期末备考11——概率基础知识与基本方法梳理-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修二期末备考11 概率基础知识与基本方法梳理 知识梳理： 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 随机试验的特点如下： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间. 3、随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的子集称为的随机事件，简称事件，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的子集，因此也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都必然发生，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发，故称为不可能事件． 4、随机事件的关系与运算 5、古典概型 1、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 2、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω 包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 6、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么. 性质5　如果A⊆B，那么. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 7、相互独立事件 1、对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 2、如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 8、 频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 9.频率与概率的区别与联系有哪些? (1)频率随着试验次数的变化而变化;概率却是一个常数,是客观存在的,与试验 次数无关. (2)在实际应用中,只要试验的次数足够多,所得的频率就可以近似地当作随机事 件的概率. (3)概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值. (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.概率越接近于1,此事件发生的可 能性就越大;反之,概率越接近于0,此事件发生的可能性就越小. 10、概念辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)随机试验所有可能的结果是明确的,并且不止一个.( ) (2)“水能载舟,亦能覆舟”是一个随机现象.( ) (3)对立事件一定是互斥事件.( ) (4)积事件与并事件类似于集合的交与并.( ) (5)A1∪A2∪A3表示三个事件A1,A2,A3至少有两个发生.( ) (6)对于任意事件A,B,都有P(A+B)=P(A)+P(B).( ) (7)抛掷一枚骰子,记事件A=“出现的点数为2”,B=“出现的点数小于4”,则P(A∪B)=P(A)+P(B).( ) (8)如果三个事件A,B,C两两独立,那么P(ABC)=P(A)P(B)P(C).( ) (9)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.( ) (10)用随机模拟方法只能估计古典概型的概率.( ) 【答案】√ × √√× × × × √ × 方法梳理： 1.互斥事件与对立事件的概率计算 (1)若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An); (2)设事件A的对立事件是,则P(A)=1-P(). 2.求复杂事件的概率常用的两种方法 (1)直接法:将所求事件转化成两两互斥的事件的和; (2)间接法:先求其对立事件的概率,然后再应用公式求解. 3.求解古典概型概率“四步”法 4、相互独立事件概率的求解方法 (1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤: ①确定各事件是相互独立的; ②确定各事件会同时发生; ③先求每个事件发生的概率,再求其积. (2) 解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形,还要注意互斥事件的拆分,以及对立事件概率的求法,即三个公式的联用: P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(B)=1-P(A) (A,B对立), P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互独立). 5、相互独立事件的判断方法与运算性质 1、判断技巧 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．对立事件一定是互斥事件 ③若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ④若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω. 注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 2、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $