精品解析：山东潍坊市高密市滨北学校2025-2026学年七年级下学期6月数学阶段学情自测

七年级下学期阶段性测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列因式分解中正确的有( ) ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ） A. 15或16或17 B. 15或17 C. 16或17 D. 16或17或18 3. 如图，已知，那么 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 5. 如图，在中，为边上的中线， ．若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列有四个结论，其中正确的是（ ） ①若，则只能是； ②若的运算结果中不含项，则 ③若 ，，则 ④若，，则可表示为 A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 8. 如图，，平分 ，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 9. 将4张长为a、宽为b(a≥b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（ ） A. a＝b或a＝3b B. a＝b或a＝4b C. a＝b或a＝5b D. a＝b或a＝6b 10. 如图，已知的内角 ，分别作内角与外角 的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知可以用完全平方公式进行分解，则常数的值是_____． 12. 一个点到圆上的最小距离为 ，最大距离为，则圆的半径为______ ． 13. 一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是________边形． 14. 已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为________． 15. 某数学兴趣小组借鉴《详解九章算法》中“垛积术”的思想，探究如下数式的规律： ； ； ； ； … 该兴趣小组通过翻阅其他资料，得知从1到的连续自然数之和的计算公式为，则的值为__________（用含的代数式表示）． 三、计算题：本大题共8小题，共75分． 16. 计算化简： （1）； （2）； （3）（用乘法公式简便计算）． 17. 将下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 18. 如图，四边形中，，平分交于点，平分交于点． （1）若，则              ，              ； （2）试说明： ． 19. 若（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的积中不含x2项，并且x3项的系数为2． （1）求m、n的值； （2）先化简，再求值：[（2m+n）2+（2m+n）（n﹣2m）﹣6n]÷（-2n）. 20. 如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为 的角平分线． （1）若， ，求的大小； （2）若的面积为， ，求的长． 21. 在中， ，是边上的高，是 的平分线． （1）如图①，若 ， ，求 的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点， 于点，试探究 与 ，之间的数量关系，并说明理由． 22. 在锐角中，点是、的平分线的交点． （1）如图1，点是外角 、的三等分线的交点，且，，若 ，则　 　， 　 　； （2）如图2，锐角的外角的平分线与的延长线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求出的度数． 23. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若， ，求 的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知 ， ，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期阶段性测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列因式分解中正确的有( ) ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义以及因式分解的方法可对下面各式逐一分析. 【详解】①－3a2＋9ab＝－3(a2－3ab)＝－3a(a－3b),分解不彻底，错误；②x2－2x－1＝x(x－2)－1，分解为积的形式，错误；③4x3y＋4x2y2＋xy3＝xy(2x＋y)2，完全正确；④正确形式为x2＋4x＋4＝(x＋2)2,错误. 【点睛】本题考查的知识点是因式分解，解题的关键是熟练的掌握因式分解. 2. 一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ） A. 15或16或17 B. 15或17 C. 16或17 D. 16或17或18 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 3. 如图，已知，那么 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：多边形的外角和等于 4. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 5. 如图，在中，为边上的中线， ．若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式 ，代入与 的面积，进而求出垂线段的长度． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 6. 已知，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将 看作一个整体，利用平方差公式进行展开后即可直接计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7. 下列有四个结论，其中正确的是（ ） ①若，则只能是； ②若的运算结果中不含项，则 ③若 ，，则 ④若，，则可表示为 A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式及同底数幂的除法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：若，则 或，①错误； ，不含项 则，解得，②正确； ，所以，③错误； ∵， ∴， ，④正确 综上所述，②④正确 故选D 【点睛】本题考查了零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8. 如图，，平分 ，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵，即， ∴， 平分 ，平分， ，， ， ， ，①正确； ，， ，， ， ，②正确； ， ， ，③正确； ， ，④错误； 综上，正确的结论是①②③． 故选：B． 9. 将4张长为a、宽为b(a≥b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（ ） A. a＝b或a＝3b B. a＝b或a＝4b C. a＝b或a＝5b D. a＝b或a＝6b 【答案】C 【解析】 【分析】先用、的代数式分别表示m，n可得：，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ， 整理，得， ， 或 ． 故选：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 10. 如图，已知的内角 ，分别作内角与外角 的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是 的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 同理可得，， ， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知可以用完全平方公式进行分解，则常数的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，将已知多项式变形，对应完全平方公式的各项，分两种情况计算得到的值 【详解】解：完全平方公式为，已知多项式可变形为，该多项式可使用完全平方公式分解因式， 因此分两种情况讨论： 当完全平方式为时，， 对比得，解得； 当完全平方式为时，， 对比得，解得； 因此常数的值为 12. 一个点到圆上的最小距离为 ，最大距离为，则圆的半径为______ ． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为： 或． 13. 一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系． 首先设外角为，则内角为，根据内角与外角是邻补角的关系可得，再解方程可得外角度数，然后再用 除以外角度数可得边数． 【详解】解：设外角为，则内角为，由题意得： ， 解得：， ， ∴这个正多边形为八边形． 故答案为：八． 14. 已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 15. 某数学兴趣小组借鉴《详解九章算法》中“垛积术”的思想，探究如下数式的规律： ； ； ； ； … 该兴趣小组通过翻阅其他资料，得知从1到的连续自然数之和的计算公式为，则的值为__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据给出公式以及规律求解． 【详解】解：， 根据规律以及公式可得， ． 三、计算题：本大题共8小题，共75分． 16. 计算化简： （1）； （2）； （3）（用乘法公式简便计算）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 17. 将下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】     ； 【小问3详解】         ； 【小问4详解】        ． 18. 如图，四边形中，，平分交于点， 平分交于点． （1）若，则              ，              ； （2）试说明： ． 【答案】（1） ；； （2）证明：∵四边形的内角和为，， ∴， ∵平分交于点， 平分交于点， ∴ ， ， ∴， ∵内角和为 ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先根据四边形内角和为结合题目给的条件求出，再根据角平分线的性质求出 ，最后根据三角形的内角和为 即可求出； （2）先根据四边形内角和为结合题目给的条件求出 ，再根据角平分线的性质结合等量代换求出，根据三角形的内角和为 ，求出 ，推出 ，最后根据“同位角相等两直线平行”证明 即可证明． 【小问1详解】 解：∵四边形的内角和为，，， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， ∵内角和为 ， ∴ ． 【小问2详解】 略 19. 若（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的积中不含x2项，并且x3项的系数为2． （1）求m、n的值； （2）先化简，再求值：[（2m+n）2+（2m+n）（n﹣2m）﹣6n]÷（-2n）. 【答案】（1）m=-2，n=-6；（2）13. 【解析】 【分析】（1）先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x2项，并且x3的系数为2，由此可以得到4+m=2，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n． (2) 把m、n的值代入化简后的代数式计算即可求解． 【详解】（1）原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n =x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n 由已知得： ∴ 解得：m=-2 n=-6 （2）原式=(4m2+n2+4mn+n2-4m2-6n)÷(-2n)=-n-2m+3=13 【点睛】本题考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 20. 如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为 的角平分线． （1）若， ，求的大小； （2）若的面积为， ，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 【小问1详解】 解：∵为 的角平分线， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为的边上的中线， ∴， ∵ ， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 21. 在中， ，是边上的高，是 的平分线． （1）如图①，若 ， ，求 的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点， 于点，试探究 与 ，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∵是的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 【解析】 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得 ，从而得到 ，由角平分线的定义可得 ，最后使用三角形的内角和定理计算出 ； （2）仿照（1）的解法可得出 ，容易判断 ，则 ，因此 ． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵是 的平分线， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 略 22. 在锐角中，点是、的平分线的交点． （1）如图1，点是外角 、的三等分线的交点，且，，若 ，则　 　， 　 　； （2）如图2，锐角的外角的平分线与的延长线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求出的度数． 【答案】（1） ； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线得出，，结合三角形的内角和定理，求出 由，，求出，根据三角形的内角和定理，计算，得出答案即可； （2）由（1）得，结合三角形的内角和定理，推出，根据补角得出，根据三角形外角的性质，得出，，根据角平分线得出，，推出，根据角平分线得出，根据“在中，如果有一个角是另一个角的倍”，分类讨论；①当时，则求解；当时，则求解；③当时，则求解；④当时，则求解；根据是锐角三角形进行取舍，综合得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， 又∵点是、的平分线的交点， ∴，， ∴ 中， ； ∵，， ∴， ∴中，； 故答案为： ；； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵ 平分，平分， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在中，如果有一个角是另一个角的倍，则 ①当时， ， 解得： ； ②当时，， 解得：（与锐角不符）； ③当时，， 解得：（与锐角不符）； ④当时，， 解得： ； 综上所述，锐角中的度数为或 ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、补角等知识，熟练掌握知识点推理、数形结合、分类讨论是解题的关键． 23. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若， ，求 的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知 ， ，求出的值． 【答案】（1）；（2） ；（3）；；；（4）；(5) 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用，列代数式和几何体，根据题目中给出的信息进行列式计算是解题的关键． （1）结合图1，可得； （2）由图2得：，代入计算即可； （3）结合图5，可知长方体②的体积，长方体③的体积，则； （4）由（3）可知：； (5)将变形为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）由图1得：， 故答案为：； （2）由图2得：， 即， ， ， ， ，，， ， ； （3）根据图4可知：长方体②的体积， 长方体③的体积， 则 ， 故答案为：；；； （4）由（3）可知： ； (5) ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $