精品解析：山东省潍坊市高密市2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

七年级下册数学第二次阶段性检测 总分：120分 时间：110分钟 2025.5 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 一个三角形中至少有两个锐角 B. 一个三角形中，一个外角大于任意一个内角 C. 三角形的外角和等于 D. 锐角三角形，任何两个内角的和均大于 2. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 4. 已知，问等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A. a（m+n）＝am+an B. a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 7. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在探究证明“三角形内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. 过作∥ B. 延长到，过作 C 作于点 D. 过上一点作， 10. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 二．填空题（每小题4分，共5小题，20分） 11. 已知（x﹣9）与（x+p）的乘积中不含x的一次项，则常数p的值为___． 12. 若多项式是完全平方式，则k的值为______． 13. 一个三角形的两边长为3和6，若第三边取奇数，则此三角形的周长为______． 14. 如图：________________． 15. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 四、解答题（共70分） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 18. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．　B．　C． （2）若，，求的值； （3）计算： 19. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求 的周长． 20. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 21. 在中，，是的平分线，交边上的高于点． （1）求的度数； （2）求度数． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用A种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片张，号卡片张，号卡片______张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册数学第二次阶段性检测 总分：120分 时间：110分钟 2025.5 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 一个三角形中至少有两个锐角 B. 一个三角形中，一个外角大于任意一个内角 C. 三角形的外角和等于 D. 锐角三角形，任何两个内角的和均大于 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，根据三角形的外角的性质、三角形内角和定理、三角形外角和定理进行解答． 【详解】解：一个三角形中至少有两个锐角，A正确； 一个三角形中，一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，B错误； 三角形的外角和等于，C正确； 锐角三角形，任何两个内角的和均大于，D正确， 故选B． 2. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将原数转换为科学记数法，需确定其有效数字部分和指数，科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】解：原数为，需将小数点向右移动至第一个非零数字后，原数中小数点后共有9个零，第10位为3，因此小数点需向右移动10位，得到（满足），移动方向为向右，故指数为负，即， 因此，原数的科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方以及同底数幂的乘法化简即可判断． 【详解】A、，故选项A不合题意； B．，故选项B不合题意； C．，故选项C符合题意； D．，故选项D不合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项、幂的运算以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解答本题的关键． 4. 已知，问等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算法则是解题的关键． 5. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A a（m+n）＝am+an B. a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫因式分解，根绝定义分析判断即可． 【详解】解：A、，该变形是去括号，不属于分解因式，该选项不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合题意； C、符合因式分解定义，该选项符合题意； D、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查因式分解的定义，牢记定义内容是解题的关键． 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 7. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对各选项逐一验证，判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 三线段共线，无法构成三角形； C、，，， 最大边为，另两边之和为， ， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，， 最大边为，另两边之和为， ，且，均成立， 满足三边关系，能组成三角形， 故选：D ． 8. 如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 9. 在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. 过作∥ B. 延长到，过作 C. 作于点 D. 过上一点作， 【答案】C 【解析】 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 10. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 二．填空题（每小题4分，共5小题，20分） 11. 已知（x﹣9）与（x+p）的乘积中不含x的一次项，则常数p的值为___． 【答案】9． 【解析】 【分析】先计算再由乘积中不含的一次项，可得从而可得答案． 【详解】解：∵ 又∵与的乘积中不含的一次项， ∴ 故答案为：9. 【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算，多项式中不含某项，掌握以上知识是解题的关键． 12. 若多项式是完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 一个三角形的两边长为3和6，若第三边取奇数，则此三角形的周长为______． 【答案】14或16 【解析】 【详解】根据三角形的三边关系可得：3<第三边<9， 第三边为奇数可得：第三边长为5或7， 则三角形的周长为14或16． 故答案为：14或16． 考点：三角形的三边关系 14. 如图：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和以及三角形外角的性质，解题的关键是利用三角形外角的性质将所求角转化到一个四边形中进行计算． 通过连接，利用三角形外角的性质将和转化为和，再根据四边形内角和为求出的度数． 【详解】连接，为与的交点， 在和中， ， ， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为， 四边形内角和为， 所以． 故答案为：． 15. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 四、解答题（共70分） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）10；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，整式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方法则计算； （2）根据完全平方公式、平方差公式运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式 ． 17. 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法，如提公因式法和公式法，并能灵活运用． （1）利用提公因式法进行因式分解． （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解． （3）利用平方差公式展开，然后再利用完全平方公式进一步分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．　B．　C． （2）若，，求的值； （3）计算： 【答案】（1）B （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景： （1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）利用平方差公式将，写成，再将代入计算即可； （3）将原式的每项利用平方差公式写成，即，然后进行化简计算即可； 掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图1可以拼成长，宽为的长方形， 如图2，因此面积为， 因此有， 上述操作能验证的等式是， 故选：B 【小问2详解】 解：依题意， 因为，且 所以 即， 即值为3； 【小问3详解】 解：依题意， ． 19. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求 的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用和非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）利用公式法和非负数的性质计算即可； （3）先将原式变形为，再利用非负数的性质计算出a，b，c,即可计算出的周长． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， ， ， 多项式的最小值为． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，，， ，，， 的周长． 20. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）故选C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则： 原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4． 故答案为（x﹣2）4； （3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4． 【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 21. 在中，，是的平分线，交边上的高于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的定义和性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）首先根据题意以及三角形内角和定理求出，和的度数，利用直角三角形两锐角互余求出答案即可； （2）利用角平分线定义以及外角性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是平分线， ∴， ∵为的外角， ∴． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用A种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片张，号卡片张，号卡片______张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）； （2）3； （3）①的值为；② 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘与几何图形的面积、完全平方公式的意义和应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，据此即可解答； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：． 因此有． 【小问2详解】 解：解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张． 故答案为：． 【小问3详解】 解：，，， ， ，即的值为； 令， ， ， ， ，解得． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$