2.8 指数与对数的运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据高考评价体系梳理了根式性质、分数指数幂运算、对数换底公式等考查要求。通过知识诊断自测明确易错点，考点聚焦突破分三大模块归纳指数幂运算、对数运算、综合运算等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题引领+技巧提炼+素养提升”，如结合2024年全国甲卷对数方程题，示范换底公式转化与方程思想应用，培养学生数学思维。通过诊断自测辨析“log₂x²=2log₂x”等易错点，强化运算严谨性，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第8节　指数与对数的运算 索引 内容索引 知识诊断自测 01 考点聚焦突破 02 03 课时对点精练 索引 2 知识诊断自测 01 1.根式的概念及性质 (1)概念:式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质:①______没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝____. ③()n＝____ (n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 根式 负数 0 a a -a 索引 4 2.分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂__________. 3.实数指数幂的运算性质 aαaβ＝_______;(aα)β＝____;(ab)α＝______，其中a>0，b>0，α，β∈R. 没有意义 aα＋β aαβ aαbα 索引 5 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝_________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①＝____;②logaab＝b(a>0，且a≠1). logaN N 索引 6 (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝_______________; ②loga＝_______________; ③logaMn＝________ (n∈R). (3)换底公式:logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 索引 7 常用结论与微点提醒 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1;b>0，且b≠1). (2)lobn＝logab(a>0，且a≠1;b>0;m，n∈R，且m≠0). 索引 8 (1)由于＝4，故(1)错误. (2)当<1时，不可以，故(2)错误. (3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误. (4)当M<0，N<0时，虽然MN>0，但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) × × × 索引 9 2.(人教A必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A. B. C.2a＋b D.2b＋a log1210＝. A 索引 10 3.(人教A必修一P110T8改编)已知＝3，则a＋a－1＝　　　　;a2＋a－2＝　　　　.  由＝3，得a＋a－1＋2＝9， 即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49， 即a2＋a－2＝47. 7 47 索引 11 4.计算:π0＋2－2×＋log23－log26＝　　　　.  原式＝1＋×＋log23－log22－log23＝1＋×－1＝. 索引 12 考点聚焦突破 02 13 例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　 　) A. B.＝a C.(＝36 D.＝－ ABC 对于A，，故A正确; 对于B，＝|a|＝a，故B正确; 对于C，(＝62＝36，故C正确; 对于D，，故D错误. 考点一　指数幂的运算 索引 (2)＋(－8＋80.25×＝　　　　.  (3)已知f(x)＝3x＋3－x，且f＝4，则f(a)＝　　　　.  π＋ (2)＋(－8＋80.25×＋(－2)2＋×＋π－2＝＋4＋2＋π－2＝π＋. (3)由已知得＝4，所以＝16， 即3a＋3－a＋2＝16，因此3a＋3－a＝14，故f(a)＝3a＋3－a＝14. 14 索引 感悟提升 1.指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意: (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 索引 训练1 (多选)下列计算正确的是(　　) A. B.÷＝－9a(a>0，b>0) C. D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 BC 对于A，≠，所以A错误; 对于B，÷＝－9·＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确; 索引 对于C，，所以C正确; 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4， 所以x＋x－1＝±2，所以D错误. 索引 例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( 　　) A.＝log75 B.ln(ln e)＝0 C.lo＝－1 D. BCD 对于A，＝log57，故A错误; 对于B，ln(ln e)＝ln 1＝0，故B正确; 对于C，lo＝lo()－1＝－1，故C正确; 对于D，，故D正确. 考点二　对数的运算 索引 (2)计算:lg 25＋lg 2－lg－log29×log32＝　　　　.  － 原式＝lg 5＋lg 2－lg 1－2log23×log32＝1－－2＝－. 索引 感悟提升 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 索引 训练2 (1)log9 32×log64 27＋log9 2×log4＝(　　) A. B.2 C. D. C log9 32×log64 27＋log9 2×log4 ＝×× ＝×× ＝×× ＝. 索引 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝　　　　.  根据题意有＝－， 即3loga2－＝－， 设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－， 得t＝(t＝－1舍去)， 所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 64 索引 例3 (1)已知2a＝7b＝k，若＝1，则k的值为(　　) A.28 B. C.14 D. A ∵2a＝7b＝k，∴a＝log2k，b＝log7k， ∴＝logk2，＝logk7， ∴＝2logk2＋logk7＝logk28＝1， ∴k＝28. 考点三　指数与对数的综合运算 索引 (2)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. C 由2a＝5两边同时取以2为底的对数，得a＝log25. 又b＝log83＝log23， ∴a－3b＝log25－log23＝log2＝2log4＝log4， ∴4a－3b＝. 索引 感悟提升 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. 2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 索引 训练3 (1)若2a＝5b＝zc，且，则z的值为(　　) A. B.10 C.7 D. B 设2a＝5b＝zc＝k>0，且k≠1， 则a＝log2k，b＝log5k，c＝logzk， 所以＝logk2＋logk5＝logk(2×5)＝logk10＝＝logkz， 所以z＝10. 索引 (2)已知a＝log23，4＝3b，则ab＝　　　　.  ∵4＝3b，∴log24＝blog23，b＝， ∴ab＝log23×＝2. 2 索引 课时对点精练 03 一、单选题 1.若xlog32＝1，则2x＝(　　) A.2 B.3 C. D. B 由xlog32＝1，得x＝＝log23， 所以2x＝3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 2.已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm等于(　　) A. B. C. D. D 由换底公式得logma＝， logmb＝，因为ab≠1， 所以logabm＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 3.化简(其中a>0，b>0)的结果是(　　) A. B.－ C. D.－ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 4.下列结论中正确的是(　　) A.若a>0，则·＝a B.若m8＝2，则m＝± C.若a＋a－1＝3，则＝± D.＝2－π B 对于A，根据分数指数幂的运算法则， 可得·，当a＝1时，＝a; 当a≠1时，≠a，故A错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确; 对于C，a＋＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5， 因为a>0，所以，故C错误; 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 5.已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＝b，则a＋b＝(　　) A. B. C. D.2 A ∵4a＝8，2m＝9n＝6， ∴a＝log48＝，m＝log26，n＝log96， ∴b＝＝log62＋log69＝1， ∴a＋b＝＋1＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 6.若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　) A.4 B.1或 C.1或4 D. D ∵2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，∴(x－2y)2＝xy， 即x2－5xy＋4y2＝0，－5＋4＝0，∴＝0， 解得＝1或＝4. 又∵x－2y>0，且x>0，y>0，∴>2，∴＝4，即. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 7.已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝(　　) A.－ B. C. D. C 由log189＝a，18b＝5，得a＝log189，b＝log185，所以log4581＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 8.下列化简中正确的有(　　 ) A.()－1·(a－2 B.(y)a·(4y－a)＝4x C.[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D.2a3·(－5)÷(4)＝－ ABD 对于A，()－1·(a－2，正确; 对于B，(y)a·(4y－a)＝4·ya－a＝4xy0＝4x，正确; 二、多选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 对于C，[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误; 对于D，2a3·(－5)÷(4)＝ [2×(－5)÷4]＝－，正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 9.以下运算中正确的有(　　) A.若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝ B.若，则x＝2 C.－2ln(ln ee)＝7 D.log23·log94＝2 AC 对于A，log518＝，故A正确; 对于B，因为log3＝log33－2＝－2，则x－2＝，即x＝±2，故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确; 对于D，log23·log94＝log23·＝log23·＝1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 10.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　.  f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e. 三、填空题 e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 11.计算:log381－log98·log23－＋lg ＋lg ＝　　　　.  0 原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 12.化简(a>0，b>0)的结果是　　　　.  ＝＝ab－1＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 13.计算下列各值: (1)＋0.1－2－×π0; 原式＝＋100－＝100. 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. (3)(log29)×(lo2)× ＝2log23×× ＝2lo3×＝4×＝1. (2)lg 25＋lg 8－log227×log32＋; (3)(log29)×(lo2)× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 14.已知函数f(x)＝(a>0，a≠1，a为常数，x∈R). (1)若f(m)＝6，求f(－m)的值; 因为f(m)＝6，所以＝6， 所以f(－m)＝＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)若f(1)＝3，求f(2)，f的值. 因为f(1)＝3，所以＝3， 所以a＋a－1＝6， 所以f(2)＝＝17. 因为＝a＋a－1＋2＝8， 所以＝2， 所以f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 $