精品解析：江西抚州南城县实验中学2025-2026学年八年级下学期期中学生学业质量监测数学试卷

南城县实验中学八年级下学期学生学业质量监测数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项B、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 计算的结果正确的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 4. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（ ） A. 17 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 6. 如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（ ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确． 【详解】解：如图，过点F作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故（1）正确； 在AD上截取， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故（2）正确； 连接AG，过点作，，，垂足分别为，，， ，，， ， ， ， ， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 故（4）正确； 故选：C 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 8. 若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，结合已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得：． 解不等式， 移项得， 系数化为得：． 不等式组的解集为， ， 解得． 9. 已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】设其中一个内角为，表示出另一个内角为，分三种情况讨论：为顶角，为底角；为底角，为顶角；与均为底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ① 当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ② 当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③ 当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 10. 若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、解一元一次不等式组，根据一次函数的图像不经过第二象限，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图像不经过第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：． 故答案为：． 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求解不等式组，根据不等式组有解求出的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有整数解以及的取值范围确定满足条件的的值，据此求解即可． 【详解】解：不等式组 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：； 方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 分式方程有解， ∴，即时， ∴ ，即， ， ， ， 方程有整数解， 是2的因数， 2的因数有、， 当，即时，，是分式方程的增根，不符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，，此情况不符合题意， 综上所述，满足条件的所有整数的和为． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算 （1）解不等式 （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： 两边同乘得： 化简得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 解得： 检验：当时，分母， 则是增根，原方程无解． 14. 对于实数，，定义一种新运算“”：，例如：． （1）求的值； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新运算的定义求解即可； （2）根据新运算的定义得到分式方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ， 解得：， 检验：当时，， 所列方程的解为，即所求的值为3． 15. 已知x=，y=，求的值. 【答案】1 【解析】 【分析】先计算出x-y和xy的值，再把分子分母因式分解，然后约分后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵x=,y=， ∴x−y=2，xy=2， ∴==1. 【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于求出x-y和xy的值. 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）连接，，则这两条线段之间的关系是 ； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）7 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用补形法结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求． 【小问2详解】 解：如图， 由平移的性质可得：，． 【小问3详解】 解：． 的面积为． 17. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 若关于x的方程： （1）有增根，求a的值； （2）无解，求a的值． 【答案】（1）或 （2）a的值为1或或8 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边同乘得：， 整理可得：， ∵原方程有增根， ∴， 即， 当时，， 当时，， ∴或时，方程有增根； 【小问2详解】 解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 19. 阅读并完成下列问题： （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． （2）观察以上三个多项式的系数： ； ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． （3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式、平方根，熟记完全平方公式，正确得出系数间的关系是解答的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解解答即可； （2）观察前几个多项式系数间的关系解答即可； （3）根据（2）中得出的系数关系得出关于m的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解： ；；，… ∴前几个多项式系数间的关系可得：， 故答案为： ； 【小问3详解】 多项式  是一个完全平方式， ， ， ， ， ． 20. 定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． （1）定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； （2）定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； 【小问2详解】 解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 由于受到手机更新换代的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ 【答案】（1）今年甲型号手机每台售价为1500元 （2）共有5种进货方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程和不等式组在求解即可． （1）先设今年甲型号手机每台售价为x元，根据题意列出方程，解出x的值，再进行检验，即可得出答案； （2）先设购进甲型号手机m台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，即可得出进货方案． 【小问1详解】 解：设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得， ， 解得：， 经检验是方程的解， 故今年甲型号手机每台售价为1500元； 【小问2详解】 设购进甲型号手机m台，由题意得， ， 解得：， 因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． 22. 我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； （2）已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】（1）①；② （2）7 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 六、解答题（本大题共12分） 23. 解决问题 （1）【探究发现】如图1，在中，，，垂足为，点在上，连接，．则有：①；②，请你证明②． （2）【类比迁移】如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． （3）【拓展提升】如图3，在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）证明：，， ，， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， ，， ， ， 在和中， ， ； ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，利用“”证明即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，证明，进而得到，则，从而得出结论； （3）延长交于点，利用旋转的性质确定，在中，，进而求出，过点B作于点E，同理求出，在中利用勾股定理列出方程，结合完全平方公式的非负性求出的最大值，从而求出最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转得：，，， ， 延长交于点， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 过点B作于点E， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 整理得：， 的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、完全平方公式的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南城县实验中学八年级下学期学生学业质量监测数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果正确的是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（ ） A. 17 B. 18 C. 16 D. 12 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（ ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 8. 若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 9. 已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 10. 若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是______． 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 12. 关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算 （1）解不等式 （2） 14. 对于实数，，定义一种新运算“”：，例如：． （1）求的值； （2）若，求的值； 15. 已知x=，y=，求的值. 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）连接，，则这两条线段之间的关系是 ； （3）求的面积． 17. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 若关于x的方程： （1）有增根，求a的值； （2）无解，求a的值． 19. 阅读并完成下列问题： （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． （2）观察以上三个多项式的系数： ； ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． （3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 20. 定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． （1）定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； （2）定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 由于受到手机更新换代的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ 22. 我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； （2）已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 解决问题 （1）【探究发现】如图1，在中，，，垂足为，点在上，连接，．则有：①；②，请你证明②． （2）【类比迁移】如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． （3）【拓展提升】如图3，在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $