河北唐山第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025-2026唐山第一中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1．复数满足，是的共轭复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【解析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】由题意， ． 故选：D． 2．已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量模的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 3．已知向量 ，若 ，则 （    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律、数量积的坐标表示列式求解. 【详解】向量 ，由，得， 所以. 故选：C 4．已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（     ） A．. B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解即得. 【详解】依题意，若，则，而， 因此，则点的坐标是； 若，则，则点的坐标是， 所以点的坐标是或. 故选：C 5．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】设为向量，的夹角，因为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 6．在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理化简可得,再根据可得 . 【详解】由与正弦定理有, 即,故, 因为,故,故. 又,故.又, 故,故.故一定是等腰直角三角形. 故选：C 7．如图，某胖鱼一中建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出所求结果. 【详解】在中，，，. 在中，，，. 由正弦定理，得，得. 在中，， 故此无人机距离地面的高度为， 故选：B. 【点睛】本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．记的内角的对边分别为，已知的面积为为边的中点，且，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据条件，利用向量的中线公式和三角形面积公式得，进而得，再联立，即可求解. 【详解】因为为边中点，则， 所以， 又，，则， 又，则，所以①， 又②，由①②解得或， 又，则，所以， 由，解得 故选：B. 二、多选题 9．已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（    ） A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为 C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：复数满足，整理得． 对于A：由于，故，故A错误； 对于B：由于，故，故B错误； 对于C：复数的虚部为，故C错误； 对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确； 故选：ABC． 10．下列命题中，正确的是(    ) A．若与平行，则 B．若，则 C．若不平行的两个非零向量、，满足，则 D．若平面内有四点，则必有 【答案】BD 【分析】A：根据向量垂直，数量积为零即可判断；B：根据向量数乘的性质即可判断；C：根据向量平行概念和数量积概念即可判断；D：根据向量运算律即可判断． 【详解】对于A，若与平行，则，故A错误；； 对于B，没有消去率，错误； 对于C，若不平行的两个非零向量、，满足，则，故C正确． 对于D，若，正确 故选：BD． 11．设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点D是边BC的中点 B．若，则直线AD经过的内心 C．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 D．在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是 【答案】ABD 【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据垂心的性质及数量积公式即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解. 【详解】对A，，即， 即，即点是边的中点，故A正确； 对B，设的中点为， ， 即，故AD过的垂心，故B错误； 对C，， 即， 即， 即点在边的延长线上，故C错误； 设是的中点，， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过△的外心.选项C正确. 对于D，连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点， 连接分别交，与点，连接如下图所示：    则,, 此时的周长取得最小值，其最小值为的长度； 因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以； 根据对称性可知， 在中，由余弦定理可得， 所以. 即周长的最小值是. 故选：ACD. 三、填空题 12．设为单位向量，且，则________． 【答案】 【分析】由题知，进而得即可得答案. 【详解】因为为单位向量，且， 所以， 所以， 所以，即 故答案为： 13．已知的内角的对边分别为，已知，则的最大内角为_________. 【答案】 【解析】,可知最大，余弦定理可知 14．在中，为三等分点（靠近点），,若，且，则_________. 【答案】 【详解】设，令在轴上，，，，，根据解得， 四、解答题 15．已知点是线段AB的中点． (1)求点和的坐标； (2)若满足，且满足与同向，求点的坐标． (3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）是线段AB的中点，记为坐标原点， ，； （2）设，满足，且满足与同向，解得 （3）点A，B，D能构成三角形，则三点不共线， 所以与不共线， 又，，所以， 解得. 16．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【详解】（1），， ，， 在中，由余弦定理得： ，； （2）在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 17．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证； （3）根据向量的线性运算表示，即可根据向量共线列式计算求解； （4）根据向量的线性运算表示，即可根据向量相等计算求解. 【详解】（1）由题意得， ，，， ； （2）证明：， 与平行，又与有公共点C， C，D，E三点共线； （3）， ． 与共线， 存在实数，使得， 即， 即． ，不共线，．解得； 18．如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300km的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． （1）若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ （2）快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 【详解】（1）如图所示,设快艇以的速度沿行驶,后与汽车在E处相遇. 在中,,,,. 由余弦定理,得, 解得或（舍去）, ∵当时,,,,∴快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需要4h. （2）如图所示,设快艇以的速度从B处出发,沿方向行驶,后与汽车在C处相遇. 在中,,,,为边上的高,. 设,则,. 由余弦定理,得, 即, 整理得 . 当,即时,,∴. 即快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,重点分析时间相同时构成的三角形的各边的关系,再根据正余弦定理以及二次函数的范围与最值方法求解.属于中等题型. 19．在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山第一中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1．复数满足，是的共轭复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量 ，若 ，则 （    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（     ） A．. B． C．或 D．或 5．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．如图，某胖鱼一中建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 8．记的内角的对边分别为，已知的面积为为边的中点，且，则（    ） A． B．3 C． D．4 二、多选题 9．已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（    ） A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为 C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 10．下列命题中，正确的是(    ) A．若与平行，则 B．若，则 C．若不平行的两个非零向量、，满足，则 D．若平面内有四点，则必有 11．设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点D是边BC的中点 B．若，则直线AD经过的内心 C．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 D．在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是 三、填空题 12．设为单位向量，且，则________． 13．已知的内角的对边分别为，已知，则的最大内角为_________. 14．在中，为三等分点（靠近点），,若，且，则_________. 四、解答题 15．已知点是线段AB的中点． (1)求点和的坐标； (2)若满足，且满足与同向，求点的坐标． (3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 16．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 17．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） 18．如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300km的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． （1）若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ （2）快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 19．在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $