精品解析：江西九江市同文中学2025-2026学年下学期期中考试八年级数学

九江市同文中学2025-2026学年度下学期期中考试 八年级下数学 考试时间：120分钟总分：120分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含对称美．下列青铜器纹样图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 本题可根据不等式的基本性质，逐项判断即可得到正确选项，需注意不等式两边同乘负数时，不等号方向改变. 【详解】解：∵ ，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A选项错误，不符合题意； ∵ ，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B选项正确，符合题意 ∵ ，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，C选项错误，不符合题意. ∵ ，不等式两边同时乘以得，两边同时加得， ∴ D选项错误，不符合题意. 故选：B. 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 4. 如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 5. 如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后求出，证明出是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 6. 如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰直角三角形得到，，推出，然后得到，即可证明，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确． 综上所述，正确的结论有3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设结论不成立，找出所证结论的所有反面情况即可． 【详解】解：本题要证明的结论是，其反面是， ∴应假设． 9. 如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，因为曲线关于点成中心对称，则①和②的面积相等，因为，所以. 【详解】解：如图，连接， 点O是曲线的对称中心， ①和②的面积相等， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称，解题的关键是正确推理运算． 10. 如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，再证明垂直平分，得到，，求得，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 12. 在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 【答案】2或14或 【解析】 【分析】本题根据已知条件分情况讨论角的位置，排除的情况，得到和两种情况，再结合高的位置分类，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算的长． 【详解】解：分情况讨论如下： 情况1：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； 情况2：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形， 同理可求， ， ， 在中，由勾股定理得，， 综上：边的长为2或14或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 解下列不等式（组）与方程 （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果； （2）先把分式方程化为整式方程，求解后检验得到原分式方程的解； 【小问1详解】 解： ， 解不等式① 得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 方程变形为， 方程两边同乘最简公分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 15. 下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： （1）上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； （2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 【答案】（1）四； （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题中的计算过程解答即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，第四步进行化简时分子的符号没改变， 故答案为：四； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 16. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）求在平移过程中扫过的面积． 【答案】（1）见详解 （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式可得在平移过程中扫过的面积． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：， ， 在平移过程中扫过的面积为． 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【小问1详解】 解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． （1）代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． （2）已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】（1）大；；7 （2） 【解析】 【分析】（1）提取负号后配方，将代数式转化为“负的完全平方加常数”的形式，根据完全平方的非负性判断代数式的最值，进而求出对应的值； （2）先通过配方将等式转化为两个完全平方和为0的形式，利用非负性求出、的长度，再结合“是最长边”和三角形三边关系确定的取值范围． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 代数式的最大值是，此时． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ，， ，， 解得，． ∴， 又是中最长的边， ， 的取值范围是． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．规定其中一个动点到达端点时，另 一个动点也随之停止运动．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． 【小问2详解】 解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 20. 阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： （1）方程的解是____________； （2）方程的解是____________； （3）解方程：． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解； （2）根据材料中方程的解法求解即可； （3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可． 【小问1详解】 解：方程 的解为， 故答案为：， 【小问2详解】 由方程可得或， 解得，， 故答案为：， 【小问3详解】 将方程变形为， 可得或， 解得， 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． （1）沙包和篮球的单价各是多少元？ （2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】（1）沙包的单价为12元，篮球的单价为30元 （2）一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包个，购买篮球个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：，， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买沙包个，购买篮球个，根据题意得： 解得：， 一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 22. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，点B的坐标为或 【解析】 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； 【小问3详解】 解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点， 则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2025-2026学年度下学期期中考试 八年级下数学 考试时间：120分钟总分：120分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含对称美．下列青铜器纹样图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 4. 如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把多项式分解因式的结果是_____． 8. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 9. 如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为______． 10. 如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 11. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 12. 在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用简便方法计算： （1）； （2）． 14. 解下列不等式（组）与方程 （1）； （2）解方程：． 15. 下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： （1）上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； （2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 16. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）求在平移过程中扫过的面积． 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． （1）代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． （2）已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．规定其中一个动点到达端点时，另 一个动点也随之停止运动．若两点同时出发，则几秒后轴？ 20. 阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： （1）方程的解是____________； （2）方程的解是____________； （3）解方程：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． （1）沙包和篮球的单价各是多少元？ （2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 22. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $