精品解析：山东邹城市第十一中学2025-2026学年度第二学期第二次随堂测试数学试卷

2025-2026学年度第二学期第二次随堂测试数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2. 下列变形中正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】求出一元一次不等式的解集，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 由，得，故该选项错误； B. 由 ，得，故该选项错误； C. 由 ，得，故该选项错误； D. 由，得，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，注意不等式两边同乘以一个负数不等号方向发生改变，是解题的关键． 3. 方程组的解为则被和遮盖的两个数分别为（　　） A. ，6 B. 2， C. 2，6 D. 10， 【答案】B 【解析】 【分析】首先把代入，求出的值，然后把、的值代入，求出的值即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ， 解得：， ， ， 被和遮盖的两个数分别为2，． 故选：B 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的含义和应用，解答此题的关键是求出y的值． 4. 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集以及在数轴上表示出不等式解集，先根据二次根式有意义的条件求出，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 故选：C． 5. 关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相减，可得， 根据题意得：， 解得：． 所以的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键． 6. 八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（　　） A. 15cm B. 30cm C. 12cm D. 10cm 【答案】D 【解析】 【分析】就从右边长方形的宽40cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝40；一个小长方形的长+一个小长方形的宽＝40． 【详解】解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm． 依题意得， 解得：． 即：长方形地砖的宽为10cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．应从题中所给的已知量40入手，找到最简单的两个等量关系，列出方程组是解题的关键． 7. 若方程组的解中x与y的值相等，则k为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得：x=y， ∴4x+3x=14， ∴x=2，y=2， 代入方程kx+（k-1）y=6得， 2k+2（k-1）=6， 解得k=2． 故选C． 8. 在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，将甲同学的解代入方程组得到关于a与b的方程，并求出c的值，将乙同学的解代入方程组中第一个方程得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值即可． 【详解】解：将代入方程组得：①，，即， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 得：，即， 将代入①得：，即， 则． 故选：B． 9. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 10. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元 A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值． 【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元． 列方程组得：， ①②得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知方程x-2y=5，请用含x的代数式表示y，则y=_______． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，−2y＝5−x， y的系数化为1得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 12. 试写出一个关于x，y的二元一次方程组，使它的解是，这个方程组可以是________________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程组的解的定义，应满足所写方程组的每一个方程. 【详解】解：∵x+y=-3+4=1，x+2y=-3+4×2=5， ∴这个方程组可以是 故答案为 （答案不唯一）. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，是开放题，注意方程组的解的定义. 13. 定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的二元一次方程组，求解得到、的值后，再根据新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， 整理得， 第二个方程减第一个方程得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个方程相加求出，再根据得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 15. 已知方程组的解为，则方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（写出必要的解答步骤，共55分） 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用代入消元法解方程组即可； （2）先去分母去括号整理后，用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由①得 ③， 把③代入②得， 解得 ， 把代入③得， ∴原方程组的解为 【小问2详解】 解：原方程组整理得 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 17. 解下列一元一次不等式，并在数轴上表示其解集． （1） （2） 【答案】（1），数轴见解析 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，并在数轴上表示其解集即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，并在数轴上表示其解集即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 18. 如果关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，先解方程组得出的结果代入进行求解即可． 【详解】解：对于方程组， 得：， 将代入①得： ， 方程组的解为， 又关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解， ， 解得：． 19. 某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． （1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ （2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 【答案】（1）这个月生产产品件，产品件 （2）140件 【解析】 【分析】（1）设生产产品件，产品件，根据题意列出方程组，求出即可； （2）设产品生产件，则产品生产件，根据题意列出不等式组，求出即可． 【小问1详解】 解：设生产产品件，产品件， 根据题意，得 解得， ∴这个月生产产品件，产品件， 答：这个月生产产品件，产品件； 【小问2详解】 解：设产品生产件，则产品生产件， 根据题意，得， 解这个不等式，得． ∴产品至少生产件， 答：产品至少生产件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键． 20. 张老师前后三次在同一文具店购买商品A、B（每次A、B两种商品都购买，且A、B都是购买整数个），其中第一、第二次购物时均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如下表所示： 购买次数 A的数量（个） B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次 第二次 （1）求商品A、B的标价 （2）张老师第三次购物时，商品A、B同时打八折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】（1）商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 （2）张老师共有两种购买方案，方案一：购买10个商品A，4个商品B；方案二：购买5个商品A，8个商品B 【解析】 【分析】（1）根据两次购买的数量和总费用，设未知数建立二元一次方程组，求解即可得到商品标价． （2）根据打折后总费用建立二元一次方程，结合A、B都需购买且数量为正整数的条件，找出方程所有符合要求的正整数解，即可得到所有购买方案． 【小问1详解】 解：设商品A的标价为元/个，商品B的标价为元/个， 根据题意得：   解得： 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． 【小问2详解】 设张老师购买个商品A，个商品B， 根据题意得：， 整理得， ∴． ∵，都是正整数，要求两种商品都购买，因此为整数，即为4的倍数，且，， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合两种商品都购买的要求，舍去． 答：张老师共有两种购买方案，方案一：购买10个商品A，4个商品B；方案二：购买5个商品A，8个商品B． 21. 我们知道，二元一次方程有无数组解，若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象，记作直线． 请解答以下问题： （1）在所给的平面直角坐标系中描出点，并计算说明点A在方程的图象上； （2）在所给的平面直角坐标系中画出方程的图象； （3）若直线与（2）中的相交于点B，求点B的坐标 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数与二元一次方程，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握画图技巧是关键． （1）将点的坐标分别代入，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不在直线上； （2）利用两点作出画出函数的图象即可； （3）观察图象即可求得． 【小问1详解】 解：， ， 当时，，即点在方程的图象上； 【小问2详解】 由方程可知当时，，当时，， 方程图象过点， 过点画出直线如图， 【小问3详解】 观察图象，点B的坐标为． 22. 定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点为“好友点”． （1）若为“好友点”，则 ______ ； （2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”． ①与是互为“好友数”；( ) ②若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；( ) ③若与互为相反数，则一定不是“好友点”； ( ) ④存在与互为“好友数”的实数；( ) （3）已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①√②√③×④× （3） 【解析】 【分析】（1）根据“好友点”的定义把代入，求出值即可； （2）根据“好友数”或“好友点”的定义对每一个命题进行判断即可解决问题； （3）先解关于、的二元一次方程组求出、的值，然后根据“好友点”的定义代入关系式得到关于的方程，解方程即可求出的值，然后求出的值即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①把和分别代入的左右两边，得： ，， ， 同理可得：， 与是互为“好友数”， 故①是真命题； ②把点代入后，结果为， 根据加法交换律和乘法交换律可以知道可以变形为， 若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”， 故②是真命题； ③与互为相反数， ， 假设是“好友点”， ， ， 存在这样的实数，使、是相反数，点又是“好友点”， 故③是假命题； ④把代入得 ， 不存在这样的的值， 不存在与互为“好友数”的实数， 故④是假命题； 故答案为：①√②√③×④×． 【小问3详解】 解：解此方程组得：， 设点是能成为“好友点”， ， ， 解得， ， 点坐标为 【点睛】本题是新定义综合题，主要考查命题和定理，代数式的值，解二元一次方程组以及数对等知识点，理解“好友点”和“好友数”的定义是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第二次随堂测试数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列变形中正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3. 方程组的解为则被和遮盖的两个数分别为（　　） A. ，6 B. 2， C. 2，6 D. 10， 4. 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（　　） A. 15cm B. 30cm C. 12cm D. 10cm 7. 若方程组的解中x与y的值相等，则k为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元 A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知方程x-2y=5，请用含x的代数式表示y，则y=_______． 12. 试写出一个关于x，y的二元一次方程组，使它的解是，这个方程组可以是________________． 13. 定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则的取值范围是______． 15. 已知方程组的解为，则方程组的解为__________． 三、解答题（写出必要的解答步骤，共55分） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 解下列一元一次不等式，并在数轴上表示其解集． （1） （2） 18. 如果关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 19. 某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． （1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ （2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 20. 张老师前后三次在同一文具店购买商品A、B（每次A、B两种商品都购买，且A、B都是购买整数个），其中第一、第二次购物时均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如下表所示： 购买次数 A的数量（个） B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次 第二次 （1）求商品A、B的标价 （2）张老师第三次购物时，商品A、B同时打八折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 21. 我们知道，二元一次方程有无数组解，若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象，记作直线． 请解答以下问题： （1）在所给的平面直角坐标系中描出点，并计算说明点A在方程的图象上； （2）在所给的平面直角坐标系中画出方程的图象； （3）若直线与（2）中的相交于点B，求点B的坐标 22. 定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点为“好友点”． （1）若为“好友点”，则 ______ ； （2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”． ①与是互为“好友数”；( ) ②若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；( ) ③若与互为相反数，则一定不是“好友点”； ( ) ④存在与互为“好友数”的实数；( ) （3）已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $