2025-2026学年人教A版高一数学必修二期末备考01（原卷版+答案版）——平面向量基础知识梳理

永年二中高一数学必修二期末备考01 平面向量基础知识梳理 1．向量的基本概念与表示 （1）向量的概念 ①向量：既有_______又有_______的量叫做向量． ②数量：只有大小没有_______的量称为数量． （2）有向线段 ①有向线段：具有_______的线段叫做有向线段． ②表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作_______． ③有向线段的长度：线段的长度也叫做有向线段的长度，记作_____________． ④有向线段的三要素：________、________、________． （3）向量的表示方法 几何表示 用________来表示向量，有向线段的长度表示向量的________，有向线段的方向表示向量的________．即用有向线段的起点、终点字母表示，如，… 字母表示 用小写字母a，b，c，…表示 [微提醒]用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：． 2．向量的相关概念 （1）零向量：长度等于_________的向量，其方向是任意的． （2）单位向量：模等于_________的向量． （3）平行向量：方向相同或_________的向量，又叫共线向量，规定：与任一向量共线． （4）相等向量：长度相等且_________相同的向量． （5）相反向量：长度相等且_________相反的向量． 3．相反向量及其表示 （1）与非零向量长度___，方向____的向量称为的相反向量，记为___，的相反向量为__. （2）规定：零向量的相反向量是___. （3）_______. 4．向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做与的和    （1） 交换律：________； （2）结合律：________ 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）________； （2）当时，的方向与的方向______；当时，的方向与的方向_____；当时，___。 （1）结合律； （2）分配律； 5．与|之间的关系 （1）对于任意向量，都有 ____ _____； （2）当共线，且同向时，有_____或______； （3）当共线，且反向时，有____． 6．向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使________ 7．向量平行的充要条件 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是___________． 8．两向量的夹角 已知两个非零向量和，作，，则叫做向量与的夹角（如图所示）． （1）范围：向量与的夹角的范围是_________． （2）当时，与_________；当_________时，与反向． （3）垂直：如果与的夹角是_________，则称与垂直，记作_________． 9．向量的数量积 （1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量________叫做向量与的数量积（或内积），记作，即________．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． （2）投影向量 如图，在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为． （3）运算律 ①数乘结合律：________；②交换律：________；③分配律：_______. （4）数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若是非零向量，则________ 共线 同向： 反向： 模 _______； 夹角 为的夹角，则 （5）平面向量数量积的运算律 ①交换律：_________； ②数乘结合律：； ③分配律：_________． 10．平面向量基本定理 （1）如果是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量，_________实数，使________ （2）基底：若__________，我们把叫做表示这一平面内__________向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 11．平面向量正交分解的定义 （1）把一个向量分解为两个_________的向量，叫做把向量作正交分解． （2）平面向量的坐标表示 ①定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__________分别为，，取作为基底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得________．我们把有序数对叫做向量的坐标，记作．此式叫做向量的坐标表示． ②特殊向量的坐标：． 12．向量的坐标运算 设，，则 ___________；___________；___________（）； ________. _________________________________；_______________________. 13．向量模长的坐标表示： （1）设，则_________. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为，，那么 ____________，这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 14．共线向量的坐标表示 （1）设，，其中，、共线，当且仅当存在实数，使________． （2）如果用坐标表示可写为，当且仅当________时，向量共线． 15.向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，为向量、的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 ______ 模 ______ ______ 夹角 ______ 的充要条件 ______ 与的关系 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 16．向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：____________． （3）求夹角问题，利用夹角公式：________________． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模或． 17、三角形四心的向量表示 1.奔驰定理：是内的一点，且，则 2.三角形的“重心” (1)重心：三角形三条________的交点； (2)常见重心向量式：①点是的重心； ②为平面内任意一点,若或，，则一定经过三角形的重心. 3.三角形的“垂心” (1)垂心：三角形三条________的交点； (2)常见垂心向量式： ①点是的垂心 ②动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心. 4.三角形的“内心”(内切圆的圆心) (1)内心：三角形三个内角_________的交点； (2)若的内切圆半径为,则； (3)常见内心向量式： ①点是的内心； ②，，则一定经过三角形的内心. 5.三角形的“外心”(外接圆的圆心) (1)外心：三角形三条边____________的交点； (2)常用外心向量式： 点是的外心 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二期末备考01 平面向量基础知识梳理 1．向量的基本概念与表示 （1）向量的概念 ①向量：既有_______又有_______的量叫做向量． ②数量：只有大小没有_______的量称为数量． （2）有向线段 ①有向线段：具有_______的线段叫做有向线段． ②表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作_______． ③有向线段的长度：线段的长度也叫做有向线段的长度，记作_____________． ④有向线段的三要素：________、________、________． （3）向量的表示方法 几何表示 用________来表示向量，有向线段的长度表示向量的________，有向线段的方向表示向量的________．即用有向线段的起点、终点字母表示，如，… 字母表示 用小写字母a，b，c，…表示 [微提醒]用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：． 【答案】大小 方向 方向 方向 起点 方向 长度 有向线段 大小 方向 2．向量的相关概念 （1）零向量：长度等于_________的向量，其方向是任意的． （2）单位向量：模等于_________的向量． （3）平行向量：方向相同或_________的向量，又叫共线向量，规定：与任一向量共线． （4）相等向量：长度相等且_________相同的向量． （5）相反向量：长度相等且_________相反的向量． 【答案】 0 1 相反 方向 方向 3．相反向量及其表示 （1）与非零向量长度___，方向____的向量称为的相反向量，记为___，的相反向量为__. （2）规定：零向量的相反向量是___. （3）_______. 【答案】 相同 方相反 零向量 4．向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做与的和    （1） 交换律：________； （2）结合律：________ 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）________； （2）当时，的方向与的方向______；当时，的方向与的方向_____；当时，___。 （1）结合律； （2）分配律； 【答案】 相同 相反 5．与|之间的关系 （1）对于任意向量，都有 ____ _____； （2）当共线，且同向时，有_____或______； （3）当共线，且反向时，有____． 【答案】 6．向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使________ 【答案】 7．向量平行的充要条件 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是___________． 【答案】 8．两向量的夹角 已知两个非零向量和，作，，则叫做向量与的夹角（如图所示）． （1）范围：向量与的夹角的范围是_________． （2）当时，与_________；当_________时，与反向． （3）垂直：如果与的夹角是_________，则称与垂直，记作_________． 【答案】 同向 9．向量的数量积 （1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量________叫做向量与的数量积（或内积），记作，即________．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． 【答案】 （2）投影向量 如图，在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为． （3）运算律 ①数乘结合律：________；②交换律：________；③分配律：_______. 【答案】 （4）数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若是非零向量，则________ 共线 同向： 反向： 模 _______； 夹角 为的夹角，则 【答案】 （5）平面向量数量积的运算律 ①交换律：_________； ②数乘结合律：； ③分配律：_________． 【答案】 10．平面向量基本定理 （1）如果是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量，_________实数，使________ （2）基底：若__________，我们把叫做表示这一平面内__________向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【答案】 不共线 任一 有且只用一对 不共线 所有 11．平面向量正交分解的定义 （1）把一个向量分解为两个_________的向量，叫做把向量作正交分解． （2）平面向量的坐标表示 ①定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__________分别为，，取作为基底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得________．我们把有序数对叫做向量的坐标，记作．此式叫做向量的坐标表示． ②特殊向量的坐标：． 【答案】 互相垂直 单位向量 12．向量的坐标运算 设，，则 ___________；___________；___________（）； ________. _________________________________；_______________________. 【答案】 13．向量模长的坐标表示： （1）设，则_________. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为，，那么 ____________，这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 【答案】 14．共线向量的坐标表示 （1）设，，其中，、共线，当且仅当存在实数，使________． （2）如果用坐标表示可写为，当且仅当________时，向量共线． 【答案】 15.向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，为向量、的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 ______ 模 ______ ______ 夹角 ______ 的充要条件 ______ 与的关系 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 【答案】 0 16．向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：____________． （3）求夹角问题，利用夹角公式：________________． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模或． 【答案】 17、三角形四心的向量表示 1.奔驰定理：是内的一点，且，则 2.三角形的“重心” (1)重心：三角形三条________的交点； (2)常见重心向量式：①点是的重心； ②为平面内任意一点,若或，，则一定经过三角形的重心. 3.三角形的“垂心” (1)垂心：三角形三条________的交点； (2)常见垂心向量式： ①点是的垂心 ②动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心. 4.三角形的“内心”(内切圆的圆心) (1)内心：三角形三个内角_________的交点； (2)若的内切圆半径为,则； (3)常见内心向量式： ①点是的内心； ②，，则一定经过三角形的内心. 5.三角形的“外心”(外接圆的圆心) (1)外心：三角形三条边____________的交点； (2)常用外心向量式： 点是的外心 【答案】中线 高 角平分线 垂直平分线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $