第2章 第11讲 指数与对数运算(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数运算”专题，依据课程标准覆盖根式、分数指数幂、对数的概念性质及运算应用，对接高考评价体系，分析近五年真题中指数幂运算（占比约30%）、对数性质应用（占比约40%）等高频考点，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+分层突破+素养落地”，如以2025北京卷训练时间题为例，用换底公式转化数据培养数学思维，实际应用题结合放射性衰变模型强化数学眼光与数学语言。设“易错诊断”（如忽略对数真数范围）和“规律方法”总结，帮助学生掌握运算技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第11讲　指数与对数运算 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的 拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转 化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.根式的概念及性质 x 根式 a a 2.分数指数幂 概念 正数的正分数指数幂：＝______ a＞0，m，n∈N*，n＞1且m，n互素 正数的负分数指数幂：＝＝______ 0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aαaβ＝_________；(aα)β＝_______；(ab)α＝________ a＞0，b＞0，α，β∈R 0 aα＋β aαβ aαbα 3.对数 概念 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作___________，其中___叫作对数的底数，____叫作真数．以10为底的对数叫作常用对数，记作_______．以e为底的对数叫作自然对数，记作ln N．(e＝2.718 281…) 性质 ①alogaN＝____；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． 运算 法则 loga(MN)＝________________ a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝________________ logaMn＝_________(n∈R) 换底 公式 logab＝(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1) logaN＝b a N lg N N logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 常用结论 1.lg 2＋lg 5＝1. 2.换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)． (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)． 3.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)． √ 自测诊断 1.下列说法中正确的是 A．＝()n＝a B．log4.2＝m⇔()m＝4.2 C．分数指数幂可以理解为个a相乘 D．若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN 2.(链接北师必修一P105例4)已知2a＝5，log89＝b，则43b－3·4a＝ A.6 B.4 C.2 D.1 √ 因为3b＝3log89＝log29，所以23b＝9，所以43b＝2＝81.又4a＝2＝25，所以43b－3·4a＝81－75＝6.故选A． 3.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____． e 由ff＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23.因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ ln 2，解得a＝e. 4.(链接北师必修一P127T12)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH值来表示溶液的酸碱度．pH的计算公式为pH＝－lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度≈×10－7摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的pH值约为______．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 7.48 依题意，可知渭河咸阳段水溶液的pH值为pH＝－lg＝7＋lg 3≈7＋0.48＝7.48. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　指数幂、对数的简单运算 自主练透 √ 1.(2026·河南新乡模拟)＝ A．16 B．8 C．32 D．16 ＝＝＝24＝16.故选A. √ 2.(2026·浙江杭州模拟)若xlog34＝1，则4x＋4－x＝ A．0 B．1 C． D． 因为xlog34＝1，所以x＝＝log43，故4x＋4－x＝＋＝3＋＝.故选D. √ 3.(2026·山西临汾模拟)已知＝3，log55b＝2，则a－b＝ A．3 B．1 C．－1 D．－3 由＝3，log55b＝2可得＝a＝3，log55b＝b＝2，则a－b＝1.故选B. √ 4.(多选)已知a＋a－1＝3，下列结论正确的是 A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C．＋＝± D．a＋＝2 √ √ 由a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7，故A正确；由a3＋a－3＝(a＋a－1) (a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18，故B正确；由(＋)2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为＞0，＞0，所以＋＝，故C错误；由a＋＝＋＝(＋)(a－1＋a－1)＝×(3－1)＝2，故D正确.故选ABD. 1.指数幂运算：先将根式与分数指数幂统一为分数指数幂． 2.对数运算：先借幂运算变底数或真数为最简底数的分数指数幂，再用对数法则化简合并． 规律方法 考点二　指数幂、对数的运算性质的应用 师生共研 典例1 计算： (1)＋0.1－2＋－3π0＋； 解：＋0.1－2＋－3π0＋＝＋102＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝3＋97＝100. (2)log23·log34＋＋lg 5·lg 20＋lg 16－； 解：log23·log34＋＋lg 5·lg 20＋lg 16－ ＝·＋lg 5·＋2lg 2－3＝2＋lg 5·lg 100＋2lg 2－3＝2＋2－3＝2＋2－3＝1. (3)(×(－0.12＋lg 5＋lg 2＋log354－log36. 解：(×(－0.12＋lg 5＋lg 2＋log354－log36 ＝(26×(22－(0.53＋lg (5×2)＋log3＝22×2－1－0.5－1＋1＋log39＝4×－2＋1＋2＝3. 1.指数幂运算：底数为负时先定符号再化正，结果需避免根号与分数指数共存、分母与负指数共存； 2.对数运算：(1)化同底对数为和差倍数，逆用对数法则．(2)用换底公式转异底为同底，注意公式正用、逆用及变形． 规律方法 对点练1.(1)计算：2－－2. 解：－－ ＝－lo52×－ ＝＋2log35×＋－log35×log35－＝2. (2)已知3a＝5，log32＝b，求＋的值． 解：＋＝＋＝(32a＋2·3a＋4)＋2log23 ＝52＋10＋4＋2log23＝39＋2log23. 考点三　指数与对数运算的实际应用 师生共研 典例2 √ (1)(2026·广东汕头模拟)某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是168小时，在20 ℃的保鲜时间是42小时，则该食品在30 ℃的保鲜时 间是 A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 当x＝0时，eb＝168，当x＝20时，e20k＋b＝42，所以e20k＝＝，e10k＝；当x＝30时，e30k＋b＝·＝×168＝21.故选A. √ (2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时) A．2 B．4 C．20 D．40 设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024× 109)＝klog2＝k，T3＝klog2＝klog2＝k(12＋6log210).因为T2－T1＝k－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.故选B. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 规律方法 √ 对点练2.(2026·河南许昌模拟)放射性物质的衰变规律为：M＝M0×，其中M0指初始质量，t为衰变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1，T2(单位：天)，若两种物质的初始质量相同，1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则－＝ A． B． C． D． 依题意，得M0×＝8M0×，即＝－3，即－＝.故选A. √ 对点练3.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．＝ D．＝ 依题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15 ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以． 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝ A．11 B．12 C．16 D．17 √ 因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＝9，y＝8，所以x＋y＝17.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.(2026·四川乐山模拟)已知2lg 2＝m，10n＝3，则1的值为 A． B． C． D． √ 由2lg 2＝m可得1＝2.又因为10n＝3，所以1＝＝＝.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 3.(2026·河南南阳模拟)已知a＞0，b＞0且ab＝4，则 A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1 C．2a·2b＝16 D．b＝16 依题意，得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定，对于B，log2a＋log2b＝log2ab＝2，对于D，b＝2ab＝16.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 4.(2026·四川成都模拟)把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ'℃，空气的温度是θ0℃，则t min后该物体的温度θ ℃满足θ＝θ0＋(θ'－θ0).将温度分别为20 ℃和40 ℃的两块物体放入温度为30 ℃的空气中，要使两块物体的温度之差不超过10 ℃，至少要经过 (取：ln 2＝0.69) A．1.38 min B．2.76 min C．4.14 min D．5.52 min 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 20 ℃的物体经过t min后的温度为θ1＝30＋＜30，40 ℃的物体经过t min后的温度为θ2＝30＋＞30.依题意可得θ2－θ1＝30＋－≤10，即≤，解得t≥4ln 2＝2.76，所以要使两块物体的温度之差不超过10 ℃，至少要经过2.76 min.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 教师备选 (2026·河北石家庄期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，那么污染物减少大约需要花费(参考数据：lg 3≈0.48) A．55 h B．60 h C．64 h D．65 h 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，那么P＝P0·0..因为污染物减少，所以P0＝P0·0.，所以＝log0.9＝，所以t＝＝≈＝60.所以污染物减少大约需要花费60 h.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 5.(多选)下列运算中，正确的是 A．－＝－2 B．若a＋＝14，则＋＝4 C．若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D．若4a＝6b＝9c，则＋＝ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，－＝－＝－＝－2，故A正确；对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，故B正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，故C不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但＋＝无意义，故D不正确.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 6.(多选)(2025·江苏南京模拟)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是 A．＝2b B．a·eln a＝b C．b＝2a D．