（预习篇）第一讲 反比例函数的概念（暑假预习培优讲义）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第一讲 反比例函数的概念「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第1章 反比例函数）】 （思维导图+新知学习+六大考点讲练+难度分层练 共38题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点二 反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 知识点三 反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 知识点四 待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 考点一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【变式训练1】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·全国·周测）为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 考点二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东济南·期中）下列式子中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 考点三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值为_____． 【变式训练2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________． 考点四 反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 考点五 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·云南昆明·一模）若点在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练1】（25-26九年级上·重庆江北·期末）下列四个点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 考点六 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式训练1】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则_____． 6．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 7．（2025·宁夏银川·一模）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时，___． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 10．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【思维拓展拔尖训练】 1．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数的图象经过点，直线与图象交于点，与轴交于点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为，若区域内恰有个整点，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上． （1）反比例函数的表达式为______； （2）把向右平移a个单位长度，对应得到． ①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）； ②当函数的图象经一边的中点时，则______． 6．如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________． 7．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______． 8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点． (1)求m和k的值； (2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 9．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题： (1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______． (2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值； ②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第一讲 反比例函数的概念「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第1章 反比例函数）】 （思维导图+新知学习+六大考点讲练+难度分层练 共38题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点二 反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 知识点三 反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 知识点四 待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 考点一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练2】（25-26九年级上·全国·周测）为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 考点二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案．即反比例函数的定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数是反比例函数． 【详解】解： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义； B、是一次函数，不符合反比例函数定义； C、中，符合反比例函数定义； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东济南·期中）下列式子中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式为，也可变形为 ，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是正比例函数，该选项不符合题意； B．是二次函数，该选项不符合题意； C． 变形可得，是反比例函数，该选项符合题意； D． 不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 【变式训练2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 考点三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解：由反比例函数的定义可知，， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可. 【详解】解：∵ 函数 是反比例函数， 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，可变形为， 因此可得， 解一元二次方程，移项得，开方得或， 验证，，，均满足系数不为0的条件， 故m的值为或． 【变式训练2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________． 【答案】7（答案不唯一，k大于6即可） 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，求出，与点比较后得到，即可得到的取值范围，据此得到答案． 【详解】解：过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点， ∵点，当时，，即， 由图可知，， ∴， 则的值可能是7， 故答案为：7（答案不唯一，k大于6即可） 考点四 反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，此时分母，分式无意义， 不在函数图象上，A不符合要求； 选项B中，，则不在函数图象上，B不符合要求； 选项C中，，则 不在函数图象上，C不符合要求； 选项D中，，与点的纵坐标相等，则在函数图象上，D符合要求． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义得，，． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，故点不在反比例函数图象上； B、，故点在反比例函数图象上； C、，故点不在反比例函数图象上； D、，故点不在反比例函数图象上． 考点五 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·云南昆明·一模）若点在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：将点代入函数得：． 【变式训练1】（25-26九年级上·重庆江北·期末）下列四个点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】验证各选项中点的横纵坐标乘积是否为即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴； A、∵，符合， ∴该点在函数图象上； B、∵，不符合， ∴该点不在函数图象上； C、∵，不符合， ∴该点不在函数图象上； D、∵，不符合， ∴该点不在函数图象上； 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将点的坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 考点六 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【变式训练1】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后解析式，求出时对应的x的值即可． 【详解】解：将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数的解析式为：， 令， 解得， 所得函数图像与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标乘积相等，列出方程求解，即可解题． 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义，函数形式应为 （），因此指数部分必须为，且系数非零，据此计算即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且 解得：且， 综上所述，． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 7．（2025·宁夏银川·一模）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时，___． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【答案】见解析 【详解】解：②一定是反比例函数，，的值是； ③一定是反比例函数，，的值是． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 10．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【思维拓展拔尖训练】 1．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】A 【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值． 【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴， 设，则PC＝t， ∵， ∴， 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数的图象经过点，直线与图象交于点，与轴交于点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为，若区域内恰有个整点，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】可知直线与平行；分两种情况：直线在的下方和上方，画图根据区域内恰有4个整点，确定的取值范围． 【详解】如图1，直线在的下方时， 当直线过时，，且经过点，区域内有3个整点，且点，在直线上， 当直线过时，，且经过，区域内有5个整点，增加了，， 区域内不存在恰有个整点． 如图2，直线在的上方时， 点在函数的图象， 当直线过时，， 当直线过时，， 区域内恰有4个整点，的取值范围是． 综上所述，区域内恰有4个整点，的取值范围是． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为 ，由“倒数点”的定义，得点B坐标为 ，分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况讨论：点B在ED上，由ED//x轴，得，解出 ，得点B的纵坐标为1，此时 ；点B在DC上，得点B横坐标为3，即 ，求出点B纵坐标为： ，此时 ． 【详解】设点A坐标为， ∵B是点A的“倒数点” ∴点B坐标为， ∵点B的纵坐标满足 ， ∴点B在某个反比例函数上， ∴点B不可能在OE，OC上， 分两种情况讨论： 点B在ED上，由ED//x轴， ∴点B点A的纵坐标相等，即， ∴ ∴B的纵坐标为1， 此时 ； 点B在DC上，得点B横坐标为3，即， ∴点B纵坐标为：， ∴ ． 故选：D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上． （1）反比例函数的表达式为______； （2）把向右平移a个单位长度，对应得到． ①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）； ②当函数的图象经一边的中点时，则______． 【答案】 或 【分析】（1）如图所示，过点A作于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，得到，则； （3）分当函数的图象经过的中点时，当函数的图象经过的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于C， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：； （2）①∵把向右平移a个单位长度，对应得到， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）当函数的图象经过的中点时， ∵， ∴函数的图象经过点， ∴， ∴； 当函数的图象经过的中点时， ∵， ∴函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：或． 6．如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________． 【答案】4 【分析】延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，根据得到的关系，然后利用勾股定理，即可用表示出所求的式子，从而求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于， 设的横坐标分别是， 点为直线上的两点， 的坐标是，的坐标是， 则，， 两点在双曲线上， 则， ，， ， ， 两边平方得：， 即， 在直角中， ， 同理可得，， ， 故答案为：4． 7．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______． 【答案】 【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过作轴于，交于． 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 设，则，， ，在反比例函数的图象上， ， 解得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点． (1)求m和k的值； (2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或 【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为，利用勾股定理求出，；再分当时，当时，当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把将代入中得：， ∴， 将代入中得：， ∴，； （2）解：∵直线和交于点A、B， ∴A和B关于原点成中心对称， ∴， 设点D的坐标为， ∴，； 当时，则， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； 当时，则， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或， 当时，则， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，x轴上是否存在一点D或或或使得为直角三角形． 9．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题： (1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______． (2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值； ②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)①，周长最小值为；②存在，或或 【分析】（1）根据题意即可完成解答； （2）①设，则可得周长，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标； ②由于，由题意可求得的最小值，从而求得点P的坐标；由轴且点Q在，可求得点Q的坐标，再分三种情况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2； 故答案为：1，2； （2）解：①∵点P为双曲线上的任意一点，     ∴设， ∴四边形OAPB的周长， 当四边形OAPB的周长取得最小值时，即，         即的最小值为，此时，解得：（负值舍去）， ∴，周长最小值为； ②存在． ∵点P为双曲线上的任意一点，     ∴设， ， ， 当时，解得：（负值舍去）， 即当时，有最小值，从而有最小值， ； 轴，且点Q在， ∴点Q的纵坐标为，且 ，即， ； 当以、为平行四边形的邻边时，则，， ； 当以、为平行四边形的邻边时，则，， ； 当以、为平行四边形的邻边时，则， 只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C， 综上，点C坐标为或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①为直角三角形，理由见解析；②点P的坐标为或或或． 【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解； （2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解． 【详解】（1）解∶设点B的坐标为，则点，则： ， 解得（负值已舍去）， 故点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶， 解得∶； （2）解：①为直角三角形，理由∶ 设点，则点， ∵点A、C的横坐标相同， ∴轴， ∴点B关于y轴的对称点为C， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形； ②由①得∶， 则的面积， 解得（负值已舍去）， ∴点B的坐标为，C的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得， ∴反比例函数表达式为①； 过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求， 同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求． ∵， ∴设直线m的表达式为， 将点C的坐标代入，解得， 故直线m的表达式为②， 根据图形的对称性，则直线n的表达式为③， 联立①②并解得∶ 或， 联立①③并解得∶ 或， ∴点P的坐标为或或或． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull