期末备考13——概率基本题型专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以概率核心概念为逻辑起点，通过10类题型系统覆盖随机事件判断、古典概型等知识模块，注重概念辨析与综合应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件判断|2题|多选为主，结合集合知识辨析事件类型|从事件定义到性质判断，构建概率认知基础| |样本点与样本空间|3题|情境化列举与计算，含多选与填空|承接事件概念，建立概率计算的样本空间模型| |互斥与对立事件|3题|结合具体情境辨析事件关系|深化事件关系认知，为概率加法公式铺垫| |古典概型|4题|含选择、填空与多选，覆盖放回与不放回模型|应用样本空间知识解决等可能概型计算| |概率与统计综合|2题|结合频率分布直方图的概率计算与应用|体现用数学语言表达现实世界的核心素养，实现知识综合迁移|

人教A版数学必修二期末备考11 概率基本题型梳理 题型一、随机事件的判断 1、（多选）下列命题中正确的是（    ） A.“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； B.“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； C.“明天上海要下雨”是必然事件； D.“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． 2、给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 题型二、样本点与样本空间的计算 1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的两个,则试验的样本空间包含的样本点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子一次,记两枚骰子掷出的点数之差的绝对值为X,则下列结果是“X=4”的样本点的是(　　) A.第一枚6点,第二枚2点 B.第一枚5点,第二枚1点 C.第一枚2点,第二枚6点 D.第一枚1点,第二枚4点 3.某班数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5),采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示,则这一试验的样本空间为　　　　　　　　　　　　.  题型三、互斥事件与对立事件的辨析 1.从装有除颜色外完全相同的十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列事件中是互斥而不对立的两个事件是(　　) A.至少有一个红球,至少有一个白球 B.恰有一个红球,都是白球 C.至少有一个红球,都是白球 D.至多有一个红球,都是红球 2.如果事件A,B互斥,记分别为事件A,B的对立事件,那么(　　) A.A∪B是必然事件 B.是必然事件 C.一定互斥 D.一定不互斥 3、（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 题型四、事件的关系 1、（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 2、（多选）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 3、（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 题型五、概率的基本性质 1、已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 2.根据多年气象统计资料可知,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为(　　) A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75 3.袋中装有除颜色外其他完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球,取到红球的概率是,取到黑球或黄球的概率是,取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少. 题型六、 古典概型概率的计算 1、某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 3.(多选题)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次向上的点数记为a,第二次向上的点数记为b,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=7的概率为 B.a+b=6的概率为 C.a≥2b的概率为 D.a+b是3的倍数的概率是 4.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数,则两数都是奇数的概率是　　　　　.若有放回地任取两数,则两数都是偶数的概率是　　　　　.  题型七、相互独立事件与互斥事件判断 1.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,则下列各组事件是相互独立事件的是(　　) A.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为奇数” B.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数为3” C.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为3的倍数” D.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数大于4” 2、（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 3、有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 题型八、独立事件的乘法公式 1.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 (　　) A. B. C. D. 2、在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． /3.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为.由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为　　　　.  4.某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立. (1)求恰有两个项目成功的概率; (2)求至少有一个项目成功的概率. 题型9 用频率估计概率 1.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间[20,25)内为一等品,在区间[15,20)和[25,30)内为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率约是(　　) A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 2、某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 3、对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 题型10 概率与统计的综合性问题 1、某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． (3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 2、少年强则国强，少年智则国智，中小学一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生的身体素质，比如：学校食堂计划提供营养餐试吃活动，需从学校学生中抽取一些学生去试吃.通过对学生的营养健康监测，在学校的3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示： (1)根据图表，请估计出样本的众数、平均数 (2)已知体重在的学生中有6名男同学，其余为女同学，现从此体重区间的男同学和女同学中各选取一名同学去参加试吃活动，求男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率. (3)现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从体重在区间和的学生中，共抽取5人，从这5人中，再抽取3人，求这3人中至少有1人体重在内的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版数学必修二期末备考11 概率基本题型梳理 题型一、随机事件的判断 1、（多选）下列命题中正确的是（    ） A.“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； B.“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； C.“明天上海要下雨”是必然事件； D.“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． 【答案】ABD 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以A正确， 对于B，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以B正确，对于C，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以C错误，对于D，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以D正确. 2、给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足,所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确；对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误；对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确；对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确.故选：B 题型二、样本点与样本空间的计算 1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的两个,则试验的样本空间包含的样本点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】样本空间Ω={(数学,计算机),(数学,航空模型),(计算机,航空模型)},共3个样本点. 2.(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子一次,记两枚骰子掷出的点数之差的绝对值为X,则下列结果是“X=4”的样本点的是(　　) A.第一枚6点,第二枚2点 B.第一枚5点,第二枚1点 C.第一枚2点,第二枚6点 D.第一枚1点,第二枚4点 【答案】ABC 【详解】抛掷两枚骰子一次,分别用x1,x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数,则x1,x2∈{1,2,3,4,5,6}.由题意知|x1-x2|=4,所以x1=6,x2=2或x1=2,x2=6或x1=5,x2=1或x1=1,x2=5,即选项A,B,C都是“X=4”的样本点,选项D不是. 3.某班数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5),采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示,则这一试验的样本空间为　　　　　　　　　　　　.  【答案】{1,2,3,4,5} 【详解】因为随机选择一个小组,试验可能的基本结果有1,2,3,4,5,所以样本空间Ω={1,2,3,4,5}. 题型三、互斥事件与对立事件的辨析 1.从装有除颜色外完全相同的十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列事件中是互斥而不对立的两个事件是(　　) A.至少有一个红球,至少有一个白球 B.恰有一个红球,都是白球 C.至少有一个红球,都是白球 D.至多有一个红球,都是红球 【答案】B 【详解】对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一个红球、一个白球,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一个红球、一个白球,与“都是红球”是对立事件. 2.如果事件A,B互斥,记分别为事件A,B的对立事件,那么(　　) A.A∪B是必然事件 B.是必然事件 C.一定互斥 D.一定不互斥 【答案】B 【详解】用Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,或则=Ω是必然事件,故B正确,选项ACD不正确. 3、（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误；与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误；为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确；若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误.故选：ABD 题型四、事件的关系 1、（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】ABC 【分析】根据事件的关系逐一判断. 【详解】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确；事件包含基本事件，事件包含基本事件，因此，，B正确；事件包含基本事件，故，C正确；与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误．故选：ABC 2、（多选）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设为三次投篮命中次，可得，，进而逐项分析判断. 【详解】设为三次投篮命中次，则，可得， 所以，，，，故ACD正确，B错误.故选：ACD. 3、（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】要使电路是通路，则需甲原件正常，乙原件和丙原件至少有一个正常，分析各个选项表示的实际意义，得出结果. 【详解】A. 由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路.B. “甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路.C. “甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路.D. “甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路.故选：ACD. 题型五、概率的基本性质 1、已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，． 2.根据多年气象统计资料可知,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为(　　) A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75 【答案】C 【详解】设事件A=“该地6月1日下雨”,事件B=“该地6月1日阴天”,事件C=“该地6月1日晴天”,则事件A,B,C两两互斥,且A∪B与C是对立事件,则P(C)=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.20=0.35. 3.袋中装有除颜色外其他完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球,取到红球的概率是,取到黑球或黄球的概率是,取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少. 【详解】从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A,B,C,D,则事件A,B,C,D两两互斥.由题意得即解得 故取到黑球的概率是,取到黄球的概率是,取到绿球的概率是. 题型六、 古典概型概率的计算 1、某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设孩子是男孩记为，孩子为女孩记为，则样本点为，，，，，，，，其中都是男孩为，故3个孩子都是男孩的概率，故选：A． 2．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择，因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下，（1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法;（2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法;（3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法;两个红球被连续取出的方法共有种；所求概率为. 3.(多选题)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次向上的点数记为a,第二次向上的点数记为b,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=7的概率为 B.a+b=6的概率为 C.a≥2b的概率为 D.a+b是3的倍数的概率是 【答案】AD 【详解】由题意知样本空间共有6×6=36个样本点.对于选项A,a+b=7包含的样本点有 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,所以a+b=7的概率为,故A正确; 对于选项B,a+b=6包含的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个,所以a+b=6的概率为,故B错误;对于选项C,a≥2b包含的样本点有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3),共9个,所以a≥2b的概率为,故C错误;对于选项D,a+b是3的倍数包含的样本点有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个,所以a+b是3的倍数的概率为,故D正确.故选AD. 4.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数,则两数都是奇数的概率是　　　　　.若有放回地任取两数,则两数都是偶数的概率是　　　　　.  【答案】 【详解】从5个数字中不放回地任取两数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.因为都为奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,所以所求概率P1=.从5个数字中有放回地任取两数,样本点共有25个,都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4),共4个,故所求概率P2=. 题型七、相互独立事件与互斥事件判断 1.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,则下列各组事件是相互独立事件的是(　　) A.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为奇数” B.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数为3” C.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为3的倍数” D.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数大于4” 【答案】CD 【详解】A中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=0,所以事件E与事件F不相互独立; B中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(E)P(F)≠P(EF),所以事件E与事件F不相互独立; C中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(EF)=P(E)P(F),所以事件E与事件F相互独立; D中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(E)P(F)=P(EF),所以事件E与事件F相互独立. 2、（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确；对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确；对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生，因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 3、有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为 ，共种情况；令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则，令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误；令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则，令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误；由，，，所以，所以甲与丙不独立，故C错误；又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 题型八、独立事件的乘法公式 1.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,因为两个圆盘中指针落在圆盘的哪个数所在区域是相互独立的,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为. 2、在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径：第一条，按，此时停在叶上的概率；第二条，按，此时停在A叶上的概率.所以跳三次之后停在叶上的概率. /3.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为.由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为　　　　.  【答案】 【详解】甲解出,而乙、丙不能解出为事件A1,则P(A1)=,乙解出,而甲、丙不能解出为事件A2,则P(A2)=,丙解出,而甲、乙不能解出为事件A3,则P(A3)=.甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1+A2+A3)=. 4.某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立. (1)求恰有两个项目成功的概率; (2)求至少有一个项目成功的概率. 【详解】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为,只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为,所以恰有两个项目成功的概率为. (2)三个项目全部失败的概率为,所以至少有一个项目成功的概率为1-. 题型9 用频率估计概率 1.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间[20,25)内为一等品,在区间[15,20)和[25,30)内为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率约是(　　) A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 【答案】D 【详解】样本数据在区间[25,30)内的频率为1-5×(0.02+0.04+0.06+0.03)=0.25,则二等品的频率为0.25+0.04×5=0.45.用频率估计概率,则其为二等品的概率约是0.45. 2、某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为，回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为，所以男大学生吸烟人数的比例约为． 3、对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个；(2) 【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 题型10 概率与统计的综合性问题 1、某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． (3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 【答案】(1)，77.5分；(2)；(3) 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并利用平均数的定义进行计算，估计高一年级初赛的平均成绩； （2）求出和两组的频率之比，进而得到从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为，列举法进行求解； （3）分别计算出甲，乙通过决赛的概率，相乘得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得， ，估计高一年级初赛的平均成绩为77.5分； （2）和两组的频率之比为，故从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为，已抽取的5名学生中随机抽取2名， 分别为，共有10种情况， 其中至少有1名学生的成绩在内的情况为，共有7种情况， 故至少有1名学生的成绩在内的概率为； （3）甲通过决赛的概率为，乙通过决赛的概率为，故甲、乙能同时通过决赛的概率为. 2、少年强则国强，少年智则国智，中小学一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生的身体素质，比如：学校食堂计划提供营养餐试吃活动，需从学校学生中抽取一些学生去试吃.通过对学生的营养健康监测，在学校的3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示： (1)根据图表，请估计出样本的众数、平均数 (2)已知体重在的学生中有6名男同学，其余为女同学，现从此体重区间的男同学和女同学中各选取一名同学去参加试吃活动，求男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率. (3)现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从体重在区间和的学生中，共抽取5人，从这5人中，再抽取3人，求这3人中至少有1人体重在内的概率. 【答案】(1)众数67.5，平均数66.75；(2)；(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图可得众数，根据平均数的求解方法可求得平均数； （2）根据独立事件的乘法公式，即可求得答案； （3）利用列举法，列举出总的事件空间的样本点以及“这3人中至少有1人体重在内”的样本点，根据古典概型公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知众数为67.5， 平均数为； （2）体重在的学生有人，男同学6人，女同学4人. 设“男同学甲被选中”为事件，“女同学乙没被选中”为事件，， ，男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率是 （3）由题意可知体重在和的频率之比为，在内抽取3人，设为，，， 在内抽取2人，设为，设“这3人中至少有1人体重在内”为事件.则总的事件空间的样本点为：，，，，，，，，，，共10个，事件的样本点为：，，，，，，，，，共9个，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $