(x-2)2+3, 然后把点(3,5)代入,得a=2,所以f(x)=2(x-2)2+3=2x2-8x+11. (2)y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方⇔f(x)-(2x+2m+1)>0恒成立,令g(x)=2x2-8x+11-(2x+2m+1)=2x2-10x+10-2m, 若g(x)=2x2-10x+10-2m>0恒成立, 则Δ=(-10)2-4×2×(10-2m)<0,解得m<-,即实数m的取值范围为(-∞,-). 考点一 考点二 考点三 $