高一数学下学期期末模拟卷（人教A版必修第二册全部：向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）

**基本信息** 2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷，聚焦复数、立体几何、概率统计等核心知识，通过《九章算术》“米谷粒分”文化情境、汽车燃油效率图表分析等设计，考查数学抽象、几何直观、数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数象限、空间线面关系、概率充要条件|第3题融合传统文化，第5题燃油效率图表考查数据观念| |填空题|3题/15分|单位向量、系统概率、正三棱台线面角|第13题元件系统概率体现逻辑推理| |解答题|5题/77分|概率频率、立体几何证明、解三角形探究|第17题线面平行与面面垂直证明突出几何直观，第18题三选一条件设计层次性，第19题复数范围求解强化数学语言表达|

2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】 ，复数在复平面内对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法和减法法则，对每个选项进行逐一计算，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误； 故选：C. 3．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 【答案】B 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以（石）. 故选：B 4．给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（    ）    ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. ②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米； ③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少； ④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解． 【详解】对于①，速度在80千米小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油， 丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，所以①正确； 对于②，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5（乙车图象的最高点的纵坐标大于，所以②错误； 对于③，同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多， 所以行驶相同路程，甲车油耗最少，所以③正确； 对于④，甲车以80千米小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米， 所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，所以④错误． 故选：B. 6．在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 7．已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过恰当的举例找到两个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， ， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对于选项B，对于随机事件， ， 由，得， 又因为不能确定是否相互独立，所以无法确定，故B错误； 对于选项C，对于随机事件，且， 则由，得， 又，得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以C正确. 故选：C 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 10．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】BC 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，错误； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 超过从事这两个行业总人数的，正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， “80前”占比，错误. 故选：BC 11．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 【答案】 【分析】求出向量模长，再结合题设条件即可求解. 【详解】因为向量的模长为， 所以与平面向量同向共线的单位向量的坐标为. 故答案为：. 13．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 【答案】 【分析】先计算元件至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率. 【详解】因为元件至少有一个正常工作的概率为， 所以系统正常工作的概率为. 故答案为： 14．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 【答案】1 【分析】法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果. 【详解】法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为，则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得， 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则，知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某射手在同一条件下进行射击，结果如下： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心频率 (1)计算表中击中靶心的各个频率并填表； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 【答案】(1)0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91，填表见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据频率计算公式即可求解； （2）频率与概率的关系，随机事件随着试验次数的增大，频率会越接近于一个常数，就用它作为估计概率． 【详解】（1）击中靶心的概率分别为：；；；；；. （2）随着试验次数的增大，频率向靠近，估计概率为. 16．（15分） 从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表； （2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图即可得解. 【详解】（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图： （3）由频率分布直方图，可估计成绩在分的学生所占总体的百分比是. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 18．（17分） 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 【答案】(1) (2)2； (3) 【分析】（1）选①：利用正弦定理边角互化，再由余弦定理即可求得；选②：利用向量数量积的定义式和三角形面积公式化简计算即得；选③：利用二倍角公式和诱导公式化简后解方程即得. （2）由E为BC中点可得，两边同时平方，由向量的数量积运算可得关于的方程，求解即可； （3）设，将所有相关角用表示，再用正弦定理将AC长用的三角函数式表示出来，通过恒等变换化成正弦型函数，求得的范围，结合正弦函数的性质即可求出AC的最大值． 【详解】（1）选①：， 由正弦定理，可得， 再由余弦定理，可得， 又，所以； 选②：由，可得 ， 又，所以； 选③：由，可得，即， 即，解得或（舍）， 又，所以； （2）如图，因为E为BC中点，所以， 所以，即， 即， 因为，，， 所以，即， 解得，即AC的值为2； （3）已知，，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 可得， 在中，由正弦定理得：， 可得 ， 因为是锐角三角形，所以，解得 则， 故当时，可得AC的最大值是． 19．（17分） 设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 4．给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（    ）    ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. ②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米； ③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少； ④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 6．在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 7．已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 10．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 11．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 13．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 14．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某射手在同一条件下进行射击，结果如下： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心频率 (1)计算表中击中靶心的各个频率并填表； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 16．（15分） 从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 18．（17分） 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 19．（17分） 设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $