第11讲 2.2一元二次方程的解法（第4课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第11讲　2.2　一元二次方程的解法（第4课时） 【学习目标】 1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解公式法的基本原理。 1. 掌握一元二次方程 （）的求根公式：。 1. 理解判别式 的意义，能根据判别式判断一元二次方程根的情况。 1. 会用公式法解一元二次方程。 【知识梳理】 一、求根公式的推导 用配方法解一般形式的一元二次方程 （）： 两边同除以 ，得 ， 移项，得 ， 配方，两边同加 ，得 ， 变形，得 。 当 时，开平方得 ， 解得 。 求根公式：（，） 二、根的判别式 在求根公式中， 叫做一元二次方程 （）的根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即 。 的符号 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 三、用公式法解一元二次方程的步骤 1. 将方程化为一般形式 （）； 1. 确定 、、 的值（注意符号）； 1. 计算判别式 的值； 1. 若 ，则方程无实数根；若 ，代入求根公式； 1. 写出方程的解。 做一做（即时练习）： 1. 一元二次方程 （）的求根公式为______。 1. 方程 中，，，，。 1. 若一元二次方程的判别式 ，则方程有______个______的实数根。 1. 用公式法解方程 时，，，，。 1. 方程 的判别式 ，因此方程______实数根。 1. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 。 【典例精讲】 【例1】（用公式法解二次项系数为1的方程） 用公式法解方程： 【分析】 先确定 ，，，计算判别式，再代入求根公式。 【解答】 ，，， ， 代入求根公式，得 。 ∴ ，。 【例2】（用公式法解二次项系数不为1的方程） 用公式法解方程： 【分析】 先确定 ，，，计算判别式，再代入求根公式。 【解答】 ，，， ， 代入求根公式，得 。 ∴ ，。 【例3】（判别式的应用——判断根的情况） 不解方程，判断下列方程根的情况。 （1）　　（2） 【分析】 计算判别式 ，根据 的符号判断根的情况。 【解答】 （1），，，， 。 ∴ 方程没有实数根。 （2），，，， 。 ∴ 方程有两个相等的实数根。 【例4】（判别式的应用——求参数范围） 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 【分析】 方程有两个不相等的实数根 。 【解答】 ，，， 。 方程有两个不相等的实数根， ，即 ，解得 。 答： 的取值范围为 。 【跟踪练习1】 1. 用公式法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）　　（2） 【举一反三】 1. 一元二次方程 中，，，，。 1. 用公式法解方程 时，，方程的解为______。 1. 方程 的判别式 ，根的情况是______。 1. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 。 1. 关于 的方程 没有实数根，则 的取值范围为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 用公式法解方程 时，。 1. 一元二次方程 （）中，若 、 异号，则方程根的情况是（　　） · A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根 · C. 没有实数根　　D. 无法确定 1. 若方程 的一个根为 ，求另一个根和 的值。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 一元二次方程 （）的求根公式为______。 1. 方程 中，，，，。 1. 若 ，则一元二次方程有______个______的实数根。 1. 方程 的判别式 ，方程______实数根。 1. 用公式法解方程 时，，，。 1. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 。 1. 方程 的判别式 ，根的情况是______。 1. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是______。 二、选择题。 1. 一元二次方程 的判别式的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 下列方程中，没有实数根的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 用公式法解方程 时， 的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 用公式法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 1. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值。 1. 已知关于 的方程 有两个实数根，求 的取值范围。 ◆ C组·思维拓展 17. 已知关于 的方程 有两个实数根，求 的取值范围。 18. 已知关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 19. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值。 20. 阅读下面的材料，回答问题。 我们知道，一元二次方程 （）的判别式 。 当 时，方程有实数根；当 时，方程无实数根。 进一步地，若方程 （）有实数根，我们可以利用判别式 的符号判断两根之间的大小关系： 例如：方程 中，，两根相等； 方程 中，，两根不相等。 阅读后请回答： （1）方程 的判别式 ，两根的关系是______； （2）方程 的判别式 ，两根的关系是______； （3）若方程 的两根不相等，求 的取值范围。 21. 观察下列一元二次方程及其判别式： 方程①：，，根的情况：两个相等的实数根； 方程②：，，根的情况：两个不相等的实数根； 方程③：，，根的情况：没有实数根； （1）仿照上述规律，写出一个 的一元二次方程：______； （2）若方程 的 ，求 的值和方程的解； （3）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案： 1. 答案：；；； 1. 答案：两个；相等 1. 答案：；；； 1. 答案：；没有 1. 答案： 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案：（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根 举一反三 1. 答案：；；； 1. 答案：； 1. 答案：；没有实数根 1. 答案： 1. 答案：A 解析：，。 1. 答案：（即 ，） 1. 答案：A 解析：、 异号，则 与 的符号关系无法确定，但 一定成立，因为 ，（），故 。 1. 答案：另一个根为 ， 解析：由韦达定理，两根之和为 ，另一根为 ；两根之积为 。 A组·基础过关 1. 答案： 1. 答案：；；； 1. 答案：两个；相等 1. 答案：；没有 1. 答案：；； 1. 答案： 1. 答案：；有两个不相等的实数根 1. 答案： 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案：A 1. 答案：B B组·能力提升 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案： 解析：，。 1. 答案： 解析：，。 1. 答案： 或 解析：，， 或 。 C组·思维拓展 1. 答案： 解析：，解得 。 1. 答案： 解析：当 时，方程为 ，有实数根， 符合；当 时，，。综上，。 1. 答案： 或 解析：，即 ，，解得 或 。 20.（阅读理解） （1）答案：；两个相等的实数根 解析：，，，，，两根相等。 （2）答案：；两个不相等的实数根 解析：，，，，，两根不相等。 （3）答案： 为任意实数 解析：，，，，。 恒成立， 无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根。故 的取值范围为任意实数。 21.（规律探究） （1）答案：（答案不唯一，满足 即可） 解析：只需写出一个判别式为 的方程即可。如 ，。 （2）答案：， 解析：，解得 。方程为 ，，。 （3）答案： 解析：，解得 。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（6题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（2题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（12题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（5题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $