立体几何初步基础知识与基本方法梳理清单-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高一数学人教A版必修二立体几何初步 基础知识梳理01 1．三个基本事实 [基本事实1]如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． [基本事实2]过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． [基本事实3]如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实3的三个推论 [推论1]经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；[推论2]经过两条相交直线有且只有一个平面；[推论3]经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．特殊的棱柱和棱锥 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； 正棱柱：底面是 正多边形的直棱柱； 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 正棱锥：底面是 正多边形，并且顶点与底面中心的连线 垂直于底面的棱锥． 正棱台：由正棱锥截得的棱台． 3．异面直线所成的角：（1）定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与，平行的直线，，则与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小.（2）异面直线所成角的取值范围. 4．直线与平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，就是斜线与平面所成的角；（2）线面角的范围：. 5．二面角及二面角的平面角：（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面；（2）二面角的平面角的取值范围为；平面角是直角的二面角称为直二面角.（3）平面与平面所成的角范围为. 6．空间中的平行与垂直 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ，， 直线与平面平行的性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ，， 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ，，，， 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ，， 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 那么该直线与此平面垂直 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面 的垂线，那么这两个平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线 与另一个平面垂直 高一数学人教A版必修二立体几何初步 基本方法梳理02 1、求解外接球问题的方法 （1）解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置． (2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置． (3)到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可． (4)分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心． 2、共面、共线、共点问题的证明： （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 3、空间几何体的截面作图的常用方法： （1）平行线法．用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行． (2)延长线法．用延长线法解决截面问题的关键是：截面上至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内． 4、空间中两直线位置关系的判定方法 5、求异面直线所成角的方法： （1）平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解． (2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 6、判断或证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义(无公共点)． （2）利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)． （3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 7、证明面面平行的常用方法： （1）利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 8、判定线面垂直的四种方法 9、证明面面垂直的两种方法 提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $