第2章 第11讲 指数与对数的运算(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据课程标准要求，对接高考评价体系，梳理指数幂运算性质、对数概念及运算性质、换底公式等关键内容，通过分析近五年高考真题明确考点权重，归纳化简求值、指对互化、实际应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+规律方法+素养提升”的备考模式，整合2024全国甲卷、2023新课标Ⅰ卷等真题，提炼指数幂统一化、对数拆合等应试技巧，培养学生数学思维（运算能力、推理能力）和数学语言（模型观念），如通过“指对互化设k法”解析综合运算题，帮助学生掌握得分关键，教师可依托课件精准实施分层教学，提升复习效率。

第11讲　指数与对数的运算 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.　 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.根式与有理数指数幂 (1)根式 x 根式 a a (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝______ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝_____ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 aras＝ a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 2.对数 概念 如果________(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝________，其中a叫做对数的______，N叫做______ 性质 对数式与指数式的互化：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔___________ 负数和0没有对数 1的对数是___：loga1＝___ 底数的对数是___：logaa＝___ 对数恒等式：＝____ ax＝N logaN 底数 真数 x＝logaN 0 0 1 1 N 运算性质 loga(MN)＝________________ a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝________________ logaMn＝_________(n∈R) 换底公式 logab＝(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1) logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 常用结论 1.lg 2＋lg 5＝1. 2.换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)lobn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). 3.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0). 自测诊断 1.(多选)下列等式成立的是 A.(－2＝ B.2＝ C.(－2)0＝－1 D.()4＝ √ √ 对于A，(－2)＝，故A正确；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，()4＝，故D正确.故选AD. 因为x＜0，y＜0，所以＝(16x8·y4＝(16·(x8·(y4＝2x2｜y｜＝－2x2y.故选B. 2.(链接人教A必修一P106例3)化简 (x＜0，y＜0)＝ A.2x2y B.－2x2y C.2xy2 D.－2xy2 √ 原式＝···…·＝＝3. 3.(链接人教A必修一P126练习T3)log23·log34·log45·…·log78＝____. 3 4.＋－lg 5－lg 2＝____. 11 原式＝(33＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11. 返回 考点探究　能力提升 返回 考点一　指数幂的运算 自主练透 当x＞0，y＞0时，x＋y＝＋＝2，当x＜0，y＜0时，x＋y＝－＋(－)＝－2. 1.若xy＝3，则x＋y＝________. ±2 将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，因为(－)2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，，的大小不确定，所以－＝±1. 2.(双空题)已知a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝____，－＝_____. 7 ±1 3.化简与求值： (1)(－(2)0.5＋(0.027； 解：原式＝(－()0.5＋(0.3＝－＋0.09＝－0.16. (2)(a＞0，b＞0)； 解：原式＝＝·＝. (3)(×(－)0＋×－. 解：原式＝(×1＋×－(＝2. 指数幂运算的一般原则 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. 2.当底数是负数时，先确定运算结果的符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 注意：掌握乘法公式的常见变形， 如(＋)(－)＝a－b(a，b＞0)， (±)2＝a±2＋b(a，b＞0)， (±)(∓＋)＝a±b(a，b＞0). 规律方法 考点二　对数的运算 多维探究 因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＝9，y＝8，所以x＋y＝17.故选D. 角度1　对数式的化简与计算 1.(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则 x＋y＝ A.11 B.12 C.16 D.17 √ log1498＝＝＝＝.故选D. 2.已知lg 2＝a，lg 7＝b，则log1498＝ A. B. C. D. √ 由已知得－＝－log2a＝－，整理得－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6.又a＞1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 3.(2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝____. 64 4.计算下列各式： (1)(一题多解)log225·log3(2)·log59； 解：法一：log225·log3(2)·log59＝log252·log3·log532＝6log25·log32·log53＝6. 法二：log225·log3(2)·log59＝··＝··＝6. (2)； 解：原式＝＝＝1. (3)log23·log38＋(. 解：原式＝·＋＝3＋＝3＋2＝5. 因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝. 角度2　指数式与对数式的综合运算 (1)已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝____. 典例1 由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝××＝2，则log4(abc)＝log42＝. (2)已知2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝____. 由9a＝4b＝m＞0，可得a＝log9m，b＝log4m，由题意知m≠1，所以＋＝logm9＋4logm4＝4＝logm9＋logm44，即logm(9×44)＝4，即9×44＝m4，所以m＝4. (3)若9a＝4b＝m，且＋＝4，则m＝______. 4 1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k＞0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 注意：利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 规律方法 对点练1.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____. 由ff＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23.因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. e 对点练2.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么 A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C.＝＋ D.＝－ 根据题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)，则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，＝logM4，＝logM6，＝logM9. 因为logM4＋logM9＝2logM6，所以＋＝，即＝－，整理得ab＋bc＝2ac，易知A、D正确，B、C错误.故选AD. √ √ 考点三　指数与对数运算的实际应用 师生共研 令Q＝Q0＝Q0可得＝，可得－＝ln＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.故选D. 典例2 (1)(2025·山东青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0 ，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年) A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 √ (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 √ √ √ 燃油汽车＝20×lg∈[60，90]，所以＝1，∈[60，90]①，同理＝1，∈[50，60]②，＝1＝102＝100③.对于A，由题表知≥，故A正确；对于B，②÷③得，＝1∈[1，101]，所以≤10，故B错误；对于C，＝1＝102＝100，故C正确；对于D，①÷②得，＝1∈[100，102]，所以∈[1，100]，p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 规律方法 对点练3.(2025·北京海淀一模)某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1％.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·e－kt(k 为正常数，P0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90％，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤 A.小时 B.小时 C.5小时 D.小时 √ 由题意，前5个小时消除了90％的污染物，因为P＝P0·e－kt，所以(1－ 90％)P0＝P0e－5k，所以0.1＝e－5k，即－5k＝ln 0.1，所以k＝－ln 0.1，则由1％P0≥P0e－kt，即ln 0.01≥×ln 0.1，所以t≥10，即总共至少需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1％.又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时.故选C. 对点练4.(2025·江苏海安、宿迁测试)在可观测的宇宙中，平均大约有4 000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48) A.10－71 B.10－81 C.10－91 D.1091 √ 由题意得lg＝lg＝lg1082－lg 3361≈82－361×0.48＝－91.28，所以≈10－91.28，所以与最接近的是10－91.故选C. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2025·河南新乡二模)＝ A.16 B.8 C.32 D.16 √ 由＝＝＝24＝16.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.已知a＝log23，b＝log25，则log415＝ A.2a＋2b B.a＋b C.ab D.a＋b √ log415＝log215＝(log23＋log25)＝a＋b.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－＝ A.－7 B.－6 C.－3 D.0 √ 原式＝log34－log3＋log38＋1－＝log3(4××8)＋1－＝log39＋1－9＝－6.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.(2025·山东威海一模)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生 物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由d1变为d2，若＝，则＝ A.log32 B. C.log23 D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由题意得d2＝，d1＝，由＝，可得N1＝，所以＝·＝＝＝＝.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)下列计算正确的是 A.(－60－(＝－1 B.(＋ln(ln e)＝7 C.log23×log34＝log67 D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，原式＝－1－＝－1，故A正确；对于B，原式＝(＋ ln(ln e)＝7＋ln 1＝7，故B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，故C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)下列运算中，正确的是 A.－＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，－＝－＝－＝－2，故A正确；对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，故B正确； 对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，故C不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但＋＝无意义，故D不正确.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.已知a＞0，化简＝_____. ＝＝＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝____. 由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根，解得logba＝2或logba＝.又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2.又ab＝ba，从而＝ba，则a＝2b，且a＝b2，则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8. 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)(1)已知＋＝3，计算：； 解：因为＋＝3，所以＝9，即x＋x－1＋2＝9， 所以x＋x－1＝7，所以(x＋x－1)2＝49，即x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)已知a＝＋－，b＝log39＋log3，求lg a2－b2 027＋2 026的值； 解：根据题意，a＝＋－＝＋1－＝－＝1， b＝log39＋log3＝log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lg a2－b2 027＋2 026＝lg 12－＋2 026＝0－＋2 026＝ 2 027. (3)(＋eln 3＋lo－log34·log23. 解：原式＝(＋3－log2－2log32·log23＝＋3－－2＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.(2025·山东淄博一模)已知函数f满足f＝2f，当0≤x＜1时，f＝3x，则f＝ A.2 B.4 C.8 D.18 因为2＝log39＜log318＜log327＝3，所以0＜log318－2＜1.因为f＝2f，所以f＝22f＝22×＝8.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(2025·河南南阳模拟)在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中G0＝20，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.062 5，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(已知lg 2≈0.3) A.31 B.32 C.33 D.34 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为衰减学习率模型为L＝L0，所以根据已知条件可得0.25＝L0＝L0①，0.062 5＝L0＝L0②，用②式除以①式可得＝，化简可得D＝0.25.将D＝0.25代入①式中可得L0＝0.5.所以衰减学习率模型为L＝0.5·.当学习率衰减到0.05以下时，即L＝0.5·＜0.05.化简上述不等式得lg 0.25＜lg 0.1，所以n＞×20＝≈33.3.因为n为正整数，所以最小值取34.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知P＝80.25×＋－(－2 026)0，Q＝2log32－log3＋log38. (1)分别求P和Q； 解：P＝80.25×＋－(－2 026)0 ＝(8×2＋－1＝2＋－1＝ ， Q＝2log32－log3＋log38＝log3＝log39＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若2a＝5b＝m，且＋＝Q，求m. 解：因为2a＝5b＝m＞0，所以a＝log2m，b＝log5m， 由换底公式得＝logm2，＝logm5，则m≠1， 则＋＝logm2＋logm5＝logm10， 由于＋＝Q，故logm10＝2，所以m＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(2025·浙江杭州二模)定义“真指数”＝(e为自然对数的底数)，则 A.＝· B.＝ C.＋≥2 D.≤ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，取x1＝3，x2＝－2，左边x1＋x2＝1≥0，即左边等于e；右边等于e3·1＝e3，故A错误；对于B，取x1＝1，x2＝2，左边x1－x2＝－1＜0，即左边等于1；右边等于＝，故B错误；对于C，由于ex＞0恒成立，所以＞0在x∈R恒成立，所以＋≥2＝2，当且仅当＝时取等号，故C正确；对于D，取x1＝－1，x2＝－1，左边x1x2＝1＞0，即左边等于e；右边等于＝1－1＝1.故D错误.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.已知lob1＝lob2＝…＝lob211＝985，则lo(b1b2…b211) ＝_____. 985 因为lob1＝lob2＝…＝lob211＝985，则bi＝(i＝1，2，3，…，211)，所以lo(b1b2…b211)＝＝＝＝985. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 指数与对数的运算 $