2.4 幂函数与二次函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数专题，依据高考评价体系梳理了定义、性质、图象、最值及恒成立问题等核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，明确二次函数闭区间最值、幂函数单调性判断等高频考点权重，归纳出解析式求法、大小比较等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”策略，如以2022上海卷幂函数定义域题为例，运用“指大图低”规律突破比较大小题型，培养学生数学思维与运算能力。设“易错陷阱警示”和“答题模板”，助力学生掌握分类讨论等技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二章 函数 第四讲　幂函数与二次函数 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[9] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　幂函数 1．幂函数的定义 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2．常见的五种幂函数的图象 y＝xα 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)当α>0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调递增； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减； (4)当α为奇数时，y＝xα为__________；当α为偶数时，y＝xα为__________. (1，1) (0，0) (1，1) 奇函数 偶函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点二　二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝____________________. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域   __________________   __________________ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 b＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． a<0时可以对应得到，你会吗？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (2)幂函数y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数．(　　) (4)若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1习题3.1T6改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] [答案]　A [解析]　函数f(x)＝－2x2＋4x的图象开口向下，关于直线x＝1对称，在x＝1取得最大值2，在x＝－1取得最小值－6.故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(必修1P58T6改编)已知f(x)＝x2－2 025x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于(　　) A．2 025 B．－2 025 C．0 D．10 025 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组三　走向考场 5．(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是(　　) [答案]　C [解析]　选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C．当m＝4时，y＝f(x)的图象关于y轴对称 D．y＝f(x)的图象恒过点(－1，－1) [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 幂函数图象与性质——自主练透 1．(多选题)(2026·成都模拟)已知函数f(x)＝xα(α为常数)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象恒过定点(1，1) B．当α＝－1时，函数f(x)是减函数 C．当α＝3时，函数f(x)是奇函数 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 D．－1<n<0<m<1 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n<1，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0< m<1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的解析式——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　解法一：利用“一般式”解题． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二：利用“顶点式”解题． 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法三：利用“零点式”解题． 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 解得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 已知函数f(x)＝2x2＋mx＋n的图象过点(1，－1)，且满足f(－2)＝f(3)，则函数f(x)的解析式为______________. [答案]　f(x)＝2x2－2x－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　二次函数的图象和性质——多维探究 角度1　二次函数的图象 (多选题)(2026·银川模拟)已知函数y＝ax2＋bx＋c的 部分图象如图所示，则(　　) A．abc<0 B．b＋c>0 C．2a＋b＋c>0 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　二次函数的单调性与最值 已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [引申]本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t)． [解析]　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0， ∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t<1时，f(2)－f(－1)>0， ∴f(2)>f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，根据图象的对称轴方程x＝h和所给区间并结合图象求解． 1．对称轴和区间都固定时，根据单调性和图象直接求解． 2．若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是明确对称轴和区间的位置关系，再根据函数单调性求最值或值域． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 1．(角度1)(2026·长沙模拟)已知a，b，c∈R，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(角度2)(多选题)(2025·榆林模拟)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 二次函数恒成立问题 二次函数的恒成立问题是高考命题的热点，此类问题的处理方法较为灵活，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，1]． (2)因为对于∀x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0,x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1. 当－1<－a<1，即－1<a<1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1. 当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1. 综上可得，实数a的取值范围是[－3，1]． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)∃x∈[－1，1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3. 解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0. 当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0. 综上可得，实数a的取值范围是R. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [探究]　本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：恒成立问题的解法 1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2)(3)x是变量，(4)a是变量． 2．对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立． 对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方； 对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 (2025·北京一零一中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． [解析]　解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m， 即x2－3x＋1－m>0， 令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可， ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 所以g(x)在区间[－1，1]上单调递减， 则g(x)在区间[－1，1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[9] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数(　　) A．单调递增 B．不是单调函数 C．单调递减 D．不能确定 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(1，3) [答案]　C [解析]　∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(2025·湖南一模)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－4 D．1或－3 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4] C．(－∞，2] D．[0，2] [答案]　B [解析]　因为函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，且函数f(x)的最小值为f(2)＝－7.令f(x)＝5，解得x＝0或4，因为f(x)在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，所以n的取值范围是2≤n≤4，故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 8．(2026·山东模拟)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[4，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，4] [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．(2026·福建漳州期末)若函数f(x)＝xα，则(　　) A．f(x)的图象经过点(0，0)和(1，1) B．当f(x)的图象经过点(－1，－1)时，f(x)为奇函数 C．当f(x)的图象经过点(－1，1)时，f(x)为偶函数 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 11．已知函数y＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　函数y＝x2－4x＋1是开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，因为函数的定义域为[1，t]，所以当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，因为在[1，t]内函数的最大值与最小值之和为－5，所以当y＝－2时，x＝1或x＝3，所以2≤t≤3.故选BC． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 三、填空题 12．(2026·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________. [答案]　211 解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 13．已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为____________________________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 14．(2026·四川内江期中)已知幂函数f(x)过点(9，3)，若f(2a－1)<f(3－2a)，则实数a的取值范围是________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 四、解答题 (1)求实数m的值； (2)若函数g(x)＝x－f(x)，且x∈(0，＋∞)， ①判断函数g(x)的单调性，并证明； ②求使不等式g(2t－1)<g(t)成立的实数t的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)由题意知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，幂函数y＝x－1， 此时幂函数在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 当m＝2时，幂函数y＝x4， 此时幂函数在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意． 所以实数m的值为1. g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．证明如下： 任取0<x1<x2， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 故g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ②由①知，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B组能力提升 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞) [答案]　C [解析]　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 D．f(x)的图象与直线y＝2有一个交点 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)求f(x)的解析式； (2)判断f(x)的单调性，并进行证明； (3)若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)由题意利用幂函数的定义和性质,求得m的值,可得结论. 证明：设x2>x1≥0，即x2－x1>0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求函数f(x)的解析式； (3)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)∵f(0)＝f(2)＝3， ∴二次函数f(x)的对称轴为x＝1， 设函数f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)， 则f(0)＝a＋1＝3， 解得a＝2. 故f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)∵函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， ∴2a<1<a＋1， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　12 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·河南模拟)已知函数f(x)＝x3，若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最大值为__________. [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 单调性 在_____________上单调递减，在上单调递增 在_____________上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 __________________ 奇偶性 当_______时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) 题组二　走进教材 2．(必修1习题3.3 T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A． B．1 C． D．2 [解析]　由题意得k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以α＝，解得α＝，则k＋α＝. [解析]　先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即可．函数f(x)＝x2－2 025x的对称轴为直线x＝，∵f(m)＝f(n)，∴m，n关于函数f(x)＝x2－2 025x图象的对称轴对称，∴m＋n＝2 025，∴f(m＋n)＝f(2 025)＝0.故选C． A．y＝x－1 B．y＝x C．y＝x D．y＝x 6．(多选题)(2025·成都模拟)已知幂函数f(x)＝(－3a＋1)xm2－3m＋2，其中a，m∈R，则下列说法正确的是(　　) A．a＝－1 B．当<m<1时，f(2)>f(1) [解析]　因为f(x)＝(－3a＋1)xm2－3m＋2是幂函数，所以－3a＋1＝1，得a＝0，故A错误；当<m<1时，m2－3m＋2＝(m－1)(m－2)>0，根据幂函数的性质可知，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f(2)>f(1)，故B正确；当m＝4时，f(x)＝x42－3×4＋2＝x6，满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故C正确；根据幂函数的性质可知，y＝f(x)的图象恒过点(1，1)，故D错误．故选BC． D．当α＝时，函数f(x)的值域为(0，＋∞) [解析]　对于选项A，幂函数都过点(1，1)；对于选项B，y＝有两个减区间(－∞，0)和(0，＋∞)，但它不是减函数；对于选项C，y＝x3是奇函数；对于选项D，y＝的值域为[0，＋∞)．故选AC． B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) [解析]　因为y＝x在第一象限内单调递增，所以a＝>c＝，因为y＝x是减函数，所以c＝>b＝，所以a>c>b. 由题意得解得 ∴抛物线的对称轴为x＝＝， ∴m＝. 又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 又函数有最大值8，即＝8， [解析]　∵函数f(x)＝2x2＋mx＋n满足f(－2)＝f(3)，∴函数的图象关于x＝对称，∴－＝，解得m＝－2，即f(x)＝2x2－2x＋n，又∵函数f(x)的图象过点(1，－1)，∴2－2＋n＝－1，解得n＝－1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2－2x－1. D．关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为 [解析]　由题图知，当x＝0时，y＝c>0，图象开口向下，则a<0，　　　－3＋1＝－<0，即>0，则b<0，所以abc>0，故A错误；当x＝1时，a＋b＋c＝0且a<0，所以b＋c>0，故B正确；因为2a＋b＋c＝a＋a＋b＋c＝a<0，故C错误；解法一：由cx2＋bx＋a＝0得a2＋b·＋c＝0，因为－3，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－，1是方程a2＋b·＋c＝0的两根，所以关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为. 解法二：由根与系数的关系得所以所以cx2＋bx＋a＝0，即为－3ax2＋2ax＋a＝0，化简得－a(x－1)(3x＋1)＝0，因为a<0，解得x＝1或x＝－，即关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为，故D正确． [解析]　f(x)＝x2－tx－1＝2－1－. (1)依题意，－1<<2， 解得－2<t<4， 所以实数t的取值范围是(－2，4)． (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1<<2，即－2<t<4时， f(x)min＝f＝－1－. ③当≤－1， 即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 综上有G(t)＝ [解析]　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，故选A． A．－ B．0 C． D．－1 [解析]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－.当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1.故选AD． (4)因为对于∀a∈[－1，1]，f(x)>0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，则g(a)>0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}． 解法二：f(x)>2x＋m等价于m<x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，其图象的对称轴x＝>1， [解析]　因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上函数单调递增，故选A． 3．(2026·全国专题练习)下列关于函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2，3})的图象正确的是(　　) [解析]　函数y＝xα是幂函数，而y＝αx是一次函数．选项A，直线对应函数为y＝x，曲线对应函数为y＝x－1；选项B，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x；选项C，直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3；选项D，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数y＝x2.故D正确．故选D． [解析]　由题意可得⇒⇒m＝1.故选A． 7．(2026·江西一模)若直线y＝t(0<t<1)与幂函数y＝x3，y＝，y＝的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则|AC|＝(　　) A．－t2 B．－t3 C．－ D．－t2 [解析]　当y＝t时，由y＝x3，得x＝；由y＝，得x＝t2；由y＝，得x＝.因为0<t<1，所以y＝tx是关于x的减函数．又－1<<2，所以>>t2，所以|AC|＝－t2.故选A． [解析]　因为f(x)>0的解集为(－1，3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1，0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，所以m≥4.故选B． D．当α>0时，存在f(x)使得f()<f() [解析]　根据幂函数的图象性质可知，当α<0时，幂函数不经过点(0，0)，A错误；当f(x)的图象经过点(－1，－1)时，f(－1)＝(－1)α＝－1，因为f(x)经过点(－1，－1)，所以α>0时，f(x)的定义域为R，α<0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，都关于坐标原点对称，又f(－x)＝(－x)α＝(－1)αxα＝－xα＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，B正确；当f(x)的图象经过点(－1，1)时，f(－1)＝(－1)α＝1，因为f(x)经过点(－1，1)，所以α>0时，f(x)的定义域为R，α<0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，都关于坐标原点对称，又f(－x)＝(－x)α＝xα＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确；当α>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f()>f()，D错误．故选BC． 10．(2026·浙江衢州月考)已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的有(　　) A．f(－32)＝ [解析]　因为函数是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f(x)＝x，f(－32)＝[(－2)5]＝(－2)－4＝，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；∵f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，故C正确；函数f(x)＝x在(0，＋∞)是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1，1)∪(1，3]，故D正确．故选ACD． [解析]　由题意可知 [答案]　y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ [解析]　因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2.所以|－4a|＝2，即a＝±，所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. [答案]　 [解析]　由题可设f(x)＝xα，因为函数f(x)过点(9，3)，所以9α＝3，得α＝，所以函数f(x)＝x，所以函数f(x)＝x是定义在[0，＋∞)上的增函数，所以若f(2a－1)<f(3－2a)，则⇒⇒≤a<1，所以实数a的取值范围是. 15．(2026·安徽模拟)若函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2＋2m－4为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减． (2)①g(x)＝x－f(x)＝x－， 则g(x1)－g(x2)＝－ ＝(x1－x2)－＝(x1－x2)， 由0<x1<x2可得x1－x2<0，1＋>0， 又由g(2t－1)<g(t)可得 解得<t<1， 所以实数t的取值范围是. 1．已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q>1且p，q互质)的图象如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且>1 B．q为偶数，p为奇数，且>1 C．q为奇数，p为偶数，且>1 D．q为奇数，p为偶数，且0<<1 [解析]　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数．因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0<<1. 3．(多选题)(2026·四川南充阆中中学开学考)已知函数f(x)＝下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是(－∞，5) C．若f(x)＝3，则x＝ [解析]　f(x)的定义域是(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，x＋2≤1，当－1<x<2时，0≤x2<4，1≤x2＋1<5，所以f(x)的值域是(－∞，5)，故B正确；由B的分析可知，若f(x)＝3，则解得x＝，故C正确；画出f(x)的图象如图所示，由图可知，D正确．故选BCD． 4．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，　　＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　) [解析]　∵函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2－6>0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A． 5．已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)x的图象过点(4，2)． ∵幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)x的图象过点(4，2)，∴m2－2m＋1＝1，4＝2，求得m＝2， 故有f(x)＝x. (2)f(x)＝x在其定义域[0，＋∞)上单调递增． 则f(x2)－f(x1)＝－＝>0， 即f(x2)>f(x1)， 故函数f(x)在其定义域[0，＋∞)上单调递增． (3)由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域，求得a的范围． 若f(a＋1)>f(2a－3)，则>， ∴a＋1>2a－3≥0，求得≤a<4. ∴实数a的取值范围为. (2)求f(x)在上的最大值； (2)∵>， ∴f(x)max＝f＝2×2＋1＝， 即f(x)在上的最大值为. 解得，0<a<. 故实数a的取值范围为. C组拓展应用(选作) 1．(2026·江西一模)已知幂函数f(x)＝(n2－6n＋9)xn－3在(0,＋∞)上单调递增，若正数a、b满足3a＋4b＝n，则＋的最小值为_________. [解析]　因为幂函数f(x)＝(n2－6n＋9)xn－3在(0，＋∞)上单调递增，则解得n＝4，正数a、b满足3a＋4b＝4，则＋＝(3a＋4b)＝≥＝12，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，＋的最小值为12. [解析]　因为f(x)为增函数，不妨设x1>x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)＝2，即x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2)[(x1－x2)2＋3x1x2]＝2，变形得3x1x2＝－(x1－x2)2.若x1，x2异号，则3x1x2＝－3x1(－x2)≥－32，即－(x1－x2)2≥－32，解得x1－x2≤2，当且仅当x1＝1，x2＝－1时，等号成立．若x1，x2同号或x1，x2中有一个为0，则3x1x2＝－(x1－x2)2≥0，解得x1－x2≤2.综上，|x1－x2|的最大值为2. $