河南周口市沈丘县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期末测评数学试题

2025—2026学年度高二下学期期末 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为3，则直线的方程为 A． B． C． D． 2．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为 A． B． C． D． 3．“”是“数列是等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为 A． B． C． D． 5．用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是 A．第15个数 B．第12个数 C．第13个数 D．第14个数 6．已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是 A． B． C． D． 7．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知椭圆：，双曲线：，其中，点，是椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有 A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B．若随机变量，则， C．若随机变量，则 D．已知，，，则 10．已知圆O：，则下列说法正确的有 A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 11．已知函数存在极小值点，则下列结论正确的有 A． B．函数有唯一的极小值点 C． D．曲线有且只有3条斜率为4的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，，，则_____． 13．已知双曲线C：（，）的右焦点为，直线与双曲线的一条渐近线相交于点，点在第二象限．直线与抛物线：的一个交点为Q．若，则双曲线的离心率为_____． 14．如图，一个正方形被分割成四个相同的小正方形，现用蓝、绿两种颜色对小正方形的边进行染色，若要使每个小正方形都有2条蓝色边和2条绿色边，则不同的染色方法数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为棱上靠近点的三等分点，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）某电影上映前6天的单日票房统计如下表： 上映第天 1 2 3 4 5 6 单日票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）． （2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，参考公式：，． 18．（17分）已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程． （2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为． ①记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②求面积的最大值及此时直线的方程． 19．（17分）在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“（）”的概率为，数列的前项中0的个数为随机变量． （1）求，的值； （2）求的分布列； （3）记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，，． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度高二下学期期末 数学参考答案及评分意见 标因为直线L的倾斜角为，所以直线1的斜率k=ta3=一3.因为直线l在y轴上的截 以直线l的方程为y=-√3x十3，即√3x+十y-3=0.故选C. 2.B【解析】因为m=(x,1,2),n=(-2,y,-3),m⊥n,所以m·n=(x,1,2)·(-2,y,-3)=-2x十y-6=0, 即x,y满足的关系式为2x一y十6=0.故选B. 3.B【解析】若数列{am}是等差数列，则a1十a5=2a3,故必要性成立. 反之，取a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,as=3,a1十a5=1十3=4=2a3,但a2-a1=1,a3-a2=0,所以数列{am}不 是等差数列，故充分性不成立.所以“a1十a5=2a3”是“数列{an}是等差数列”的必要不充分条件.故选B. 4.C【解析】因为点A在直线l:y=x上，且在第一象限，所以设A(m,m),m>0.因为点A在抛物线C上，所 以m=2m.解得m=2p.由抛物线的定义，得1AF=m+号-碧，因为AF=10,所以号=10.解得=4，所 以抛物线C的方程为y=8x.故选C. 5.D【解析】用数字0,2,5,7组成没有重复数字的四位数，其中千位上数字是2或5的各有A=6个；千位上数字 是7，百位上数字为0的有A=2个，即7025和7052，所以7052是第14个数.故选D. 6.D【解析】设g(x)=x2f(x),则由题意，得g'(x)=2xf(x)十x2f'(x)=x[2f(x)十xf'(x)]>0,所以g(x) 在(0，十∞)上单调递增，则g(2)<g(4),即4f(2)<16f(4),所以f(2)<4f(4).故选D. 7.A【解折1因为fx)=x+3-3z+2,定义域为R,所以了(x)=3x+3mx一3=3x+mx-1D, 因为f(x)在区间(2,5)上存在单调递增区间，所以f'(x)>0在(2,5)上有解，即x2十mx一1>0在(2,5)上有 解，也等价于m>-x在2,5)上有解.令g)=x,x>0,可知函数gx)在(0，+∞)上单调递减，所以当 xE(,5,g)(台，》，所以m>一琴即实数a的取值范回为十放选A 8C【解标]风曲线方一。-1的渐近线方程为y=士久，设商近线y y2 x2 ax的倾斜角为0，则tan0= b a :a>6>0,∴0<名<1，即0<tan0<1,…0<0<牙两条渐近线的夹角为20，cos20= 3 b 2 cos 20-cos'0-sin'g=coso sin21-tan'g 1-tan'0 1 a cos20+sin20 1+tan'1+tan23 ,解得 3 a2…a=√2b 1+ a 片在椭圆L乙+1中，c三a一b√G2b)一62=b.点F1,F:为椭圆I的两个焦点， ∴.F1(一b,0),F2(b,0).当∠F1PF2=90°时，点P在以F1F2为直径的圆上，圆的方程为x2+y2=c2=b2. y2 r2 将a=2b代入r2:2-1,得52262=1，解得y=62+). 将y=6+号代入+少=6，得x叶2+号-，解得=0：将=0代人y=6 2 ④数学答案第1页（共7页） 解得y=士b,则有2个点P满足∠F1PF2=90°. 当∠PF1F2=90时，过点F1的直线为x=一b,:直线x=一b与双曲线T2有2个交点， .有2个点P满足∠PF1F2=90°.同理，当∠PF2F1=90时，有2个点P满足∠PF2F1=90°. 综上，使得△PF1F2为直角三角形的点P有6个.故选C. 9.BCD【解析】设原数据的方差为s=3,则新数据的方差s号=32s=9×3=27≠9，故A错误. 因为随机变量XB(,)所以E(X)=4X写号，D(X)=4X写×-)8故B正确 因为随机变量XN(1,2),所以正态曲线关于x=1对称.因为x=-1与x=3关于x=1对称， 所以P(X≤-1)=P(X≥3)，所以P(X≤-1)十P(X≤3)=P(X≥3)+P(X≤3)=1，故C正确. 因为P(A)=0.5,所以P(A)=0.5.由全概率公式，得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BA)=0.5×0.4+ 0.5×0.6=0.5,故D正确.故选BCD. 10.AD【解析】由题意，得圆O的圆心为O(0,0),半径r=1.因为点A 〔，)在圆0上，直线OA的斜率为 4 4 3 ,所以切线的斜率为受，切线方程为y一音-孔十】，蓝理，得3一y十5=0，故A正确。 5 -1 因为圆心O(0,0)到直线y=x-1,即x-y-1=0的距离d= N2于=2<1=r,所以直线y=x1 与圆O相交，故B错误. 因为圆心00,0)到直线工=一专的距离为7，所以孩长为2-（侣】 =√3，故C错误 由题意，得圆C的圆心为C(3,4),半径R=2√2.因为|OC引=5>1+2√2=r十R,所以圆C与圆O外离，故D 正确.故选AD. (x-2)ln(-x),x<0, 1l.BCD【解析】f(x)=(x-2)lnx|= (x-2)lnx,x>0. 当x<0时，f'(x)=ln(-x)+二2-1n(-x)十1- 2≥1+是+1--->0. 2 x 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上无极值. 当>0时，)=lnx+,2=nx十1-是，f)在0，+∞)上单调递增， x 因为f'1=-1<0,f(侣)-in->1-名日-0，所以存在唯-的，∈(，2)，使fc,)-0 当0<x<xo时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>xo时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以x,是f(x)唯一的极 小值点，故A错误，B正确. 由f'(x)=lnxo+1一。 2=0,得1nx。=2一1> 所以f)=。-2I加。=(-2（层-=4-(+） ④数学答案第2页（共7页） 因为1，<号所以答<+名。所以-1长1-(+一日放c正确 -3=0. 当x<0时，令f'(x)=4,得1n(-x)+1-2=4.令-x=,则>0，lnt+2 令g6e)=lh+是-3，则g'a=}-是-2当0<2时ge)<0,ge)在0,2)上单调递减： 当t>2时，g'(t)>0,g(t)在(2，十∞)上单调递增.所以g(t)在t=2处取得极小值，也是最小值. 因为g(2)=ln2-2<0,且当t→0时，g(t)→+∞，当t→+o∞时，g(t)→+o∞， 所以g(t)在(0,2)和(2，十∞)上各有一个零点，设为t1,t2,则f'(x)=4的两根分别为-t1,一t2. 当x>0时，f'(x)在(0，十∞)上单调递增，f'(xo)=0,当x→十∞时，∫'(x)→+∞， 所以存在唯一的x∈(xo,十∞)，使f'(x)=4. 综上，曲线y=f(x)有且只有3条斜率为4的切线，故D正确.故选BCD. 12.号【解析】由等比数列的性质，得ag=8,u=27,所以a6=2,a=3,放a4=a-4 a63 18vE【解析1双曲线C的渐近线方程为y=±名，由题意，得P(-c,)因为F(c,0),所以F时-(-2，) 因为时=3成所以成=号市-（告），所以Q后) 将点Q的坐标代人y=4,将器号，所以-12.因为c-a十6，所以双商线C的商心幸= 9a2 a-v13. 14.82【解析】如图所示. 当边a,b同色时，左上方的小正方形另外两边有1种染色方法； 当边a,b不同色时，左上方的小正方形另外两边有2种染色方法. 同理，其他三个小正方形也一样. 所以当a,b,c,d四边同色时，有C=2种染色方法。 当a,b,c,d只有三边同色时，另一边与其不同色，有CA2×1×1×2×2=32种染色方法. 当a,b,c,d四边每两边同色时，有a与b同色，a与d同色，a与c同色三类情况. 当a与b同色时，c与d同色，有A号×1×1×2×2=8种染色方法； 同理，当a与d同色时，b与c同色，有8种染色方法. 当a与c同色时，b与d同色，有A×2×2×2×2=32种染色方法，所以有8+8十32=48种染色方法. 综上，共有2+32十48=82种染色方法， 15.解：(1)因为f(x)=e2+(2-2k)x-1,x∈R,所以f'(x)=e2十2-2k.…1分 当k≤1时，f'(x)>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增.…2分 当k>1时，解f'(x)=e2+2-2k=0,得x=ln(2k-2), 所以当x∈(-∞，ln(2k-2)时，f'(x)<0,当x∈(1n(2k-2),十∞)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞，ln(2k-2)上单调递减，在(ln(2k-2),十∞)上单调递增.…5分 ④数学答案第3页（共7页） 综上，当k≤1时，函数f(x)在R上单调递增；当k>1时，函数f(x)在(-o∞，ln(2k-2)上单调递减， 在(ln(2k一2)，十o∞)上单调递增.… …6分 (2)令g(x)=f(x)-sinx=e2十2x-2kx-sinx-1,x≥0，则g(x)≥0恒成立.…7分 g(0)=0,g(x)=e2十2-2k-cosx,x≥0，g'(0)=2-2k.…8分 令o(x)=g'(x),则o'(x)=e十sinx>0在[0，十o∞)上恒成立，所以g'(x)在[0，十o∞)上单调递增.…9分 当g'(0)=2-2k≥0，即k≤1时，g'(x)≥g'(0)=0,所以函数g(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0在[0，十0∞)上恒成立.…10分 当g'(0)=2-2k<0,即k>1时，因为当x十∞时，g'(x)→十∞， 所以存在xo>0,使得g'(xo)=0.当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,当x∈(x0,+o∞)时，g'(x)>0, 所以函数g(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增. 所以当x∈(0，xo)时，g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0在[0，十o∞)上恒成立矛盾.…12分 综上，实数飞的取值范围是（一0∞，1].…13分 16.(1)证明：由题意，得AB2十AC2=9=BC2,所以AC⊥AB.… …1分 因为平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A,∩平面ABC-AB,ACC平面ABC, 所以AC⊥平面ABB1A1.…3分 (2)解：因为AB⊥AA1,平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面ABC=AB,AA1C平面ABB1A1, 所以AA1⊥平面ABC,所以三棱柱ABC一A1B1C1是直三棱柱. 所以点A1到平面B1MN的距离d,即点A到平面B,MN的距离，也即点A到直线BC的距离， 结合(1)，得d=AB·AC_22 BC 31 ……5分 三3S矩形001B1=3,…7分 1 所以三棱锥M-ABN的体积V装车NA1BNV装雀A-BN,SABw·d?X3X2,222,…9分 3 (3)解：由(1)(2)可知，AB,AC,AA1两两垂直. 以点A为坐标原点，AB,AC,AA1的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. …10分 B 由题意，得A,(0,0,3),B(1,0,3M0,2E,1),N(日E,0, ①数学答案第4页（共7页） 所以Ni=（2E,1Ai=(0,22,-2》,A,E=(1,00以.…11分 n·A1B1=0,1x=0, 设平面MA1B1的法向量为n=(x,y,之)，则 即 取n=(0,1,W2).…13分 n·A1M=0,2y-x=0, 设直线MN与平面MA,B1所成的角为0， NM·n 2√2 则sin0= 4√78 NMn 1 4+2+1X1+2 39, 即直线MN与平面MA,B:所成角的正弦值为4y7 39…15分 1 17.解：(1)由题意，得x= X1+2+3+4+5+6)=3.5,y-日×0.9+1.2+1.3+1.5+1.3+1.6)=1.3， 1 之z2=12+2+32+42+53+62=91,…3分 (，-)0-)含x-6y29.3-6X3.5x1.32 所以= i=1 2(x:-z)月 2x-6x2 91-6×3.52 17.5≈0.1， = =1 a=y-6证=1.3-17.5×3.5=0.9， 所以y关于x的经验回归方程为y=0.1x十0.9.………7分 当x=7时，y=0.1×7十0.9=1.6亿元，因此预测第7天的票房收入为1.6亿元.…8分 (2)由题意可知，X的可能取值为1,2,3.………………9分 Cg5628,P(X=2)=CC3015 因为P(X=1)=C3C_63 C56281 P(X=3)= C9C 20 5 C85614’ 所以X的分布列如下表 13分 X 3 15 5 P 28 28 14 15 所以X的数学期望E(X)=1 28+2 59 +3X …15分 28 144 c 2, a=2, 18.(1)解：由题意知 解得 …3分 2b=2, b=1, a2=b2+c2, 所以椭圆C的标准方程为十y21, …4分 (2)①证明：当直线1的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my十t,A(x1y1),B(x2y2).…5分 ①数学答案第5页（共7页） x=my十t, 由 22 消去x,整理得(m2+4)y2+2mty十t2-4=0. 4+y2=1, 2mt t2-4 △=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)=16(m2-t2+4)>0,y1+y2= m2+4'y1y2=m2+4 因为坐标原点0到直线1的距离d= 1t2w5 vm2+15, 所以42-5t2十4=0.… …7分 当t=士2时，m=士2，y1=0,y2=士1或y1=士1，y2=0. 点A,B为椭圆的顶点，直线OA或OB的斜率不存在，所以t≠士2. 12=4.y2= yiy2 yiy2 z1 x2 (myi+t)(my2+t)m2y1y2+mt(y1+y2)+12 t2-4 m2+4 t2-4 t2-4 m2.t2-4 4t2-4m24t2-(5r2-4=-1. …9分 (2mt m2+4+mt. +t2 m2+4 当直线1的斜率为0时，直线1的方程为y=士25 59 此时点A,B的横坐标为士25 5，所以b1k2=一1…10 综上，k1k2--1为定值.……11分 ②解：由①知，当直线l的斜率为0时，AB1=4y5 5, 所以5m7ABd-号×5×25-专 -X 5 5=5 ……………12分 当直线1的斜率不为0时，由0知△=6m-+0=16[m一言m2+10+4]-m2+16, 45/m+16 所以|AB|=√1+m2·ly1-y2=√1十m2· m2+4 所以5A4AB1a×中a6 22+x2541m2+)(m2+16 5=5 (m2+4)2 -+-小+ 9m2 m4+8m2+161 …14分 4 当m=0时，SAA0B=55 当阳0时，S= /1+9m2 4 m4+8m2+16=5 m+8+6下 /1+ 9 4 9 1+ 4×5 =1, 16 4 m2 8+2m2· m2 当且仅当m2二即m2=4,m=士2时取“=” …15分 ④数学答案第6页（共7页） 综上，△AOB面积的最大值为1. 当m=2时，t=士2，当m=一2时，t=土2. 所以直线1有4条，其方程为x士2y十2=0或x士2y一2=0.…17分 19.(1)解：由题意，得从am到am+1经历了1次十1或-1变化. 因为a1=0,所以要使a.=0(k>1),则从a1到a.的(k一1)次变化中，十1与-1的次数相同.…1分 所以p,-Cx侣)-，C×()八- …3分 (2)解：由(1)知，数列{am}的前5项中，a1=0,其余4项只有奇数项a3,a5可能为0， 故X写的所有可能取值为1,2,3.…4分 从a1到a5的4次变化共有2=16种情况，用枚举法得 pX,-1)-0-p(X:-2)-0-P(X:-8）-67分 63 41 所以X写的分布列如下表.……8分 X 3 3 3 8 8 1,a=0, (3)证明：设Ik= k=1,2,3,…,n,则Xn=I1十I2十…十In.…9分 0,ae≠0， 因为数列{an}中只有奇数项可能为0，所以数列{I}的所有偶数项都为0，即X-1=I1十I十…十I2-1· 所以E(X2-1)=E(I1十I3十…十I-1)=E(I1)十E(I3)+…十E(I24-1)=p1十p3十…+p2%-1.…11分 由0可到0一崇=1,28，其tCg-1.m12分 定义-8，满起6-1 由定义，得1-2·4=1.（2m)！.n-10！(m-1)!=1.2m(2m-1)_2m-1 xn=40‘Cga已4`n！m!`(2n-2)！=4 n2 2n, 所以装六a名a,.即s=a-1》-0 1 4m-1 …14分 下面只需要再证明S,是数列{xn}的前n项和即可， ①当n=1时，S1=1=x1； 8当3时S-s-7C.203c3-9a-1w-42nC 4n-1 4n-2 又因为C名-n-1 为c31=22m-3),所以(2n-1)-24=2n-1-2(n-1)=1, Can2 所以5.-S,斜-z 利用累加法可知Sn是数列{xm》的前n项和，从而原命题得证.…17分 ④数学答案第7页（共7页）