log2a＝log8ab √ 由2log3＋log3b＝0，得a＞0，b＞0，且log3a－2＋log3b＝0，即log3a－2b＝0，所以a－2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不一定成立，故C错误；由于＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，故A错误；由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；又log8ab＝log8a3＝loa3＝log2a，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 7.(2026·江西萍乡模拟)已知＝，则x0＋ln＝______. ln 3 依题意，ln＝ln x0－x0＝－ln－x0＝－ln 3，故x0＋ln＝ln 3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.(多题同解)(1)(2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝___． 64 依题意，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6.又a＞1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)(2026·湖北孝感模拟)已知logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝____． 9 显然a＞0且a≠1，b＞0且b≠1.设t＝logba，代入logab＋logba＝，可得t＋＝，即3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.若t＝3，则logba＝3，即a＝b3.又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得b＝，a＝3，所以ab＝9；若t＝，则logba＝，即a＝.又因为ab＝ba，所以＝ba，则a＝b，故b＝，解得b＝3，故a＝b＝，故ab＝9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 9.(10分)(1)已知＋＝3，计算：； 解：因为＋＝3，所以＝9， 即x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7， 所以(x＋x－1)2＝49，即x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)已知a＝＋－，b＝log39＋log3，求lg a2－b2 026＋2 026的值. 解：由题意a＝＋－ ＝＋1－＝－＝1， b＝log39＋log3＝log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lg a2－b2 026＋2 026＝lg 12－(－1)2 026＋2 026＝0－1＋2 026＝2 025. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.(2026·浙江嘉兴模拟)若实数a，b满足eae2b－1＝1，则ab的最大值为 A． B． C． D． √ 因为eae2b－1＝1，所以ea＋2b－1＝e0，即a＋2b＝1，故ab＝b＝ －2＋≤，即ab≤，当且仅当b＝时等号成立，故ab的最大值为.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.(多选)(2026·安徽六安模拟)已知a＝log210，b＝log3，则 A．ab＜0 B.4a·9b＝1 C．－＞1 D．log56＝ √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，因为a＝log210＞log21＝0，b＝log3＜log31＝0，所以ab＜0，故A正确；对于B，因为4a·9b＝·＝＝＝1，故B正确；对于C，因为－＝lg 2－＝lg 6＜lg 10＝1，故C错误；对于D，因为＝＝＝＝log56，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.(15分)已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值； 解：f(4)－5f(2)g(2)＝－5×× ＝－＝－＝0， f(9)－5f(3)g(3)＝－5××＝－＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明. 解：由此概括出对所有不等于0的实数x都有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： f(x2)－5f(x)g(x)＝－)－5×·＝－＝0， 因此，等式成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 13.(多选)已知放射性物质质量随时间t的衰变公式N(t)＝N0，N0表示物质的初始质量，τ是一个具有时间量纲的数.半衰期T指的是放射性物质质量从初始质量到衰变成一半所需的时间，已知铀234、铀235、铀238对应的τ的取值分别为35.58万年，10.2亿年，64.75亿年.若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(取ln 2＝0.7) A．T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1＞T2 D．T3＞10 000T1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 依题意，得N0＝N0，故ln＝－，所以T＝τln 2，故A错误；T与τ成正比例关系，且在定义域上单调递增，故B正确；由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1＜T2，故C错误；T3＝6.475×109ln 2，T1＝3.558× 105ln 2，故＝＞1，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 14.(开放题)(2026·北京东城模拟)能说明“若a＋b＞2，则lg a＋lg b＞0”是 假命题的一组正实数a，b的值是_______________________． a＝2，b＝(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 假设命题“若a＋b＞2，则lg a＋lg b＞0”为假命题，只需要找到一组正实数a，b，满足a＋b＞2且lg a＋lg b≤0.根据对数的加法公式可知：lg a＋lg b＝lg.若ab≤1，则lg a＋lg b＝lg≤0.假设a＝2，b＝，则⇒所以存在正实数：a＝2，b＝使得“若ab≤1，则lg a＋lg b＝lg≤0”成立，即“若a＋b＞2，则lg a＋lg b＞0”是假命题.故答案为a＝2，b＝(答案不唯一). 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 第11讲　指数与对数运算 $