河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期6月期末冲刺（一）数学试题

**基本信息** 高二期末数学冲刺卷，覆盖集合、函数、数列等核心知识，解答题如导数应用（19题）、数列综合（18题）体现思维逻辑性与语言表达，梯度设计适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、函数性质|基础巩固，如第1题集合交集考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|等差数列、不等式|能力提升，如第10题不等式最值体现推理意识| |填空题|3/15|命题真假、函数单调性|创新应用，如第14题函数不单调考查数学眼光| |解答题|5/77|导数极值、数列求和|综合梯度，如19题三问从极值到恒成立，培养理性精神|

2026年春期高二年级期末冲刺（一） 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 3．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．数列的公差为3 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．成等差数列 10．下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是 B．当时，的最小值是 C．当时，的最大值是 D．若正数满足，则的最小值为 11．已知定义域为的函数在上单调递增，且，图象关于点对称，则以下说法正确的有（   ） A． B．的周期为4 C．在上单调递减 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．______． 13．已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___． 14．已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 16．（15分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，记，求. 17．（15分）已知函数在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 18．（17分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 19．（17分）已知函数. （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）设若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 1．C 【详解】因为集合，，所以集合，， 所以. 2．A 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 3．A 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 4．C 【分析】由指数函数和对数函数的单调性，通过中间量0和1即可比较大小. 【详解】函数在上单调递增，故， 在上单调递减，故， 在上单调递减，故， 故. 故选：C. 5．C 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 6．C 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意：， 由即，所以， 所以. 依题意. 又，所以. 故选：C 【点睛】对于含有多层函数符号的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 7．D 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 8．B 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 9．ABD 【分析】利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 所以数列的公差为3，即A正确； 依题意可得， 所以，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误； 由 ，所以成等差数列，故D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】利用基本不等式，并结合其取等条件依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， ，即无解，取等条件不成立，A错误； 对于B，当时，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，B正确； 对于C，当时，（当且仅当，即时取等号）， 的最大值为，C正确； 对于D，，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 11．ABC 【分析】由已知确定函数的周期性，结合对称性得单调性，然后判断各选项. 【详解】在中，令，得；令，得． 因为函数的图象关于点对称，所以， 故，所以，即， 所以，所以的周期为4， 所以，所以，故A、B正确． 因为在上单调递增，且周期，所以在上单调递增， 又的图象关于点对称，所以在上单调递增． 因为，所以的图象关于直线对称，所以在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以函数在上单调递减，故C正确． 根据的周期，得，，， 由A选项的分析知，，即，故D错误． 12． 【详解】原式化为 . 13． 【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】解：“，”为假命题， 其否定“，”为真命题， 当时，显然成立； 当时，恒成立可化为： 解得 综上实数a的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键． 14． 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于的方程组，解之即可； （2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）把，代入， 得，结合且，解得， 所以. （2）由（1）知可化为， 故在上恒成立， 则在上的最小值不小于. 由指数函数的单调性可知函数在上为减函数， 所以当时，有最小值2，故， 故的取值范围为. 16．（1）.（2）. 【详解】试题分析：（1）由题意知， 解得，即得所求. （2）由题意知. 从而得到. 由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和 具体的，当n为偶数时， 当n为奇数时， . 试题解析：（1）由题意知， 即， 解得， 所以数列的通项公式为. （2）由题意知. 所以. 因为. 可得，当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以. 考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想. 17．(1) (2) 【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为已知函数在处的切线为，即切点为， 所以，解之得，， 所以函数的解析式为. （2）因为，所以， 令，解得， 当，，在为增函数， 且时，，时，， 当，，在为减函数， 且时，，当时，， 若方程（m为常数）有两个根，则. 故实数m的范围为. 18．(1) (2). 【分析】（1）根据题意列方程组，解出和即可求得，从而得出和求得； （2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意知，解得或（舍去）， 所以， 则，所以. （2）由（1）知． 因为， 所以， 两式相减得 ， 故． 19．（Ⅰ）当时，有极大值，且极大值=，当时，有极小值，且极小值=—2. （Ⅱ）.（Ⅲ） 对于任意的，不等式恒成立，则有即可 【详解】试题分析：（Ⅰ）当时，函数令，求出，列表，研究函数可知为机智点，求出极值即可；（Ⅱ）由，求导研究的单调性，可知所以在上是减函数，在上是增函数，即最小值=. 对于任意的，不等式恒成立，则有即可； （Ⅲ）由题意构造新函数， 分和时两种情况讨论，继续构造，由得性质 的有关性质从而得到实数的取值范围 试题解析：(Ⅰ)当时，函数.令得. 当变化时，的变化情况如表： 当时，有极大值，且极大值=，当时，有极小值，且极小值=—2. （Ⅱ）由，则，令，解得；令，解得，所以在上是减函数，在上是增函数，即最小值=. 对于任意的，不等式恒成立，则有即可.即不等式对于任意恒成立.解之可得 （Ⅲ）由题意知：在上恒成立.令， ①当时，，所以恒成立，所以在上单调递增，所以在上恒成立，所以均符合要求. ②当时，在上单调递增，满足且，故在上存在唯一零点， 当时，，所以在上单调递减，从而，所以在上单调递减，从而当时，，即，不合题意.综上，实数的取值范围为. 考点：利用导数研究函数的性质 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $