河北邢台市邢襄联盟2025-2026学年高一下学期测评数学试题

**基本信息** 聚焦数学思维与现实问题结合，通过梯度化题型设计考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配高中月考阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数与导数、立体几何|结合科技前沿情境，设置多问递进结构，考查逻辑推理与空间观念| |填空题|4/20|数列、概率统计|融入社会热点数据，需通过数据意识构建数学模型解决实际问题|

高一数学测评参考答案 1.D八棱台共有8十8十8=24条棱， 2.A因为7+i12+2i=i3+4+x3+2i=3+1+2i=一i+1+2i=1+i,所以复数7+i2+2i在 复平面内对应的点位于第一象限. 3.DA,B,C均正确.垂直同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D错误。 4.D BC=a+AC=a+4AD=a+4(b-a)=-3a+4b. Y3·BC2·AB π 5.B 设几何体。与9的体积分别为V,V,则号， BC9元1 5·AB2.BC AB' 3 因为x>8,所以2>4，故女的取值范图是(0，》， 6.C取AC的中点O,连接OD,B'O(图略).依题意可得B'O⊥AC,B'O=1,DO=2.因为平 面ACD⊥平面AB'C,平面ACD∩平面AB'C=AC,B'O⊥AC,所以B'O⊥平面ACD.又 DOC平面ACD,所以B'O⊥OD,则B'D=√DO+BO=√5. 7.A如图，取棱DC上更靠近D的三等分点Q,连接PQ,QC1.易证PQ∥ D B1C1,PQ一B,C1,所以平面PB,C1截正方体的截面为平行四边形 B A PB1C1Q.易证PQ⊥B1P,则该平行四边形为矩形.因为B1C1=3,PB1= D-- √13，所以该截面的面积为3√13 A 8.B在△ABC中，BC=√AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=7.依题意 可得O为△ABC外接圆的圆心.设该外接圆的半径为R,则2R= BC 27 sin∠BAc,则O4 R-⑦ ，因为AD⊥平面ABC,所以OD与平面ABC所成的角为 √5 C ∠A0D,而tan/A0D-识-牙，放OD与平面ABC所成角的正切 值为 9AD因为后-骨a而若8-5所以。-一12+所 13 =√（一12）2+52=13，之=-12一5i,之的虚部为5，之+12为纯虚数. 10.BC因为∠B'O'A'=45°，A'B'⊥OB',OA'=2,所以OB'=√2，OB =2OB'=2√2.在平面直角坐标系上作出四边形OABC,如图所示，则 OA⊥OB,OA=BC=2,则AB=√OA+OB2=23,四边形OABC 显然不是矩形，A,D均错误，B正确.由O(0,0),A(2,0),C(一2,2 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 √2)，得OC.OA=-4,C正确. 11.BCD将四棱锥P-ABCD补成一个正方体（图略），则四棱锥 P-ABCD的外接球为该正方体的外接球，因为点Q是该正方体 的一个顶点，所以点Q在四棱锥P-ABCD外接球的球面上， A错误 四棱维R-ABCD的体积V-号×2×2=号，侧面积S,=Sa +S△Qc+S△QcD+S△aDA=2+2+2W2+2W2=4+4W2,表面积 S=S:十4=8+42，则四棱锥R-ABCD内切球的半径R=3Y- 8 S8+42 =2一√2，则该内 切球的表面积为4πR2=(24一16√2)π，B正确. 连接PQ,易证PQ∥AB∥CD,PQ=AB=CD,则四边形CDPQ和四边形ABQP均为平行 四边形，设PB∩AQ=E,PC∩DQ=F,则E,F分别为PB,PC的中点，设AD,BC的中点 分别为G,H,连接EF,GH,FG,FH,则四棱锥P-ABCD和四棱锥Q-ABCD的公共部分 为几何体ABCDFE,其体积为四棱锥F-CDGH和三棱柱ABE-GHF的体积之和，即与X2X 1X1+号×反×2×1-号，C正确， 因为几何体BCQPAD为三棱柱，所以它的五个面所在平面将空间分成7+7+7=21个部 分，D正确. 12.12设上、下底面圆的半径分别为r,R,圆台的高为h,则r=1,R=6,所以h= √132-(6-1)2=12. 13.0 D 10 取棱AD的中点F,连接BD,EF,CF.易证B1D1∥BD∥EF, B 则B1D1∥EF,则∠CEF为异面直线CE与B1D1所成的角（或其补 角).依题意可得底面ABCD为正方形，设AB=2,则CE=CF=√5， E一.所以EF-C2是示-故异面直线cE D 2CE·EF B 与BD:所成角的余弦值为酒。 1 因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥AC.因为AB=2,AC -3,s1-6,所以m∠SM-0-行am∠CSA-织-2则 11 tan(∠BSA+∠CSA)= 32=1.因为∠BSA∈(0，受)，∠CSA A 1-3× 【高一数学·参考答案O第2页（共5页）】 ∈(o,),所以∠BSA+∠CSA∈(0，x),则∠BSA十∠CSA=平.故三棱锥SABC在顶 点S处的面率为2：-(/BSA+/CsA+/BSC)-2红背吾-受 15.（1)证明：连接BE.…1分 由题意知，BC是圆柱的母线，则BCL平面ABE.…2分 因为AEC平面ABE,所以BCLAE.…3分 又AB是底面圆的直径，所以AE⊥BE.…4分 因为BE∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.…5分 B 又CEC平面BCE,所以AE⊥CE.…6分 (2)解：设AB=2r,则该圆柱的表面积为2πr2+2πr·2r=24π， …8分 解得r=2,则AB=4.…9分 故该正四棱台的体积为3×3×(22+2×4+4)=28. …13分 16.(1)证明：当y=1时，若1a=|b|,则√32十(x十1)2=√12+(2-x)7,…2分 解得x=名， …3分 故3x∈R,a=|b.… …4分 (②)证明：当x=-8时a…b-3y+(-3+1)(2y+2)=3y-3y5=-…7分 则a·b为定值.… 8分 (3)解：当x=1时，a=(3,2),b=(y,2y一1). 9分 因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0且a与b不共线，…11分 则3y十2(2y一1)>0，且3(2y一1)一2y≠0，…13分 解得（号，是）U(子，+∞) … …15分 强：)由sin/ABC:sin/ACB=5:2,得3-号，a 2分 因为AB=2,所以AC=5. …3分 由等面积法得号AB·ADsin∠BAD+号AC·ADsn∠CAD= AB·ACsin∠BAC. …5分 LAC,AD平分∠BAC,所以2AD·(AB+AC)=AB·AC,= 则AD=2AB·AC_10N2 AB+AC 7 …8分 (2因为AE=号BC,AC=5,所以AE=3, 10分 【高一数学·参考答案O第3页（共5页）】 由余弦定理得DE=AD+AE-2AD·AE·cos1=49十9一2X0/2X 7 2X3x2_221 49 0000e04…0e。0e0e0e。0e4000。…0e00000.0040000000000000+04000000e0000e…0t000…。]3分 则DE=V22 ， …14分 故△ADE的周长为10y2+3+四-102++2四 7 7 15分 18.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形， 则AC=AB=2.…1分 因为PA2+AC2=(W3)2十22=7=PC2,所以PA⊥AC.… 2分 同理可得PA⊥AB.…3分 又因为AC∩AB=A,所以PA⊥平面ABCD. 4分 (2)解：（方法一）取CD的中点E,连接AE,PE.由(1)知，AC=AD=2, 则AE⊥CD,且AE=√3.…5分 又PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.·6分 因为AE∩PA=A,所以CD⊥平面PAE.…7分 因为CDC平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAE.…8分 所以直线PA在平面PCD上的射影为直线PE,则∠APE为PA B 与平面PCD所成的角。……… 9分 又PA⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,所以PA⊥AE.…10分 因为PA=AE=5,所以∠APE=不，即PA与平面PCD所成角的大小为平.…11分 (方法二)因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD,·5分 则PD=√PA十AD=√7=PC.取CD的中点E,连接PE,则PE⊥CD,…6分 则PE=√PC-CE=6,所以Sw=CD·PE=6.…7分 设点A到平面PCD的距离为d,则由Vm=Vm得号X后Xd-号××2X原，得 d-v6 2 9分 d√2 设PA与平面PCD所成的角为0，则sin0=PA=之， …10分 所以0=不，即PA与平面PCD所成角的大小为不. 11分 (3)解：设AE∩BD=G,依题意可知G为△ACD的外心，且AG=3×名-2 3 3 4*44000 …12分 则OG⊥平面ACD.…13分 【高一数学·参考答案O第4页（共5页）】 又PA1平面ABCD,所以0GPA.因为PA=5,所以OG-PA-复 …14分 则球0的半径R=√0G+AG-√2 5 …15分 因为0-√5+}+(}-√ …16分 73 5 所以线段BM的长度的最大值为BO+R一√2十√2 5√3+√219 6 …17分 9证明：延长AD交C,于点P.由C-ADA=得CF-ZAA1.…1 因为E是棱AA1的中点，CC1LAA1,所以CFLA1E,… 2分 则四边形A1ECF是平行四边形，所以CEA1F.… 3分 又因为CE中平面A1BD,A1FC平面A1BD,所以CE平面A1BD. 4分 (2)取AB的中点M,连接CM.在等边△ABC中，CM⊥AB.· …5分 D/H 因为AA1⊥平面ABC,CMC平面ABC,所以AA1⊥CM.… B …6分 又AA1∩AB=A,所以CM⊥平面A1ABB1.…7分 设A1B∩AB1=O,连接OF,OM,则OML2BB1LCF,则OML CF,所以四边形OMCF是平行四边形，则OF/CM,…8分 所以OF⊥平面A1ABB1.…9分 因为OFC平面A1BD,所以平面A1BD⊥平面A1ABB1.·10分 (3)二面角A-A1D-B即二面角A-A1F-B. 取AC的中点N,连接BN.易证BN⊥平面ACC1A1,则BN⊥A1F.…11分 过点N作A1F的垂线，垂足为H,连接BH. …12分 又NH⊥A1F,且BN∩NH=N,所以A1F⊥平面BNH,则AF⊥BH,…13分 所以二面角A-A1F-B的平面角为∠BHN.… …14分 因为SaMw=2-SAMN一SA5#一SeN=4-1-1-号号A,F=厅， 所以由等面积法可得A,F·NH=号则NH=是 15分 所以tan∠BHN=BN=35 N五3√ 16分 √5 因为1<5<5，所以于<∠BHN<行，即<0<骨 …17分 【高一数学·参考答案O第5页（共5页）】高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 报 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章占30%，第八章占70%。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.八棱台共有 A.8条棱 B.16条棱 C.20条棱 D.24条棱 毁 2.复数”+2+2i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列判断错误的是 封 A.经过两条相交直线，有且只有一个平面 B.经过两条平行直线，有且只有一个平面 C.垂直同一个平面的两条不同的直线一定平行D.垂直同一个平面的两个不同的平面一定平行 4.在△ABC中，点D在边AC上，CD-CA.记B时-a,BD-b,则BC- A.-2a+3b B.3a-2b C.4a-3b D.-3a+4b 5.在△ABC中，AB⊥BC,AB=x,BC=E,其中x>8.以AB边所在直线为旋转轴，其余两边旋 转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体α，以BC边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周 @ 形成的面所围成的旋转体记为几何体B,则几何体α与的体积的比值的取值范围是 A.(4,+c∞) B(0,) C.(2,十∞) n.(o,) 6.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=√2，AC=2,AD=CD=√5，将△ABC沿AC边翻 折，使点B到达点B的位置，且平面ACD⊥平面AB'C,则BD的长度为 A.2 B.6 C.√5 D.3/2 D 2 【高一数学O第1页（共4页）】 7.已知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为3，P为棱AB上更靠近A的三等分点，则平面 PB,C,截该正方体的截面的面积为 A.3/13 B.6+2/13 C.3/10 D.6+210 8.在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC,AD=1,AB=2,AC=3,∠BAC=60°，O为平面ABC 内一点，且OA=OB=OC,则OD与平面ABC所成角的正切值为 A呀 B四 C② 6 D② 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 若品-}+则 A.|z|=13 B.z=12+5i C.之的虚部为5 D.之+12为纯虚数 10.如图，用斜二测画法得到四边形OABC的直观图是平行四边形OA'B'C',且OA'=2, A'B'⊥OB',则 A.AB⊥OB B.AB=2√3 C.O元.OA=-4 D.四边形OABC是矩形 11.已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD,QB⊥平面ABCD,P,Q在平面ABCD 的同一侧，且PA=QB=2,则 A.点Q不在四棱锥P-ABCD外接球的球面上 B.四棱锥Q-ABCD内切球的表面积为(24一16√2)π C四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD公共部分的体积为号 D.几何体BCQPAD的五个面所在平面将空间分成21个部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知某圆台的母线长为13，上、下底面圆的直径分别为2,12，则该圆台的高为▲ 13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则异面直线CE与B,D1所成角的 余弦值为△ 14.定义：多面体顶点的曲率等于2π与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）. 例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π一3× 登=受在三棱维SABC中，SAL底面ABC,AB=2,AC=3,SA=6,∠BSC=若，则三棱 锥S-ABC在顶点S处的曲率为 【高一数学O第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 如图，正方形ABCD是圆柱的一个轴截面，E是下底面圆周上异于A,B的点 (1)证明：AE⊥CE. (2)若该圆柱的表面积为24π，以正方形ABCD为一个底面作正四棱台ABCD-A1B1C1D1, 该正四棱台的高为3，且A,B1=2,求该正四棱台的体积. E 16.(15分) 已知向量a=(3,x+1),b=(y,2y一x). (1)当y=1时，证明：3x∈R,|a|=|b|. (2)当x=一2时，证明：a·b为定值 5 (3)当x=1时，若a与b的夹角为锐角，求y的取值范围. 17.(15分) 在△ABC中，AB⊥AC,AB=2,sin∠ABC:sin∠ACB=5:2,AD平分∠BAC,且AD交 BC于点D. (1)求AD的长； (2)若E为AC边上-点，且AE=号EC,求△ADE的周长. 【高一数学⊙第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2,PA=√3，且PB= PC=√7 (1)证明：PA⊥平面ABCD (2)求PA与平面PCD所成角的大小 (3)设球O为三棱锥P-ACD的外接球，M为球O球面上的动点，求线段BM的长度的最 大值. 弥 19.(17分) 在正三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=AA1=2,点D在线段AC1上，且AD=2DC1,E是棱 AA1的中点. (1)证明：CE平面A1BD. (2)证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1, (3)设二面角A-A1D-B的大小为0，证明：年<0<餐 C D C 线 【高一数学O第4页（共4页）】