第01讲 二次函数的意义（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第01讲 二次函数的意义 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的判断及求字母的值 题型2 利用二次函数表达式求变量的值 题型3 列二次函数的表达式 题型4 利用二次函数的表达式解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数 一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 特殊形式 自变量取值范围 实际问题建模 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，明确的必要性。 2.能判断一个函数关系式是否为二次函数，会识别二次项系数、一次项系数和常数项。 3.能理解、、等特殊形式与一般形式之间的关系。 4.能根据简单实际问题中的数量关系列出二次函数表达式，并结合实际意义确定自变量取值范围。 5.能利用二次函数表达式进行代入求值、列表计算或解决简单实际问题。 学习重点：二次函数的概念、一般形式与特殊形式，判断二次函数的方法，根据实际问题列二次函数表达式。 学习难点：含字母参数的二次函数判断，实际问题中等量关系的寻找，自变量取值范围的确定。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的概念和形式 1.概念：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成： 其中常数a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项，且a≠0，那么称y是x的二次函数。这里的“二次”指的是自变量x的最高次数是2。因此，判断一个函数是不是二次函数，不能只看式子中是否出现，而要先观察或化简后判断它是否符合二次函数的结构。 2.判断一个函数是否为二次函数，通常要看三个条件： 第一，它是关于自变量的整式； 第二，化简后自变量的最高次数是2； 第三，二次项系数不为 0。 例如：是二次函数，因为最高次数是2，且二次项系数3≠0。而：不是二次函数，最高次数为 1（一次函数）。也不是二次函数，因为它不是关于 x 的整式（分母含 x）。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. (1)当b=0时,二次函数为; (2)当c=0时,二次函数为; (3)当b=0,c=0时,二次函数为. 即时即练下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【易错提醒】 （1）二次函数的概念中二次项系数，否则不是二次函数. （2）判断二次函数时，最常见的错误是“看到就认为一定是二次函数”。实际上，有些式子虽含，但化简后最高次数不是2. （3）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，包括它们前面的符号,不要漏掉. （4）判断是否为二次函数：先化简→看是否为整式→看最高次数→看二次项系数是否为0. （5）注意二次函数与一元二次方程的异同. 知识点02 根据实际问题列二次函数解析式 根据实际问题构建二次函数，通常按以下步骤进行： 第一步：审清题意，明确自变量和因变量； 第二步：找出题目中的等量关系； 第三步：用含自变量的式子表示相关数量； 第四步：列出函数表达式并化简； 第五步：根据实际意义确定自变量的取值范围。 例题 解释 审题 某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存,商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式. 找出已知量和未知量,分析它们之间的关系 找等量关系 解:降价后,每件衬衫的盈利为(40－x)元,每天售出(20＋2x)件.因为每天的盈利一每件衬衫的盈利×每天售出的件数, 找到两个未知量之间的关系,用等式表示 列方程化简 取值范围 ∴ 结合已给或设出的未知量的字母根据等量关系列出函数的解析式注意自变量的取值范围 即时即练第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 【易错提醒】 （1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义. （2）确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组. 题型1 二次函数的判断及求字母的值 【例1】下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数，，且等式右边是关于的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、符合（，，）的形式，是二次函数． D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得，因此． 【易错提醒】 （1）根据二次函数概念求字母的值时，不能只让含x的最高次数等于2，还必须检查二次项系数是否为0。 （2）列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值。 【变式1-1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是 () A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 【变式1-2】若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数，解得：． 故答案为：． 题型2 利用二次函数表达式求变量的值 【例3】已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1)当时， (2)当y=0时，，解得。 故当x=2或x=时，y的值为0。 【例4】如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 【易错提醒】 （1）自变量为负数值计算函数值时，容易遗漏括号造成符号错误。 （2）求自变量：把解出的x代入二次函数，检查是否等于给定的y值。 【变式2-1】已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 【变式2-2】已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 题型3 列二次函数的表达式 【例5】某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每天利润等于单件利润乘以销售量列方程即可. 【详解】解：∵单件利润： 销售量： ∴ 故选：A ． 【例6】李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，，靠墙处墙的长度为，可求出的取值范围，再根据矩形的性质可得，，可求出的取值范围，根据矩形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：已知栅栏的总长度为，若， ∴， ∵靠墙处墙的长度为， ∴，即，解得，， ∵中间再用栅栏把它分成两个矩形， ∴ ∵， ∴，解得，， ∴的取值范围为， ∴矩形的面积关于的函数表达式为， 故选：． 【易错提醒】 自变量取值范围双重校验，不可仅写x>0 第一重校验：保证线段长度、销售量、单价均为正数； 第二重校验：真实情境中题目隐含约束，如墙长上限、盈利要求、销量下限、动点不超出图形边界等。例如靠墙围矩形需验证平行于墙的边长≤墙长，利润题需保证售价大于进价，动点题需保证运动时间不超过点到达终点的时长。 【变式3-1】某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 【变式3-2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 题型4 利用二次函数的表达式解决实际问题 【例7】如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选A． 【例8】为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的综合，解题的关键是根据矩形的性质，列出函数解析式，进行解答，即可． （1）根据题意，则，，根据矩形的面积为：，即可； （2）由（1）得，函数解析式，当，求出，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为：， ∵，， ∴，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：． （2）解：由（1）得，， ∴当菜地面积为，， 解得：，（舍）； ∴， 答：，，． 【易错提醒】 （1）“能否达到某值”类问题，解方程后不验证范围 遇到“面积能否达到某数值”的问题，很多同学解完一元二次方程就直接下结论，忽略了根是否在自变量的合法取值范围内。超出范围的解必须舍去，若两根均超出范围，则该目标值无法达到。 （2）先画图标边，再列表达式 几何类实际问题先画示意图，标注已知长度和设元的边，再依次推导其余边的长度，能大幅降低列代数式时的符号、系数错误。 【变式4-1】如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，设花园的边BC长为xm，花园的面积为ym2 (1)求y与x的函数解析式； (2)满足条件的花园的面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】（1）设边BC为x m，则边，利用长方形面积公式即可求出y与x的函数解析式； （2）将y与x的函数解析式变形为顶点式，根据题意求出x的取值范围，再求出的最大值即可判断． 【详解】（1）解：∵边BC为x m，栅栏总长为40 m， ∴花园的边 ， ∴； （2）解：不能．理由如下： ， 由题意，边BC不能大于墙长15 m，边AB需大于0， ∴ ， 解得：， ∴x=15时，取最大值， ， ∴满足条件的花园的面积不能达到200 m2． 【变式4-2】某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ A组 基础过关 1．下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【答案】B 【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答． 【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x ∴另一边长为 ∴为二次函数； ②∵矩形的面积为20，矩形的长x ∴是反比例函数． 故选B． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 3．若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 4．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（ ） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意； ②依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意； ③依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意； ④依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意； 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有2个． 故选：B． 5．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． B组 综合提升 6．如果函数是二次函数，那么k等于（ ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 7．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 8．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 9．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 10．已知块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为， ①写出y与x之间的函数关系式， ②当时，求y的值． 【答案】(1)是； (2)①；②； 【分析】（1）根据题意结合面积公式列出关系式判断即可得到答案； （2）①根据正方形面积公式直接求解即可得到答案； ②将代入解析式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：变化后草地的一边长为，另一边长为， 则， ∴S是关于x的函数， 故答案为：是； （2）解：①由题意知，扩充后的草地的边长均为， 则， ∴y与x之间的函数关系式是； ②当时，； C组 挑战突破 如图所示，是等腰直角三角形，，直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系是______． 【答案】 【分析】根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，x=2；当点A到点E时，x=4； 当0＜x≤2时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设AB与DG交于点H ∵AC=DE=BC=2，=x，是等腰直角三角形， ∴∠A=45°，AD=AC－CD=2－x ∴△ADH为等腰直角三角形 ∴DH=AD=2－x ∴y=； 当2＜x≤4，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设AB与EF交于点H ∵AC=DE= 2，=x，是等腰直角三角形， ∴∠HAE=45°，AE=DE＋AC－CD=4－x ∴△AEH为等腰直角三角形 ∴HE= AE=4－x ∴y=． 综上所述： 故答案为：． 12．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？ 【答案】(1)；x的取值范围为 (2)当为9米时，鸡舍的面积为90平方米 (3)鸡舍面积不能达到100平方米，理由见解析 【分析】（1）设米时，则米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可； （2）根据题意得：求得x的值，然后代入验证即可； （3）根据题意得，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）解：设米时，则米，鸡舍面积为S平方米， 根据题意得，； ∵， ∴， ∴x的取值范围为． （2）解：根据题意得：，解得， 当时，（不合题意舍去）， 当时，． 答：当为9米时，鸡舍的面积为90平方米． （3）解：根据题意得：，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴鸡舍面积不能达到100平方米． 13．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题： …… n＝1　　　　　n＝2　　　　　　n＝3 (1)在第n个图中，共有 块白色瓷砖，共有 块黑色瓷砖(均用含n的代数式表示)； (2)设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与(1)中的n的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)若铺设这样的矩形地面共用了506块瓷砖，通过计算求此时n的值； (4)是否存在n，使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等？说明理由． 【答案】（1）n（n+1），4n+6；（2）y＝n2＋5n＋6；（3）20；（4）不存在. 【详解】【试题分析】（1）第1个图形，白色瓷砖有 个，黑色瓷砖有 个；第2个图形中，白色瓷砖有 个，黑色瓷砖有 个；…则第n个图形中，白色瓷砖有 个，黑色瓷砖有 个；（2）根据（1）中分析，； （3）由题意得：，解得n1＝20，n2＝－25(不合题意，舍去)．即n的值为20. （4）根据（1）中分析，得n(n＋1)＝4n＋6.解得n1＝ ，n2＝，（不是正整数，都舍去），则不存在n使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等． 【试题解析】(1)在第n个图中，共有n(n＋1)块白色瓷砖，共有4n＋6块黑色瓷砖； (2)y＝n2＋5n＋6. (3)n2＋5n＋6＝506. 解得n1＝20，n2＝－25(不合题意，舍去)． ∴n的值为20. (4)由题意，得n(n＋1)＝4n＋6. 解得n1＝ ，n2＝ (舍去)．又因为不是正整数， ∴不存在n使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次函数的意义 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的判断及求字母的值 题型2 利用二次函数表达式求变量的值 题型3 列二次函数的表达式 题型4 利用二次函数的表达式解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数 一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 特殊形式 自变量取值范围 实际问题建模 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，明确的必要性。 2.能判断一个函数关系式是否为二次函数，会识别二次项系数、一次项系数和常数项。 3.能理解、、等特殊形式与一般形式之间的关系。 4.能根据简单实际问题中的数量关系列出二次函数表达式，并结合实际意义确定自变量取值范围。 5.能利用二次函数表达式进行代入求值、列表计算或解决简单实际问题。 学习重点：二次函数的概念、一般形式与特殊形式，判断二次函数的方法，根据实际问题列二次函数表达式。 学习难点：含字母参数的二次函数判断，实际问题中等量关系的寻找，自变量取值范围的确定。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的概念和形式 1.概念：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成： 其中常数a，b，c分别是函数解析式的 、 和 ，且a≠0，那么称y是x的 。这里的“二次”指的是自变量x的最高次数是 。因此，判断一个函数是不是二次函数，不能只看式子中是否出现，而要先观察或化简后判断它是否符合二次函数的结构。 2.判断一个函数是否为二次函数，通常要看三个条件： 第一，它是关于自变量的 ； 第二，化简后自变量的最高次数是 ； 第三，二次项系数 。 例如：是二次函数，因为最高次数是2，且二次项系数3≠0。而：不是二次函数，最高次数为 1（一次函数）。也不是二次函数，因为它不是关于 x 的整式（分母含 x）。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. (1)当b=0时,二次函数为 ； (2)当c=0时,二次函数为 ; (3)当b=0,c=0时,二次函数为 . 即时即练下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【易错提醒】 （1）二次函数的概念中二次项系数，否则不是二次函数. （2）判断二次函数时，最常见的错误是“看到就认为一定是二次函数”。实际上，有些式子虽含，但化简后最高次数不是2. （3）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，包括它们前面的符号,不要漏掉. （4）判断是否为二次函数：先化简→看是否为整式→看最高次数→看二次项系数是否为0. （5）注意二次函数与一元二次方程的异同. 知识点02 根据实际问题列二次函数解析式 根据实际问题构建二次函数，通常按以下步骤进行： 第一步：审清题意，明确自变量和因变量； 第二步：找出题目中的 ； 第三步：用含自变量的式子表示相关数量； 第四步：列出函数表达式并化简； 第五步：根据实际意义确定自变量的 。 例题 解释 审题 某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存,商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式. 找出已知量和未知量,分析它们之间的关系 找等量关系 解:降价后,每件衬衫的盈利为(40－x)元,每天售出(20＋2x)件.因为每天的盈利一每件衬衫的盈利×每天售出的件数, 找到两个未知量之间的关系,用等式表示 列方程化简 取值范围 ∴ 结合已给或设出的未知量的字母根据等量关系列出函数的解析式注意自变量的取值范围 即时即练第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义. （2）确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组. 题型1 二次函数的判断及求字母的值 【例1】下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【易错提醒】 （1）根据二次函数概念求字母的值时，不能只让含x的最高次数等于2，还必须检查二次项系数是否为0。 （2）列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值。 【变式1-1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是 () A． B． C． D． 【变式1-2】若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 题型2 利用二次函数表达式求变量的值 【例3】已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【例4】如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【易错提醒】 （1）自变量为负数值计算函数值时，容易遗漏括号造成符号错误。 （2）求自变量：把解出的x代入二次函数，检查是否等于给定的y值。 【变式2-1】已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【变式2-2】已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 题型3 列二次函数的表达式 【例5】某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【例6】李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 自变量取值范围双重校验，不可仅写x>0 第一重校验：保证线段长度、销售量、单价均为正数； 第二重校验：真实情境中题目隐含约束，如墙长上限、盈利要求、销量下限、动点不超出图形边界等。例如靠墙围矩形需验证平行于墙的边长≤墙长，利润题需保证售价大于进价，动点题需保证运动时间不超过点到达终点的时长。 【变式3-1】某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【变式3-2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 题型4 利用二次函数的表达式解决实际问题 【例7】如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【例8】为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？ 【易错提醒】 （1）“能否达到某值”类问题，解方程后不验证范围 遇到“面积能否达到某数值”的问题，很多同学解完一元二次方程就直接下结论，忽略了根是否在自变量的合法取值范围内。超出范围的解必须舍去，若两根均超出范围，则该目标值无法达到。 （2）先画图标边，再列表达式 几何类实际问题先画示意图，标注已知长度和设元的边，再依次推导其余边的长度，能大幅降低列代数式时的符号、系数错误。 【变式4-1】如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，设花园的边BC长为xm，花园的面积为ym2 (1)求y与x的函数解析式； (2)满足条件的花园的面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 【变式4-2】某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ A组 基础过关 1．下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 3．若是二次函数，则_______． 4．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（ ） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ B组 综合提升 6．如果函数是二次函数，那么k等于（ ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 7．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 8．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 9．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 10．已知块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为， ①写出y与x之间的函数关系式， ②当时，求y的值． C组 挑战突破 如图所示，是等腰直角三角形，，直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系是______． 12．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？ 13．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题： …… n＝1　　　　　n＝2　　　　　　n＝3 (1)在第n个图中，共有 块白色瓷砖，共有 块黑色瓷砖(均用含n的代数式表示)； (2)设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与(1)中的n的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)若铺设这样的矩形地面共用了506块瓷砖，通过计算求此时n的值； (4)是否存在n，使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等？说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $