（预习篇）第二讲 反比例函数的图形和性质（暑假预习培优讲义）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第二讲 反比例函数的图形和性质「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第1章 反比例函数）】 （思维导图+新知学习+十六大考点讲练+难度分层练 共52题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 双曲线 1.定义：反比例函数的图像是由两条曲线组成，我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称. 2.用描点法画双曲线 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，向两边分别取三队（或三对以上）互为相反数的数. （2）描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称的性质去找. （3）连线：按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意两个分支是断开的. 特别提醒： 1.画反比例函数图像应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点. 2.随着lxl的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 （k≠0）中x≠0且y≠0 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数y=（k≠0）中比例k的几何意义 1.矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N所得矩形PMON的面积S=PM·PN=lyl·lxl=lxyl，又因为y=，所以xy=k，所以S=lkl. 2.三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF的垂直y轴于点F，链接EO，则=OF·FE=lyl·lxl=lxyl=. 知识点四 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点. 知识点五 正比例函数与反比例函数图象的交点特征 当反比例函数y=x（≠0）中的与反比例函数y=（≠0）中的的符号相同时，两函数图象必有两个交点，并且这两个交点关于原点对称.当与的符号不同时，两函数图像没有交点. 知识点六 待定系数法求反比例函数解析式一般步骤 （1）设反比例解析式为y=（k为常数，k≠0）； （2）把已知的一对x、y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值带回所设的函数解析式. 考点一 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）试用描点作图法画出百米赛跑中，某运动员的平均速度v（）是他的成绩t（s）（跑完全程的时间）函数的图象 【答案】函数图象为： 【分析】先求出函数关系式为，再列表、描点、连线即可． 【详解】解：由题意得，， 则列表为： …… 2.5 5 10 12.5 20 25 40 …… …… 40 20 10 8 5 4 2.5 …… 函数图象略 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴点在它的图象上，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，该选项说法正确，不符合题意； 、反比例函数的图象关于直线对称，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 考点二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 【变式训练】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 考点三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，其交点也关于原点对称这一特性，或通过联立函数解析式求解交点坐标． 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称；已知点则其关于原点对称的点A的坐标为． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点A、B也关于原点对称． ∵关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，且点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题关键．由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：点和点均在反比例函数的图象上 由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上， ， 反比例函数图象在二、四象限，且随的增大而增大， ， ， ， 故答案为：． 考点四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出的取值范围后，即可选出符合要求的选项． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得，选项中只有，符合的要求， 故k的取值可以是A项． 【变式训练】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 考点五 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可判断反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标可判断三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，随的增大而增大． 考点六 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【答案】B 【详解】解：∵对于反比例函数 ， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 考点七 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·海南·期中）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先判断出函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，然后结合求解． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第一象限，，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的横坐标代入反比例函数得到对应函数值，再根据已知的函数值大小关系列不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 解得． 考点八 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知点 ，在反比例函数的图象上，若 ，则 、的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再根据判断两点所在象限，得到与的取值范围，即可比较大小． 【详解】解：对于反比例函数， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 点在第二象限，点在第四象限， ，， ． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数， 当时，，当时，，当时，， ， ． 考点九 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 考点十 求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)4，3 (2) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴把，代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得； （2）解：由（1）得点，， 把，和，代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若反比例函数 的图象经过点， 则下列说法正确的是（     ） A．图象在一、三象限 B．y随x增大而增大 C．点在图象上 D． 【答案】C 【分析】先根据已知点求出k的值，再结合性质逐一判断选项即可； 【详解】解；∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ ，故D选项错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象分布在第二，四象限，故A选项错误； ∵ 时，只有在每个象限内，随的增大而增大，不能直接说随增大而增大，故B选项错误； ∵ 对于点，有 ，满足函数解析式， ∴ 点在该函数图象上，C选项正确. 考点十一 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式； (2)在x轴上有一点P，连接，，当的面积为18时，求点P的横坐标． 【答案】(1)1，， (2)3或 【分析】（1）分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于C，则，根据可得，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得，解得， 将，代入， 得，解得， 将，代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设一次函数与x轴交于点C， 当时，得，解得， ∴点C的坐标为， ∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3， ∴， ∴，解得， ∵，， ∴点P的横坐标为3或． 【变式训练】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 【答案】12 【分析】分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点，证明，得到，进而得到点的坐标为，再求出，即可得出结果． 【详解】解：分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点， 则，轴，轴， ∵ ， ∴，点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即， ∵轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 考点十二 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，且．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．9 C．18 D． 【答案】D 【分析】连接交于，证明，，进一步可得，再解方程进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵正方形的顶点在轴的负半轴上，且． ∴，， ∴， ∴， ∵， 解得：． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为5，则的值为_________． 【答案】 【分析】过点作轴，可得，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象可以求出的值． 【详解】解：如图所示，过点作轴， 轴． ∵四边形为平行四边形， 轴． 又∵轴， ∴四边形为矩形． ∴， ． ∵反比例函数的图象经过第四象限， ， ． 考点十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或． 考点十四 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先将交点的横坐标代入已知一次函数，求出交点的纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数求出的值，即可得到反比例函数的表达式． 【详解】解：把代入中得，则交点坐标为， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数表达式为． 【变式训练】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 考点十五 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接交双曲线另一支于点．已知点的坐标为，分别过作轴于、轴与，连接，过作直线． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点在双曲线上移动，其它条件不变，和的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由． 【答案】(1)直线表达式为，反比例函数的表达式为； (2)不会改变，的面积是，的面积是． 【分析】（）待定系数法求出表达式和反比例函数的表达式即可； （）作轴，垂足为，根据反比例函数的性质可得出，即可； 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设反比例函数为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点， 根据反比例函数的性质得与关于对称，轴与，得，， 设直线表达式为经过， ∴，解得， ∴直线表达式为； （2）不会改变，理由： 作轴，垂足为， ∵， ∴， 根据中心对称性质可得：关于原点对称， ∴根据平行线间的距离相等，， ∵， ∴， ∴的面积是，的面积是． 【变式训练】（2024·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)连接，，求出的面积． 【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数表达式； (2)或； (3)． 【分析】（）把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （）根据函数的图象和的坐标即可得出答案； （）求出一次函数与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，即可求出答案； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式是， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式是； （2）∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点， ∴当时，的取值范围是或； （3）如图，设一次函数的图象与轴交于点， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 考点十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴． ∴．将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， 即， 解得， ∴点的纵坐标为（舍去）或， 将代入得， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的相关知识，难度不大但需注意最后所求k值的符号，此为易错点． 根据反比例函数的性质，将k用、表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出，再根据，即可求出解． 【详解】解：∵轴， ∴，， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，结合点在函数图象上的判断方法，逐一判断各选项即可. 【详解】解：对于函数，， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大； 对A，函数图象位于第二、四象限，不在第一、三象限，A错误； 对B，当时，随的增大而增大，不是减小，B错误； 对C，当时，包含，此时，因此不成立，C错误； 对D，将代入解析式，得， 点在函数图象上； 将代入解析式，得， 点在函数图象上，D正确. 3．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 【答案】或 【分析】先求出点A，点B坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数的解析式，进而求出点C的坐标，根据坐标求出三角形面积，从而求出点P坐标． 【详解】解：因为， 在反比例函数的图象上， 所以，， 解得，， 所以， ， 将， 代入得：， 解得：， 所以一次函数解析式为：， 因为一次函数的图象与 y 轴交于点 C， 所以点C坐标为， ， 因为， 所以， 设点P坐标为， 所以， 解得，， 所以点P坐标为或． 5．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 【答案】6 【详解】先确定直线与坐标轴的交点坐标，则可计算出的面积，于是得到的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义即可得到的值． 【详解】解：把代入， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． 6．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点的纵坐标为，则AB的长度为，三角形的底边为，高等于点横坐标的绝对值，结合面积为3的条件，可列方程求解，得到点的坐标，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵与轴平行，， ∴点横坐标为， 设，在上， 则， 由图可知在上方，， ∴， ∵平行轴，原点到的水平距离为， ∴ 解得， ． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式． (2)直接写出当时，的取值范围． (3)将直线向上平移个单位长度后，所得直线与轴交于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先求得k值得到，进而求得n值得到，再利用待定系数法求得k、b即可； （2）利用图象得到反比例函数图象位于一次函数图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解； （3）先利用坐标与图形性质列方程求得p值，进而得到平移后的函数表达式为，令即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 点的坐标为， 将点，代入，得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：由图象，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 由题意，，又，， ∴， 解得． 将直线向上平移4个单位长度后，得到直线． 令，则， 点的坐标为． 9．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出解析式，即可； （2）求出直线与轴和轴的交点坐标，利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴ ∴； ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：如图所示，设直线与轴、轴的交点分别为，， ∴当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴， 又， ∴ ． 10．（2026·河南·二模）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】第（1）小题根据点平移后坐标为，根据待定系数法代入即可求解； 第（2）小题先做，因为，，再把点纵坐标代入反比例函数解析式即可求得点坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ，． ． （2）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ． ∴， 在中，， ． ，代入得． ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，利用旋转性质证明，得出对应边相等，结合反比例函数坐标特征建立关于的方程求解. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点、在反比例函数图象上，且纵坐标分别为、， ，， ，， ，， 设点坐标为， ， ， 由图可知点在点左侧，点在点右侧， ，， 两式相加得， 解得. 2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴此函数图像在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴， ∴的大小关系为． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知点在矩形的对角线上，，垂足为，，垂足为，点和点都在反比例函数（）的图象上，连接，若四边形与的面积之差为，则____． 【答案】 【分析】设矩形顶点坐标，求出对角线解析式，设出点坐标，依据垂直关系写出坐标，将两点代入反比例函数得到；分别算出直角梯形与的面积，利用二者面积差为列出等式，把替换成，计算得出的值． 【详解】解：设原点，矩形中， 对角线的解析式为， 设点坐标为， ∵、， ∴点坐标为，点坐标为， ∵、都在上， ∴代入得，即， ∵四边形是直角梯形， ∴用坐标法求得面积：， 的面积：， 根据题意，面积差为：， 代入，得，即． 5．（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图所示是反比例函数和（）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，连接、，若，则____． 【答案】 【分析】设直线交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义，分别表示出和的面积，利用建立等式求解即可． 【详解】解：设直线交轴于点 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限 ， 根据反比例函数系数的几何意义可知：， 轴 ． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，的顶点A、B的坐标分别是，，顶点C，D在双曲线上．边交y轴于点E，四边形的面积是面积的6倍，则________． 【答案】 【分析】如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，交于M点，过C点作，垂足为H，证明，根据已知条件可设点C和D的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，再根据四边形的面积是面积的6倍，求出点C或点D坐标． 【详解】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，交于M点，过C点作，垂足为H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 设，， 则， 解得， ∴D的坐标是． 设直线解析式为， 将A、D两点坐标代入得： ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点都在双曲线上，则的值为_____． 【答案】6 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明三角形全等，得出相等的边，假设，根据反比例函数解析数列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，且四边形为平行四边形， ∴， ∴， 假设，则，即， ∵点都在双曲线上， ∴， 解得， ∴， ∴的值为． 8．（25-26八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据求出，，根据是线段的中点可得，，代入求出的值，可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据直线解析式求出，即可求出，设，得出，根据列方程可求出的值，即可得出点坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，分，和三种情况，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：，即，， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， 如图所示： ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵轴，在上， ∴点与原点重合， ∴， ∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 9．（25-26八年级下·四川资阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 (2)求的面积 (3)点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) (3) 【分析】（1）①先把代入求出m确定反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式； ②根据图象求得即可； （2）由直线的解析式求得B点的坐标，求得，然后根据即可求得； （3）取点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，则，此时的周长取得最小值． 待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出点的坐标． 【详解】（1）解：①∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵，在一次函数上， ∴， 解得， ∴一次函数； ②即 由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或； （2）解：当时，， ∴， ． （3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则， ∴的周长，即此时的周长取得最小值． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ， 当时，， 解得， ∴． 10．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点，记的面积为的面积为的面积为．求： (1)_____，_____； (2)_____； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高，即可解答； （2）计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果； （3）利用（2）中规律，裂项求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； （2）解：在（1）的基础上，； … ； （3）由（2）得，． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第二讲 反比例函数的图形和性质「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第1章 反比例函数）】 （思维导图+新知学习+十六大考点讲练+难度分层练 共52题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 双曲线 1.定义：反比例函数的图像是由两条曲线组成，我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称. 2.用描点法画双曲线 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，向两边分别取三队（或三对以上）互为相反数的数. （2）描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称的性质去找. （3）连线：按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意两个分支是断开的. 特别提醒： 1.画反比例函数图像应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点. 2.随着lxl的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 （k≠0）中x≠0且y≠0 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数y=（k≠0）中比例k的几何意义 1.矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N所得矩形PMON的面积S=PM·PN=lyl·lxl=lxyl，又因为y=，所以xy=k，所以S=lkl. 2.三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF的垂直y轴于点F，链接EO，则=OF·FE=lyl·lxl=lxyl=. 知识点四 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点. 知识点五 正比例函数与反比例函数图象的交点特征 当反比例函数y=x（≠0）中的与反比例函数y=（≠0）中的的符号相同时，两函数图象必有两个交点，并且这两个交点关于原点对称.当与的符号不同时，两函数图像没有交点. 知识点六 待定系数法求反比例函数解析式一般步骤 （1）设反比例解析式为y=（k为常数，k≠0）； （2）把已知的一对x、y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值带回所设的函数解析式. 考点一 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）试用描点作图法画出百米赛跑中，某运动员的平均速度v（）是他的成绩t（s）（跑完全程的时间）函数的图象 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 考点二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 考点三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 考点四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 考点五 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 考点六 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 考点七 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·海南·期中）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点八 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知点 ，在反比例函数的图象上，若 ，则 、的大小关系为______． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 考点九 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【变式训练】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 考点十 求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若反比例函数 的图象经过点， 则下列说法正确的是（     ） A．图象在一、三象限 B．y随x增大而增大 C．点在图象上 D． 考点十一 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式； (2)在x轴上有一点P，连接，，当的面积为18时，求点P的横坐标． 【变式训练】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 考点十二 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，且．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．9 C．18 D． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为5，则的值为_________． 考点十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 考点十四 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 【变式训练】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 考点十五 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接交双曲线另一支于点．已知点的坐标为，分别过作轴于、轴与，连接，过作直线． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点在双曲线上移动，其它条件不变，和的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由． 【变式训练】（2024·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)连接，，求出的面积． 考点十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标？ 【变式训练】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 3．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 5．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 6．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式． (2)直接写出当时，的取值范围． (3)将直线向上平移个单位长度后，所得直线与轴交于点．若，求点的坐标． 9．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，求的面积． 10．（2026·河南·二模）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知点在矩形的对角线上，，垂足为，，垂足为，点和点都在反比例函数（）的图象上，连接，若四边形与的面积之差为，则____． 5．（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图所示是反比例函数和（）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，连接、，若，则____． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，的顶点A、B的坐标分别是，，顶点C，D在双曲线上．边交y轴于点E，四边形的面积是面积的6倍，则________． 7．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点都在双曲线上，则的值为_____． 8．（25-26八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26八年级下·四川资阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 (2)求的面积 (3)点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 10．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点，记的面积为的面积为的面积为．求： (1)_____，_____； (2)_____； (3)求． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull