精品解析：江西省九江市第六中学2025-2026 学年下学期期中考试八年级数学试卷

九江六中2025-2026下学期八年级数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共45分） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 九边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 5. 在 中，， ，则 的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 用反证法证明“在 中，如果 ，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 9. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 12. 如图，在 中， ， 平分 ，若 ，则点 到 的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 13. 在等腰 中，若，则 的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 14. 已知如图， 中， ， ， ，边 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，则 的长是（ ）． A. B. C. 4 D. 6 15. 如图，，点D在它内部，，E，F分别是上的两个动点．则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 16. 一次函数 的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 17. 将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标是__________． 18. 分解因式：________． 19. 若方程的解是非负数，则 的取值范围是_________． 20. 如图， 是等腰三角形，，点D在边 上，， ，点P为边 上一动点，连接 ，将沿 翻折，得到，当 与 的腰垂直时，则_________． 三、解答题（60分） 21. 计算，解决问题 1．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他． 2．快餐总质量为400g． 3．碳水化合物的质量是蛋白质质量的4倍． （1）解不等式，并写出它的正整数解． （2）解不等式组． （3）某校八年级社会实践小组开展课外活动，调查某快餐的营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份该快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的，则这份快餐最多含有多少克蛋白质？ 22. 解决问题 （1）如图1，已知在 中， ， ．把 向下平移至后， ， ．请求出图中阴影部分的面积． （2）如图2， 中， 是边 的垂直平分线， ， ，求 的长． （3）如图3，已知 ， ， 垂直 的延长线于点 垂直 的延长线于点F．求证： ． 23. 因式分解． （1） （2） 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1） 的面积为___________； （2）将 绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出坐标； （3）在 轴上求作一点 ，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 25. 已知整数 同时满足不等式和，并且满足方程，求 的值． 26. 问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？ （1）问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：； （2）问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________； （3）问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江六中2025-2026下学期八年级数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共45分） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的定义“用不等号连接的式子是不等式”逐项判断即可． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； B． 是用等号连接的等式，不是不等式； C．是用不等号 连接的式子，符合不等式的定义，是不等式，符合题意； D．是用等号连接的等式，不是不等式，不符合题意． 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变， ∴由可得，故A错误； ∵ 的符号不确定，当 时，，当 时，， ∴B错误； ∵不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变， ∴由可得，故C错误； ∵不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变， ∴由可得，故D正确． 4. 九边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和性质，牢记任意多边形的外角和都是是解题的关键. 多边形的外角和恒为，与边数无关，由此可解. 【详解】解：∵ 任意多边形的外角和都等于, ∴ 九边形的外角和为. 故选：B． 5. 在 中，， ，则 的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用“等角对等边”即可直接求出 的长． 【详解】解：∵在中，， ∴由等角对等边可得， 又∵ ， ∴． 6. 用反证法证明“在 中，如果 ，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需确定原结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立， 本题原结论为 ， 其否定为 ， ∴ 第一步应假设． 7. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 8. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“把一个多项式化成几个整式积的形式的变形叫做因式分解”对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果必须是几个整式乘积的形式， A、变形是整式乘法，结果为和的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是分解因式，符合题意 D、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意． 9. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须是非负数； 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴． 解不等式得： ． 10. 若点在第三象限，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，点位于第三象限时，横坐标和纵坐标均为负数，已知纵坐标为，只需横坐标，求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴横坐标，纵坐标（已满足）， ∴， 解得， 故选A． 11. 已知，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 12. 如图，在 中， ， 平分 ，若 ，则点 到 的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作 ，垂足为 ，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作 ，垂足为 ， ， 平分 ， ， ， ， ， 则点 到 的距离为 ． 13. 在等腰 中，若，则 的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此 为顶角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求 ． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，且为钝角， ∴ 是顶角，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 14. 已知如图， 中， ， ， ，边 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，则 的长是（ ）． A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC,根据线段垂直平分线性质和勾股定理可求AE. 【详解】因为 中， ， ， ， 所以BC= 因为 的垂直平分线交 于点 ， 所以AE=EC 设AE=x,则BE=8-x,EC=x 在Rt△BCE中，由BE2+BC2=EC2可得 x2+（8-x）2=62 解得x=.即AE= 故选：B 【点睛】考核知识点：勾股定理，线段垂直平分线.根据勾股定理求出相应线段是关键. 15. 如图，，点D在它内部，，E，F分别是上的两个动点．则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接， ，此时的周长最小，最小值为 ，证明是等边三角形，即可求解；确定的周长最小的情形是解题的关键． 【详解】解：作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接， ， ， 如图所示： 由对称性可知，，，， ∴， 当点 、 、 、 四点共线时的周长最小，最小值为 ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴周长的最小值为 ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 16. 一次函数 的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集为． 17. 将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标平移中点的变化规律，向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得到点 的坐标． 【详解】解：∵点先向右平移 个单位，再向下平移 个单位后得到点 ， ∴点 的横坐标为，点 的纵坐标为， ∴点 的坐标为． 18. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 19. 若方程的解是非负数，则 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解题的关键是，直接求解，再令解大于等于 ，转化为一个一元一次不等式求解集的问题． 解方程得到 的表达式，根据解是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 两边除以 得． 由于方程的解是非负数，即 ， ． 去分母得， 移项得， 解得． 故答案为：． 20. 如图， 是等腰三角形，，点D在边 上，， ，点P为边 上一动点，连接 ，将沿 翻折，得到，当 与 的腰垂直时，则_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，， ∴， 当时，设交 于点H， 如图，当点在 上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在 下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交 于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 三、解答题（60分） 21. 计算，解决问题 1．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他． 2．快餐总质量为400g． 3．碳水化合物的质量是蛋白质质量的4倍． （1）解不等式，并写出它的正整数解． （2）解不等式组． （3）某校八年级社会实践小组开展课外活动，调查某快餐的营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份该快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的，则这份快餐最多含有多少克蛋白质？ 【答案】（1） ；正整数解 （2） （3）克 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解，再根据解集求得整数解； （2）分别解两个不等式，求得公共解集，即可求解； （3）设这份快餐含有 克的蛋白质，根据题意列出不等式，解不等式求得 的最大值，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： ； ∴正整数解为： 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 【小问3详解】 解：设这份快餐含有 克的蛋白质． 根据题意可得∶， 解不等式，得． 答：这份快餐最多含有克的蛋白质． 22. 解决问题 （1）如图1，已知在 中， ， ．把 向下平移至后， ， ．请求出图中阴影部分的面积． （2）如图2， 中， 是边 的垂直平分线， ， ，求 的长． （3）如图3，已知 ， ， 垂直 的延长线于点 垂直 的延长线于点F．求证： ． 【答案】（1） （2）7 （3）证明：如图，连接 ． 在 和 中， ， ． 又 ， ， 【解析】 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得 ，然后求出 ，再求出梯形 的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得 ，进而根据 即可求解． （3）连接 ，证明 ，得到 ，再利用角平分线的性质得到 ． 【小问1详解】 解： 把 向下平移至 ， ， ， ， ， 阴影部分面积 梯形 的面积，． 【小问2详解】 垂直平分 ， ． 【小问3详解】 略 23. 因式分解． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将 化为，再提公因式，即可因式分解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1） 的面积为___________； （2）将 绕点 按顺时针方向旋转得到，作出，并写出坐标； （3）在 轴上求作一点 ，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） （2）图见解析，坐标为 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据割补法得出三角形的面积即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点、、的位置，描出，并顺次连接、、即可； （3）作出点C关于x轴对称的点，连接，此时交x轴于点P，连接 ，此时点P即为所作；根据对称性和两点之间线段最短即可得到的值最小． 【小问1详解】 解：由图可得， 的面积． 【小问2详解】 解：如图所示： 由图可得，坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示： 25. 已知整数 同时满足不等式和，并且满足方程，求 的值． 【答案】 的值为或1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，方程的解，解题的关键是准确熟练地进行计算． 先按照解一元一次不等式的步骤求出解集，并得到整数解，然后代入方程求出 的值． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得 ． 同时满足不等式和， ． 是整数， 或 ． 将 代入方程， 得， 解得； 将 代入方程，得，解得 ． 综上所述， 的值为或 ． 26. 问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？ （1）问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：； （2）问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________； （3）问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【答案】（1）画图见解析；证明见解析 （2）120°；120° （3） 【解析】 【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论； （2）问题的解决：运用类比的思想，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知：当在同一直线上时，的值为最小，当满足时，满足三点共线； （3）问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【小问1详解】 解：如图1， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 满足时，PA+PB+PC的值为最小，理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知： 当在同一直线上时，的值最小． 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 故答案为：，； 【小问3详解】 如图3， 在中， ∵，， ∴，， 把绕点B逆时针旋转60°得到，连接， 由旋转可得，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $