第七讲 用一元二次方程解决问题（暑假预习培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+十一大题型讲练+难度分层练 共42题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第七讲 用一元二次方程解决问题「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+十一大考点讲练+难度分层练 共42题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 考点一 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 考点二 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（24-25九年级上·云南迪庆·期末）目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率． 【答案】该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为 【分析】设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 设平均增长率为x，根据年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设平均增长率为x， 根据题意得：， 考点三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】道路的宽度为 【分析】设道路的宽度为，然后根据要使草坪的面积是地面面积的二分之一，列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为，则 ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， 答：道路的宽度为． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 考点四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，需根据题意列出一元二次方程，结合非零实数的限定条件求解方程． 【详解】解：设这个非零实数为．根据题意列方程： 移项，得 因式分解，得 则或 解得， 由于该数为非零实数，故舍去 ∴ 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，可通过设未知数，根据题目描述的运算关系列出一元二次方程，再利用因式分解法求解方程得到答案． 【详解】解：设这个数为 ∵根据题意，该数的平方减去该数加1的结果等于这个数， ∴列方程得：， 移项整理得：， 因式分解得：， 解得：， ∴符合条件的数是1， 故选：A． 考点五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）近年来“中国花卉博览园”每年的月都为八方来客奉上一场具有时代气息的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，菊花节期间平均每天可以售出20盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价4元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． (1)降价后每盆的利润是________元；每天卖出_______盆；（用含的代数式表示） (2)菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)每盆应降价10元 【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可； （2）根据“每盆的利润销售量总盈利”列出方程并求解，选择更实惠的降价即可． 【详解】（1）解：降价后每盆的利润是（元）；每天卖出（盆）； （2）解：由题意列方程得：， 解得：，， ， 为让市民得到实惠，x应取10． 答：菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，每盆应降价10元． 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期末）喜迎元旦期间某商场开展热卖活动，已知某种商品每件进价为元；若以每件元出售，可售出件．解答下列问题： (1)售出该商品能否获得元利润？若能，求出相应的售价；若不能，说明理由． (2)售出该商品能否获得元利润？若能，求出相应的售价；若不能，说明理由． 【答案】(1)能，相应的售价为元或元； (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据总利润公式列出方程，整理为标准一元二次方程形式后，因式分解求解，再验证解是否满足售价大于进价、销售量为正的实际条件； （2）同样列出方程，计算判别式，若判别式小于0，则方程无实数根，说明不存在满足条件的售价，无法获得对应利润． 【详解】（1）解：根据总利润公式，列方程得：， 展开并整理得：， 因式分解得：， 解得，． 当时，每件利润为元，销售量为件，均符合实际； 当时，每件利润为元，销售量为件，均符合实际． 答：能获得元利润，相应的售价为元或元． （2）解：根据总利润公式，列方程得：， 展开并整理得方程的一般式：， ， 该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的售价． 答：不能获得元利润． 考点六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 【变式训练】（25-26九年级上·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 考点七 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 考点八 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元测试）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 【变式训练】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 考点九 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南郑州·期中）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 【变式训练】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确 【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论； （2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确． 【详解】（1）证明：设中间的数为， ∴ ． （2）解：设这五个数中最大数为， 由题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大的数是29． （3）他的说法不正确． 解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14）， 依题意，得：y（y−14）＝120， 解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）． ∵20在第一列， ∴不符合题意， ∴小明的说法不正确． 考点十 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期末）如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． A．1 B． C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到数量关系是解题的关键．根据题意列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 解得， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为________． 【答案】22 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每行座位数为，则总行数为，利用总座位数每行座位数总行数，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每行座位数为，则总行数为， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：22． 考点十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【答案】7 【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建立方程求解，核心是避免航线的重复计算． 【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有个， 根据题意列方程：， 解得：，， 因为飞机场的数量为正整数，所以不符合实际意义，舍去． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程． 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场次为(场)， 设邀请个队参赛，每个队要与其余个队各赛1场， 又∵每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为， ∴可列方程为． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程， 根据题意得：． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和列代数式，需根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润单件利润销量可列出对应的方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意． B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意． C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件， ∴涨元时，少售出件， ∵原销量为300件， ∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意． D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）某品牌新能源汽车的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为______． 【答案】 【分析】本题是一元二次方程的实际应用中的平均增长率问题，根据增长后总量的关系，结合已知3月份的销售量列方程即可． 【详解】解：∵1月份销售量为10万辆，月平均增长率为x， ∴2月份销售量为万辆，3月份销售量为万辆， 又∵3月份销售量为12.1万辆， ∴列方程得． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某水果店经销一种水果，进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出千克；当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克．若要使每天的利润为元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为元，列出一元二次方程， 【详解】解：设每千克这种水果应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽快减少库存， ， ∴每千克这种水果应降价8元． 故答案为：8 6．（23-24九年级上·四川资阳·期末）某同学在九月学情分析中数学成绩为分，在十一月学情分析中数学成绩上升到了分，若十月、十一月这两个月数学成绩增长的百分率相同，则这个百分率为_________． 【答案】 【分析】本题属于增长率问题，可设增长的百分率为，根据“初始成绩×(增长率)最终成绩”列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解即可． 【详解】解：设这个百分率为， 根据题意可列方程：， 两边同时除以得：， 开平方得：， ∵增长率为正数， ∴， 解得：， 而时，，不符合实际增长的意义，舍去． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）某园林设计师规划一个矩形花坛，并在长边上确定景观树的位置（记作点），要求将矩形花坛的长边分成两段，且满足．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是______．（用含t的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，比较实数的大小．先根据线段比例关系和已知等式建立关于k的一元二次方程，求出正数k的值，再比较与的大小确定较小矩形的长，最后结合矩形面积公式计算面积； 【详解】解：∵， ∴由得，则， ∵， ∴， ∵，两边同时除以得， ，即， 解得， ∵k是线段长度的比值， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形花坛的宽为， ∴较小矩形的面积为，代入得： ． 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·江西吉安·期末）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 9．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款冰箱贴的售价为25元 (2)每个A款冰箱贴应降价10元 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； （2）解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． 10．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）“雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次． (1)求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率； (2)南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】(1)年平均增长率为． (2)当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次，列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：年平均增长率为． （2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， ∴， ∴， ∵让顾客获得最大优惠， ∴， 答：当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 2．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【答案】D 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：A.∵ 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患病人数为， 故A正确，不符合题意； B.∵ 第一轮后有人，每人传染人， ∴ 第二轮新增加 人， 故B正确，不符合题意； C.∵ 两轮后总患病人数为，且给定为 49， ∴ 列方程 ， 故C正确，不符合题意； D.解方程 ， 解得（舍去负值）， ∴ ， 三轮后总人数应为 ， 但D说245人，故错误，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）已知矩形的边长分别为3、2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形较大的边长是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设新矩形的长为，则新矩形的宽为，根据新矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结果． 【详解】解：已知矩形周长为，面积为， 新矩形周长为，面积为， 设新矩形长为，则宽为， 根据面积公式可得方程， 化简得， 解得或， 取较大值，即为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点沿着运动到点时停止，点沿着运动到点时停止．设运动时间为． （1）当点在上运动时，若时，则的值为__________． （2）如图2、图3，点沿着运动到点的过程中，当的面积为时，则的值为__________． 【答案】 1 7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）分别用含t的式子表示出线段的长，再利用三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）当点P在线段上运动时，则，点P到的距离等于的长，根据三角形面积计算公式可得方程，解方程即可；当点P在线段上运动时，，，根据三角形面积计算公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：（1）当点在上运动时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在上运动， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）如图2所示，当点P在线段上运动时，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点P到的距离等于的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴时，点P不在线段上，故此种情况不符合题意； 如图3所示，当点P在线段上运动时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可得， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：7． 6．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）2025年5月17日－22日，第34届“哈洽会”在哈尔滨成功举办，有若干家公司参加了其中一个分会场，且每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此“哈洽会”分会场的公司有_________家． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． 先设参加公司的数量为未知数，根据每两家公司签订一份合同的条件列出方程，求解方程后得出公司数量． 【详解】解：设参加此“哈洽会”分会场的公司有家， 依题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即参加此“哈洽会”分会场的公司有家． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）形如的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取．则该方程的一个正实数根等于线段___的长．   【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理与解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解，再根据勾股定理求出，由，可得的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴移项，得． 用求根公式求得， ∵在中，， ∴由勾股定理可得， ∴， ∴的长就是该方程的一个正实数根． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知点B的横坐标为2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点M是x轴上的动点，且，求点M的坐标； (3)如图2，将直线水平向左平移4个单位，与x轴交于点D，与反比例函数在第二象限的图象交于点E，点D为点B的对应点，点P为反比例函数在第二象限的图象上的一点．若，请直接写出所有符合条件的点P的坐标并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用、等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）先求出，再利用待定系数法可得一次函数的解析式，然后求出点的坐标，利用待定系数法即可得反比例函数的解析式； （2）设点的坐标为，则，，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （3）先求出，直线的解析式为，，再分两种情况：①当点在直线上方的反比例函数图象时，连接，并延长交直线于点，求出轴，则可得点的横坐标为，代入反比例函数的解析式即可得；②当点在直线下方的反比例函数图象时，设直线与轴交于点，连接，并延长交轴于点，先求出，在中，利用勾股定理可得的长，则可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，再与反比例函数的解析式联立求解即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴上，且横坐标为2， ∴， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 将点代入得：， ∴， 将点代入得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由题意，设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． （3）解：∵直线的解析式为，将直线水平向左平移4个单位得到直线， ∴，直线的解析式为，即为， ∵将直线水平向左平移4个单位得到直线，点为点的对应点， ∴，即， ①如图，当点在直线上方的反比例函数图象时， 连接，并延长交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴此时点的横坐标与点的横坐标相同，即为， 将代入反比例函数得：， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在直线下方的反比例函数图象时， 设直线与轴交于点，连接，并延长交轴于点， 将代入一次函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不符合题意，舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． (1)【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； (2)【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)，，见解析 (3) 【分析】（1）根据证明，得出，，延长交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （2）根据证明，得出，，设直线交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （3）过作交的延长线于点，连接，过作，根据三角形中位线定理得出，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）解：线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下， 线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， 四边形为正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， 如图，设直线交于点，交于点， ，， ， ； （3）解：如图，过作交的延长线于点，连接，则， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 过作，则， 是中点， ， 是中点， 是的中位线， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ∴． 10．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）1．综合与实践 【初步探索】 如图1，在中，，，点在边（端点除外）上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到对应线段，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，交于点．在上截取，连接． ①请补全图形； ②若，，求的长． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，，，点在边上，点为线段的中点，过点作，连接，使． ①判断的形状，并说明理由； ②若，，直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；②8；（3）①等边三角形，理由见解析；② 【分析】（1）由直角三角形性质得、，旋转性质得、，推出；结合，用证，进而即可得证； （2）①在上截取，连接，使H在上，完成图形补充即可；②由（1）全等得，推，进而，得为等边三角形；证，得，进而即可求解； （3）①延长至，使，连接，，构造平行四边形（得）和等边；用SAS证，得，且，故为等边三角形；②过作的延长线于，过作于，由得，利用、角性质表示边长；设，结合平行四边形、等边三角形边关系，用勾股定理列方程求解，最终即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，． 将线段绕点顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； （2）①补充图形如下， ②证明：， ，， 将线段绕点顺时针旋转， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （3）①解：是等边三角形；理由如下， 延长至，使，连接，，如下图， ，，， ， ， 是等边三角形， ∴， 又，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， 是等边三角形； ②解：在中，，， ∴． ∵， ∴， 由①得，，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设， 过作的延长线于，过作于，如下图， ∵， ∴是含的直角三角形 ∴，， ∵， ∴ ， 在中， ， ∵是等边三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，勾股定理： ， 将②代入①得， ， 解得或（舍去）， 将代入③得，， ∴， ∴． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第七讲 用一元二次方程解决问题「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+十一大考点讲练+难度分层练 共42题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 考点一 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 考点二 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（24-25九年级上·云南迪庆·期末）目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 【变式训练】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 考点四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 考点五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）近年来“中国花卉博览园”每年的月都为八方来客奉上一场具有时代气息的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，菊花节期间平均每天可以售出20盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价4元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． (1)降价后每盆的利润是________元；每天卖出_______盆；（用含的代数式表示） (2)菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期末）喜迎元旦期间某商场开展热卖活动，已知某种商品每件进价为元；若以每件元出售，可售出件．解答下列问题： (1)售出该商品能否获得元利润？若能，求出相应的售价；若不能，说明理由． (2)售出该商品能否获得元利润？若能，求出相应的售价；若不能，说明理由． 考点六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【变式训练】（25-26九年级上·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 考点七 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 考点八 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元测试）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【变式训练】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 考点九 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南郑州·期中）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【变式训练】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 考点十 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期末）如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． A．1 B． C．1或 D． 【变式训练】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为________． 考点十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）某品牌新能源汽车的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为______． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某水果店经销一种水果，进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出千克；当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克．若要使每天的利润为元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 6．（23-24九年级上·四川资阳·期末）某同学在九月学情分析中数学成绩为分，在十一月学情分析中数学成绩上升到了分，若十月、十一月这两个月数学成绩增长的百分率相同，则这个百分率为_________． 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）某园林设计师规划一个矩形花坛，并在长边上确定景观树的位置（记作点），要求将矩形花坛的长边分成两段，且满足．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是______．（用含t的代数式表示） 8．（25-26九年级上·江西吉安·期末）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 9．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 10．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）“雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次． (1)求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率； (2)南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 4．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）已知矩形的边长分别为3、2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形较大的边长是_____． 5．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点沿着运动到点时停止，点沿着运动到点时停止．设运动时间为． （1）当点在上运动时，若时，则的值为__________． （2）如图2、图3，点沿着运动到点的过程中，当的面积为时，则的值为__________． 6．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）2025年5月17日－22日，第34届“哈洽会”在哈尔滨成功举办，有若干家公司参加了其中一个分会场，且每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此“哈洽会”分会场的公司有_________家． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）形如的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取．则该方程的一个正实数根等于线段___的长．   8．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知点B的横坐标为2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点M是x轴上的动点，且，求点M的坐标； (3)如图2，将直线水平向左平移4个单位，与x轴交于点D，与反比例函数在第二象限的图象交于点E，点D为点B的对应点，点P为反比例函数在第二象限的图象上的一点．若，请直接写出所有符合条件的点P的坐标并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． (1)【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； (2)【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 10．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）1．综合与实践 【初步探索】 如图1，在中，，，点在边（端点除外）上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到对应线段，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，交于点．在上截取，连接． ①请补全图形； ②若，，求的长． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，，，点在边上，点为线段的中点，过点作，连接，使． ①判断的形状，并说明理由； ②若，，直接写出的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $