第五讲 一元二次方程的概念（暑假预习培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+七大题型讲练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第五讲 一元二次方程的概念「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 共41题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点三 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 考点一 一元二次方程的定义 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 【变式训练1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程需满足的三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2，逐一判断选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2． ∵选项A：同时满足上述三个条件， ∴选项A是一元二次方程，符合要求． ∵选项B：中未知数的最高次数为1， ∴选项B是一元一次方程，不符合要求． ∵选项C：中含有和两个未知数， ∴选项C不符合一元二次方程的定义，不符合要求． ∵选项D：分母含有未知数，不是整式方程，， ∴选项D不符合要求． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东中山·期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念是解题的关键． 根据倒方程的定义，方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； 【详解】解：由题知，原方程中，，，，其倒方程为，即， 将代入倒方程：， 解得 验证，，符合条件 故答案为：． 考点二 化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）把一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式 （），需通过移项使等式右边为0． 【详解】解：化成一般形式为：， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式中各系数的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其中为一次项的系数 ∴一元二次方程的一次项是，即一次项系数． 故选B． 考点三 判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 考点四 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·山西运城·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次项系数不能为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程 是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 故答案为． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）方程为一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为，由此确定的值 【详解】解：方程为一元二次方程，则未知数的最高次数必须为，且二次项的系数，满足条件， 故． 故答案为 【变式训练2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的项与系数的定义，需明确一元二次方程一般形式中一次项系数的概念进行求解． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），其中是一次项，为一次项系数， 又一元二次方程的一次项是， 该方程的一次项系数是． 故选：A． 考点五 判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式训练2】（2025九年级上·全国·专题练习）写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，根据一元二次方程二次项系数为1和有一根为2的条件，通过设另一根为1，利用因式分解构造方程即可． 【详解】解：由于二次项系数为1，且有一根为，可设另一根为， 则方程为，展开得， 取，得， 故答案为：（答案不唯一）． 考点六 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根1代入原方程，构造关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 整理得 ， 解得 ． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得 解得． 【变式训练2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 考点七 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解的确定，熟练掌握“通过函数值的变化趋势确定方程解的区间”是解题的关键． 通过对比表格中的取值与1.1的大小关系，确定方程解的区间． 【详解】解：∵当时，， ∵当时，， ∵随的增大而增大， ∴方程的一个解在与之间，即， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 【变式训练2】（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体思想的运用． 将 代入方程，求出 的值，再整体代入所求表达式计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． ． 故选： B． 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·重庆大足·期末）已知是方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，由已知条件是方程的根，可得 ，将所求表达式通分并化简，利用 代入计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 由是方程的根， 可得，得， 所以原式， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若关于x的一元二次方程有一根为2，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由于一元二次方程缺少一次项，根据根与系数的关系，两根之和为零，已知一根为2，故另一根为． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得， ∴， 即另一根为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若是方程的根，则代数式 __________________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于m的方程，把看成整体，利用整体思想解题是关键.利用方程根的定义，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴代数式． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值．根据是一元二次方程的一个根，可得，进而求的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 12 【分析】根据一元二次方程的根的定义得到，把原式变形后利用整体代入的方法计算即可． 本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的根的定义和整体思想，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ． 9．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵m为方程的解， ， ， 原式． 10．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 根据分式的性质、完全平方公式和平方差公式，将式子化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解． 【详解】解： ， 是方程的解， ， 即， 原式． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解． 【详解】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴的最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 故选B． 4．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）若方程的根也是方程的根，则_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系． 设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 5．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____． 【答案】0 【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案． 【详解】解：设这个相同的实数根为t， 把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得： a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0 相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0， （a+b+c）（t2+t+1）＝0， ∵t2+t+1＝（t）20， ∴a+b+c＝0， 故答案是：0． 6．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______． 【答案】 ； ； 【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， 故答案是：，； 7．已知是方程的一个根，则____． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【详解】∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． (1)将函数拆分成整式与真分式的和的形式； (2)若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； (3)若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)的值为、、 (3)的最小值为5 【分析】本题考查了分式的混合运算、一元二次方程和完全平方公式的运用，理解题意是解决本题的关键． （1）按照题意进行拆分即可； （2）联立两个函数解析式并进行分类讨论求解即可； （3）将点代入可得，，将两者进行相加进行化简并结合完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：根据题意得， ， 当时， 解得， 则仅有一个交点，符合条件； 当时， 方程为一元二次方程，在中，， ， 令，此时仅有一个交点， ∴， 解得， 综上所述，的值为、、； （3）解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 9．已知方程． （1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？ 【答案】（1）  （2）或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题． 【详解】解：（1）方程为一元二次方程， ， 解得：， 所以当为或时，方程方程为一元二次方程； （2）方程为一元一次方程， 或或m=0 解得，或，m=0 ， 故当为2或或0时，方程方程为一元一次方程． 10．若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值. 【答案】0 【详解】试题分析：根据二次根式有意义的条件，可求出 的值，进而求出 的值，再将 与 的值代入一元二次方程，可求出 的值，最后将 的值代入代数式即可. 试题解析：根据二次根式有意义的条件，可得 ，解得 ，那么 .将代入方程可得 ，所以 ，则将 的值代入可得. 故本题的正确答案为0. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第五讲 一元二次方程的概念「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 共41题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点三 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 考点一 一元二次方程的定义 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东中山·期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 考点二 化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）把一元二次方程化成一般形式为______． 【变式训练2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（   ） A．5 B． C．1 D． 考点三 判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 考点四 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·山西运城·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）方程为一元二次方程，则的值为_____． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 考点五 判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】（2025九年级上·全国·专题练习）写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 考点六 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值是______． 【变式训练2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 考点七 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 3．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆大足·期末）已知是方程的一个根，则的值是_____． 5．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若关于x的一元二次方程有一根为2，则另一个根为______． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若是方程的根，则代数式 __________________ 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么的值是______． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知是方程的一个根，求代数式的值． 9．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 10．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）若方程的根也是方程的根，则_______________． 5．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____． 6．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______． 7．已知是方程的一个根，则____． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． (1)将函数拆分成整式与真分式的和的形式； (2)若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； (3)若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 9．已知方程． （1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？ 10．若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $