精品解析：中国科学院附属实验学校2025-2026学年第二学期八年级数学学科学业水平阶段性测试

中国科学院附属实验学校2025-2026学年第二学期 八年级数学学科学业水平阶段性测试 本试卷满分100分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共24分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ） A. －2 B. －1 C. ＋1 D. 1－ 5. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高 ．若这支铅笔长为 ，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，， ，是一条对角线，是上一点，过点作 ，垂足为，连接 ．若，则 的长为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点， ， ．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作 于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 在 中，若，则 的度数为_______ ． 11. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______． 12. 下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 13. 如图，直角中， ，E、D、F分别为、、上的中点，已知，则 ______． 14. 如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出______个． 15. 如图，菱形的对角线 相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则 的最小值为 ______． 16. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 三、解答题（本题共52分，第17题5分，第18题4分，第19、20、21、22、24、25题每题6分，第23题7分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 已知：为锐角三角形，． 求作：菱形． 作法：如图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点E，作射线 与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线 交于点D，连接，； 四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明： 证明：∵平分 ， ∴__________． ∵ ， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 20. 如图，中，的垂直平分线 分别交 于点D，E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 在矩形中，点E，点F分别为边延长线上的点，且，连接． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 平分 ， ，，求线段的长． 22. 科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位： ）和电池板的输出电压（单位： ）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： （1）①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当 时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 　　；当 时，的最大值为 　　． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 24. 如图，在正方形的外侧作射线 ，，作点关于射线 的对称点，连接 交 于点，连接 ． （1）依题意补全图形； （2）若 ，则________ ； （3）用等式表示线段， ， 之间的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，已知点及两个图形和，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点，使得点是线段的中点，则称点是点关于点的关联点，图形是图形关于点的关联图形，此时三个点的坐标满足，． （1）点是点关于原点的关联点，则点的坐标是　 　； （2）已知，点，，，以及点 ①画出正方形关于点的关联图形； ②在轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线 分成面积相等的两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中国科学院附属实验学校2025-2026学年第二学期 八年级数学学科学业水平阶段性测试 本试卷满分100分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共24分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义求解即可； 【详解】解：A、，所以该选项不是最简二次根式； B、，所以该选项不是最简二次根式； C、被开方数含有分母，所以该选项不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 2. 若一个正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和；由正多边形的定义得，由多边形的内角和公式，即可求解；理解正多边形的性质，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数：， 正多边形的内角和为： ， 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的乘除法．根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、2与不是同类二次根式，不能计算，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ） A. －2 B. －1 C. ＋1 D. 1－ 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长． 5. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图像的增减性即可求解． 【详解】解：函数在平面直角坐标系中， 随 的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，理解并掌握一次函数图像的性质，增减性是解题的关键． 6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高 ．若这支铅笔长为 ，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时 最大， 最大． 当铅笔如图放置时 最小． 在 中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 7. 如图，在菱形中，， ，是一条对角线，是上一点，过点作 ，垂足为，连接．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，利用菱形性质和，可得、 是等边三角形，从而得到、 是含有的直角三角形，进而求出 、 ，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴、 都是等边三角形， ∴ ，，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∴． 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点， ， ．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作 于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点， ， ．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当 和时，面积都为0，由此即可解答． 【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点， ， ． ，， ， 如图，连接 ， ， 当点M与点E，点H重合时， 此时，三点再一条直线上， 的面积都为0， 当点M与点F时重合， 此时， 的面积为， 当点M与点G时重合， 此时， 的面积为， 由图2得出始点面积为12，当 和时，面积都为0， 时，的面积先增大后减小， 时，点M运动的路径是， 点M运动的路径是． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 函数中，自变量 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得： ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 在 中，若，则 的度数为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形得，则有 ，再结合已知 的度数即可求出 的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ． 11. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】-1（答案不唯一， 即可．） 【解析】 【分析】选取的 的值不满足即可． 【详解】解：时，满足 是实数，但不满足， 所以可作为说明命题“如果 是任意实数，那么“”是假命题的一个反例． 故答案为：-1（答案不唯一， 即可．） 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 12. 下列情景中，可以表示 是 的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间 （时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标 与这个点到原点的距离 的关系． 【答案】 【解析】 【分析】函数定义为：在一个变化过程中，有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数，据此对三个情景逐一判断即可. 【详解】解：对于时间 的每一个确定的值，气温 都有唯一确定的值与之对应，因此 是 的函数，符合题意； 对于正方形边长 的每一个确定的值，面积 都有唯一确定的值与之对应，因此 是 的函数，符合题意； 由题意可得 ，当时， 有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； ∴能表示 是 的函数的是． 13. 如图，直角 中， ，E、D、F分别为 、、上的中点，已知，则 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解决此题的关键． 【详解】∵D、F分别为 、上的中点， ， ∴， 在 中，，E为上的中点， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与网格问题，熟练掌握矩形的判定是解题关键．根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可得． 【详解】解：共可以画出以下4个格点矩形： 故答案为： ． 15. 如图，菱形的对角线 相交于点O，P为 边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，根据菱形的性质得到， ，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当 时， 最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接 ，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当 取最小值时，的值最小， ∴当 时， 最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 16. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 【答案】②④． 【解析】 【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①如图1， ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项①正确； ②如图2， 四边形AECF不是矩形，故选项②错误． ③如图3， 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确． ④如 图4 ， 如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 三、解答题（本题共52分，第17题5分，第18题4分，第19、20、21、22、24、25题每题6分，第23题7分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 19. 已知：为锐角三角形，． 求作：菱形． 作法：如图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交 于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接 ，； 四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明： 证明：∵平分 ， ∴__________． ∵ ， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）图见解析 （2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可. 【小问1详解】 解：如图，菱形ABDC即为所求作； 【小问2详解】 证明：∵，平分 ， ∴． ∵ ， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形. 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键. 20. 如图，中， 的垂直平分线分别交 于点D，E，且． （1）求证： ； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再结合证明 是直角三角形，即可证明结论； （2）设，则，然后根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， 垂直平分 ， ， ， ， 是直角三角形， ； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）得， ∴， 解得 ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，添加辅助线是解题关键． 21. 在矩形中，点E，点F分别为边延长线上的点，且，连接． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若平分 ， ，，求线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义、平行四边形的判定与性质、等角对等边、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）根据角平分线定义及平行线性质得到，则 ，再利用勾股定理可得 ． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， 点E，点F分别为边延长线上的点，且， ， ， 四边形 是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， 平分 ， ， ， ， ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得：， ． ∴线段 的长为． 22. 科学兴趣小组利用不同材料制作了， 两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为 （单位：）时，电池板的输出电压（单位： ）和 电池板的输出电压（单位： ）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与 ，与 之间的关系，回答下列问题： （1）①可以看作是关于 的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时， 电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 【答案】（1）① ；②见解析 （2）见解析 （3）①；②31 【解析】 【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键． （1）①设，利用待定系数法求出，再将代入计算即可得； ②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得； （2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得； （3）①根据表格和函数图象求出当时，，的值，由此即可得； ②根据表格和函数图象求出当时，，的值，再根据都是随 的增大而增大即可得． 【小问1详解】 解：①由题意，设， 将点代入得：，解得， 则， 当时，， 故答案为： ． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 【小问2详解】 解：在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象如下： ． 【小问3详解】 解：①当时，， 由表格和函数图象可知，当时，， 则， 即当光照强度为时， 电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为 ， 故答案为：． ②由表格数据可知，当 时，， 当时，，， ∴当时，， ∵都是随 的增大而增大， ∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到， 故答案为：31． 23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当 时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 　　；当 时，的最大值为 　　． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为 米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）6， （2） （3）60米 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【小问1详解】 解： ， ， 又， ，当且仅当 时取等号． 的最小值为6； ， ， ， 又， ，当且仅当 时取等号． ， 的最大值为． 故答案为：6；； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当 时取等号， 的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 24. 如图，在正方形的外侧作射线，，作点 关于射线的对称点，连接交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）若 ，则________ ； （3）用等式表示线段， ， 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见解析 （2）45 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，补全图形即可得到答案； （2）根据题意，由对称性可知， ，再结合正方形性质得到 ，，从而可以得到是等腰三角形，得，则，在 中，利用三角形内角和定理即可得到答案； （3）线段， ， 之间的数量关系为．证明如下：过点做交 于点 ，如图所示，由题意可知：，， 得到，，在中，，，则，再证明, 得到，由，即可得到． 【小问1详解】 解：依题意补全图形，如下图所示： 【小问2详解】 解：如（1）中图形所示： 在正方形中，，， 点 关于射线的对称点，， ， ， 是等腰三角形， ， ，，， ， 在 中，利用三角形内角和定理，，，则， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：线段， ， 之间的数量关系为． 证明如下：过点做交 于点 ，如图所示： 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，，则， 在和中， ∴, ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及对称作图、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握相关几何知识的判定与性质是解决问题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知点及两个图形和，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点，使得点是线段的中点，则称点是点 关于点 的关联点，图形是图形关于点 的关联图形，此时三个点的坐标满足，． （1）点是点 关于原点的关联点，则点 的坐标是　 　； （2）已知，点，，，以及点 ①画出正方形关于点 的关联图形； ②在 轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线 分成面积相等的两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由点P'（ 2，2）是点P关于原点O的关联点，可得点P'是线段PO的中点，继而求得答案； （2）①连接AM，并取中点A′，同理，画出B′、C′、D′；继而求得正方形ABCD关于点M的关联图形； ②首先设N（0，n），易得关联图形的中心Q落在直线y= x上，然后由正方形ABCD的中心为E（ 3，0），求得，继而求得答案． 【小问1详解】 解：点是点 关于原点的关联点， 点是线段 的中点， 点 的坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图1，连接 ，并取中点； 同理，画出 、、； 正方形为所求作． ②如图2，设 ． 正方形关于点的关联图形恰好被直线 分成面积相等的两部分， 关联图形的中心落在直线 上， 正方形的中心为， ，， 代入得：， 解得： ． 【点睛】此题属于新定义性题目．考查了一次函数的性质以及关于点的对称图形．注意理解关联图形的定义是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $