专题讲义 04：有理数的大小比较 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的大小比较核心知识点，系统梳理直接比较（正数大于零、零大于负数、两个负数绝对值大的反而小）和利用数轴比较（数轴上右边的数总比左边大）的方法，通过即学即练衔接基础，题型专练（含直接比较、数轴比较、绝对值比较等）递进提升，构建完整学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识结构，助力学生形成系统认知，题型专练融入气温比较、信号强度等实际情境，培养应用意识，新定义问题（如高斯函数、逆序）发展创新意识与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过巩固练习查漏补缺，强化知识掌握。

04 有理数的大小比较 思维导图 知识点梳理 有理数的大小比较 知识点一 1、两个负数，绝对值大的反而小． 2、正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 即学即练 1．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 2．比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 3．比较大小：（1）2 _____ ；（2） 0 ______；（3）_____ 4．请比较下列各组中两个数的大小： (1)0和； (2)3和； (3) 和； (4)和． 利用数轴比较有理数的大小 知识点二 1、利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 2、归纳： ①绝对值等于它本身的数是：非负数 ；②绝对值大于它本身的数是：负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是：非正数 ；④绝对值最小的有理数是：0 ； ⑤绝对值最小的正整数是：1 ；⑥绝对值最小的负整数是：－1 ． 即学即练 5．如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 7．（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 题型专练 【题型1 直接比较两个有理数的大小】 1．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 2．下列各数中，比2大的数是（   ） A．3 B． C． D．0 3．比较大小：________．(填“”“”或“”) 4．比较大小：___________2（填“”其中的一个）． 12．请比较下列各组中两个数的大小： (1)3和； (2)0和； (3)和； (4)和． 5．请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (4) 和； (4)和； (5) 和； (6)和． 【题型2 利用数轴比较两个有理数的大小】 1．如图，数轴上四个点表示的有理数分别是a，b，c，d，则其中最小的有理数是（   ） A．a B．b C．c D．d 2．数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 4．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 5．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 6．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【题型3 含绝对值的有理数大小比较】 1．比较大小：______，______（填“”，“”或“”）． 2．比较大小：__________．（填“”“”或“”） 3．在数轴上表示5，，0，，，这6个数，并用“<”把这6个数连接起来． 4．请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 5．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 6．比较下列各对数的大小： (1)________ (2)________ (3) ________ (4)________ (5)________． 【题型4 有理数大小比较的实际应用】 1．下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 2．衡量手机信号强弱的标准称为．信号的单位是，范围是到，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（） A． B． C． D． 3．几种液体在标准大气压下的沸点如下表所示，沸点最高的液体是（    ） 液体名称 液态氦 液态氢 液态氮 液态氧 沸点/ A．液态氦 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氧 4．亚洲、欧洲、非洲的最低海拔分别为米，米，米，其中海拔最低的大洲是________． 5．某年哈尔滨的月平均气温（）如下表所示： 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 请将月份按月平均气温从低到高的顺序重新排列． 6．“十一”黄金周期间，某风景区在月1日～月7日每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)若9月日游客为2万．则月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)求月1日～月7日游客的总人数． (4)如果你们一家人打算在下一个国庆节参观该风景区，请你对你们的出行日期提一个建议． 【题型5 有理数大小比较的新定义问题】 1．在数学的发展历程中，高斯函数（取整函数）有着重要的应用，它能帮助我们在数论、计算机科学等诸多领域处理与整数相关的问题．已知高斯函数表示不超过的最大整数．例如，，，则_________． 2．设表示不超过的整数中最大的整数，如：，，根据此规律计算：__________． 3．表示两数中的较小者，表示两数中的较大者，如，．求的值． 4．对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是________． 5．我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 巩固练习 1．下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（    ） A． B． C． D． 2．天台县2026年1月8日至11日最低气温记录如下，（   ）气温最低 1月8日 1月9日 1月10日 1月11日 A．1月8日 B．1月9日 C．1月10日 D．1月11日 3．在数轴上，四个有理数所对应的点分别为A，B，C，D，其位置关系如图所示，则数值最小的数对应的点为（   ） A．A B．B C．C D．D 4．下列各数按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） ，，，0，，8 A． B． C． D． 5．下列比较大小中正确的有（） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在有理数，，，3，，0，中自然数有m个，分数有n个，负有理数有p个，比较m，n，p的大小得（   ）． A．m最小 B．n最小 C．p最小 D．m、n、p三个一样大 7．若，，则比较与的大小，结果是（   ）． A．比较大 B．比较大 C．两者相等 D．无法比较 8．比大小： ________1， ________，________． 9．已知数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值，则数，，的大小关系为_____（用“>”符号连接） 10．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 11．下表是莲花中学趣味足球比赛得分记录表 班级名称 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 得分（分） 根据以上数据，得分最低的班级是________班； 12．如果规定符号“”为选择两数中较大数，“”为选择两数中较小数，例如：，，那么______． 13．用“”把下列各题中的三个数连接起来： (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 14．（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 15．学习“有理数的大小比较”时，我们可通过如下步骤完成： (1)比较大小___________；___________；___________；（在横线上填“”或“”或“”） (2)若为有理数，试比较与的大小． 16．（1）将有理数，0，2，，，2025，填入相应的集合内． 负有理数集合：｛                          …｝； 正整数集合：｛                            …｝； （2）现有以下四个数：，，，0．在下面的数轴上表示以上四个数，并将这四个数用“”号连接． 17．生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 18．数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如下表（超过165厘米记为“”，不足165厘米记为“”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 (1)这6位组员中最高的是________号组员，最高的组员比最低的组员高_____厘米； (2)根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 19．请按要求解答下列问题． (1)把，，，，这五个数在如图所示的数轴上表示出来； (2)把，，，，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来： (3)，，，，这五个数中，绝对值等于它的相反数的数有________个； (4)，，，，这五个数在数轴上表示的点中，我们可以计算任意两点之间的距离，则距离的最大值是________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 04 有理数的大小比较 思维导图 知识点梳理 有理数的大小比较 知识点一 1、两个负数，绝对值大的反而小． 2、正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 即学即练 1．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：这四个数的大小关系为， 所以在这四个数中，最小的数是． 2．比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查两个负数的大小比较，解题思路为根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，再通过比较绝对值的大小得到原数的大小关系． 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 3．比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于一切负数，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此比较即可． 【详解】解：（1）因为2是正数，是负数，正数大于一切负数，所以； （2）因为 负数都小于零，所以； （3），，，所以． 4．请比较下列各组中两个数的大小： (1)0和； (2)3和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据“正数负数”直接比较大小即可； （2）根据“正数负数”直接比较大小即可； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小； （4）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小． 【详解】（1）解：由“正数负数”可知：； （2）解：由“正数负数”可知：； （3）解：， ， 又， ； （4）解：， ， 又， ． 利用数轴比较有理数的大小 知识点二 1、利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 2、归纳： ①绝对值等于它本身的数是：非负数 ；②绝对值大于它本身的数是：负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是：非正数 ；④绝对值最小的有理数是：0 ； ⑤绝对值最小的正整数是：1 ；⑥绝对值最小的负整数是：－1 ． 即学即练 5．如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】一般地，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【详解】解：∵在这个数轴上，正方向向右，且点位于最左边， ∴在这四个点中，点表示的数最小． 6．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析，． 【详解】解：∵，， 在数轴上表示如图： ∴用“”连接为：． 7．（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从小到大排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 题型专练 【题型1 直接比较两个有理数的大小】 1．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】利用有理数大小比较的基本法则即可求解． 【详解】解：∵正数大于0，0大于一切负数， ∴正数和0都比负数大，可排除A选项和C选项． ∵剩余两个数和均为负数， 又，，且 ， ∴根据“两个负数比较大小，绝对值大的数更小”，可得 ， ∴四个数中最小的数是． 2．下列各数中，比2大的数是（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，依据有理数大小比较的法则判断各选项与2的大小关系即可． 【详解】解：∵，，，， ∴比2大的数是3， 故选：A 3．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 4．比较大小：___________2（填“”其中的一个）． 【答案】＜ 【详解】解：根据题意，得． 12．请比较下列各组中两个数的大小： (1)3和； (2)0和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可； （2）根据零大于负数即可求解； （3）利用两个负数比较大小的法则比较即可． （4）利用两个负数比较大小的法则比较即可． 【详解】（1）解： （2） （3）， ∴； （4）∵， ∴． 5．请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和； (5)和； (6)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，熟练掌握有理数大小比较的方法：（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大；（2）正数大于，负数小于，正数大于负数；（3）两个正数中绝对值大的数大；（4）两个负数中绝对值大的反而小，是解答本题的关键． （1）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （2）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （3）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （4）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （5）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （6）根据有理数大小比较的方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）∵正数大于一切负数， ∴； （4）， ； （5）， ； （6）， ． 【题型2 利用数轴比较两个有理数的大小】 1．如图，数轴上四个点表示的有理数分别是a，b，c，d，则其中最小的有理数是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较，解题的关键是理解数轴上的点从左到右表示的数依次增大． 根据数轴上点的位置，判断出四个数的大小关系，即可确定最小的有理数． 【详解】解：在数轴上，点的位置从左到右依次为a，b，0，c，d， 因此对应的有理数大小关系为． 所以最小的有理数是a． 故选：A． 2．数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上数的大小比较及相反数的性质，关键是根据数轴判断数的正负与绝对值大小：数轴上右侧的数总比左侧的数大，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，绝对值越大的负数数值越小，绝对值越大的正数数值越大． 【详解】解：由数轴可知，，且． ∵正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， ∴，． 又∵， ∴，． ∴四个数从小到大的顺序为：． 故选：C． 3．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，解题的关键是通过数轴上数的位置，直接与 对比大小． 根据数轴上、、、与的位置关系，判断出小于的数． 【详解】解：由数轴位置可知，在左侧，、、均在右侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，故小于的数是． 故答案为：． 5．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【题型3 含绝对值的有理数大小比较】 1．比较大小：______，______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求一个数的绝对值，化简多重符号．先化简表达式，再根据有理数的大小比较法则：正数大于负数，即可比较大小． 【详解】解：因为是负数，是正数， 所以， 由，， 因为， 所以， 故答案为：，． 2．比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，有理数的大小比较，先去绝对值，再根据有理数大小的比较方法，进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 3．在数轴上表示5，，0，，，这6个数，并用“<”把这6个数连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可先画出数轴，然后再进行有理数的大小比较． 【详解】解：由可得数轴如图所示： 用“<”连接起来为． 4．请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 5．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键． （1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； （3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，， ∵，，， ∴． 6．比较下列各对数的大小： (1)________ (2)________ (3)________ (4)________ (5)________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）利用相反数和绝对值的定义化简，再比较大小即可； （2）利用相反数和绝对值的定义化简，再比较大小即可； （3）利用相反数和绝对值的定义化简，再比较大小即可； （4）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案； （5）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案； 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （4）解：∵，，， ∴； 故答案为：； （5）解：∵，，， ∴； 故答案为：． 【题型4 有理数大小比较的实际应用】 1．下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较． 比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 2．衡量手机信号强弱的标准称为．信号的单位是，范围是到，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，且， ∴信号最强的是． 故选：D． 3．几种液体在标准大气压下的沸点如下表所示，沸点最高的液体是（    ） 液体名称 液态氦 液态氢 液态氮 液态氧 沸点/ A．液态氦 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氧 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此比较各液体的沸点数值即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴沸点最高的液体是液态氧， 故选：D． 4．亚洲、欧洲、非洲的最低海拔分别为米，米，米，其中海拔最低的大洲是________． 【答案】亚洲 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的大洲是亚洲， 故答案为：亚洲． 5．某年哈尔滨的月平均气温（）如下表所示： 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 请将月份按月平均气温从低到高的顺序重新排列． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．比较有理数的大小的方法有两种：()利用数轴直观比较有理数的大小．数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于，负数小于，正数大于负数；()利用绝对值的知识比较有理数的大小：①两个正数，绝对值大的正数大；②两个负数，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵， ∴月份气温由低到高排列如下图所示： 4.1 6.0 14.2 14.7 19.7 21.3 22.3 月 月 月 月 月 10月 月 月 月 月 月 月 6．“十一”黄金周期间，某风景区在月1日～月7日每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)若9月日游客为2万．则月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)求月1日～月7日游客的总人数． (4)如果你们一家人打算在下一个国庆节参观该风景区，请你对你们的出行日期提一个建议． 【答案】(1)10月2日游客人数为万人； (2)人数最多的是10月3日，最少的是10月7日，相差万人； (3)10月1日至7日游客总人数为万人； (4)选择10月7日出行 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际游客人数统计中的应用，解题的关键是根据9月30日的基础游客人数和每日人数变化量，依次计算出10月1日至7日每天的实际游客人数，再通过对比、求和解决相应问题。 （1）以9月30日2万人为基础，累加10月1日、2日的人数变化量，得到10月2日人数； （2）计算7天每天的实际人数，对比确定最多、最少人数的日期，用最多人数减最少人数得差值； （3）将7天实际人数相加，得到总人数； （4）根据人数变化趋势，建议避开前3天高峰，选择游客较少的日期出行。 【详解】（1）解：已知9月30日游客人数为2万人，先算每日实际人数： 10月1日：（万人） 10月2日：（万人） 10月3日：（万人） 10月4日：（万人） 10月5日：（万人） 10月6日：（万人） 10月7日：（万人） 由计算得，10月2日游客人数为万人； （2）对比可知：人数最多的是10月3日（万人），最少的是10月7日（万人），相差（万人）； （3）总人数为（万人）； （4）建议选择10月7日出行，此时游客人数较少，游览体验更佳。 【题型5 有理数大小比较的新定义问题】 1．在数学的发展历程中，高斯函数（取整函数）有着重要的应用，它能帮助我们在数论、计算机科学等诸多领域处理与整数相关的问题．已知高斯函数表示不超过的最大整数．例如，，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的减法运算，根据高斯函数的定义，分别计算 和 的值，然后进行有理数减法运算． 【详解】解：根据高斯函数的定义，表示不超过 x 的最大整数． ∴ ． 故答案为：． 2．设表示不超过的整数中最大的整数，如：，，根据此规律计算：__________． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的减法，读懂题意，理解新定义是解题的关键．根据新定义写成一般算式，然后根据有理数的减法进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：5． 3．表示两数中的较小者，表示两数中的较大者，如，．求的值． 【答案】 【分析】本题根据所给的新定义运算先分别求出和的值，再求出这两个值的最小值. 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以原式． 【点睛】本题根据所给的新定义运算，需要明确运算顺序，先算出内层的最大数和最小数，再对这两个结果比较大小，最终得到答案. 4．对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较及新定义的理解，理解题意是解题关键，根据新定义结合有理数的大小比较即可求解． 【详解】解：根据题意得：数组中所有的逆序为“”，“”，“”，“” ，“” ，“”， ∴数组的逆序数是6， 故答案为：6． 5．我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 【答案】(1)5 (2) (3)1、2、3、8、9 【分析】本题考查有理数的大小比较、新定义、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据新定义计算即可． （2）根据新定义可以发现当时，根据这个规律计算即可． （3）根据新定义得，，，所以，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据新定义可得， 故答案为：5； （2）解：根据新定义可得当时，， 所以 ； （3）解：∵，，，且， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，，符合题意； 当时，，， ∴，，符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴或，符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，符合题意； 综上所述，的所有可能的值1、2、3、8、9． 巩固练习 1．下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较法则，先区分正负数，再比较负数的绝对值即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∴最小的有理数是． 2．天台县2026年1月8日至11日最低气温记录如下，（   ）气温最低 1月8日 1月9日 1月10日 1月11日 A．1月8日 B．1月9日 C．1月10日 D．1月11日 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较． 依据有理数大小比较规则，对比四个日期的最低气温，找出最小气温对应的日期即可． 【详解】解：∵负数正数，两个负数比较时，绝对值大的数更小，且，，， ∴， 即， ∴1月10日的气温最低． 故选：C． 3．在数轴上，四个有理数所对应的点分别为A，B，C，D，其位置关系如图所示，则数值最小的数对应的点为（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点的性质．根据数轴上的点从左往右依次增大即可得解．熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】解：A，B，C，D四个点中，数值最小的数对应的点为A点． 故选：A． 4．下列各数按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） ，，，0，，8 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较数的大小，负数小于0，0小于正数；负数中绝对值大的反而小，正数中数值大的大，由此即可得出结果，熟练掌握有理数的大小比较规则是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 故选：B． 5．下列比较大小中正确的有（） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】本题考查有理数的大小比较，涉及正负数、绝对值和分数比较，逐一验证每个不等式是否正确即可． 【分析】①，故①错误； ②∵， ∴； 又∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③错误； ④∵，故④错误； 综上，只有②正确，故正确个数为1个． 故选：A． 6．在有理数，，，3，，0，中自然数有m个，分数有n个，负有理数有p个，比较m，n，p的大小得（   ）． A．m最小 B．n最小 C．p最小 D．m、n、p三个一样大 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，求得的值，即可求解． 【详解】解：在，，，3，，0，中， ，3，0是自然数，共3个，则， ，是分数，共2个，则， ，，是负有理数，共3个，则， ， ∴，即最小． 故选：B． 7．若，，则比较与的大小，结果是（   ）． A．比较大 B．比较大 C．两者相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了正数与小于1的数进行乘除运算的性质，解题的关键是掌握“一个正数乘以小于1的正数，结果小于原数；一个正数除以小于1的正数，结果大于原数”这一规律． 根据、，分析：正数a乘以小于1的b，结果小于a；分析：正数a除以小于1的b，结果大于a；通过“”可比较两者大小． 【详解】解：由，得且，即，故比较大， 故选：B． 8．比大小： ________1， ________，________． 【答案】 < > > 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数的大小比较方法解答即可． 【详解】第一组：和1，负数小于正数，因此． 第二组：和，两个负数比较，绝对值分别为7和11，，因此． 第三组：和，两个负数比较，先比较绝对值和． 通分：，， 因为， 所以， 因此． 故答案为：<，>，>． 9．已知数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值，则数，，的大小关系为_____（用“>”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了整数、绝对值、倒数、有理数大小比较．先分别求出，，，然后比较三者的大小关系． 【详解】解：∵数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 10．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 11．下表是莲花中学趣味足球比赛得分记录表 班级名称 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 得分（分） 根据以上数据，得分最低的班级是________班； 【答案】7 【分析】此题考查了比较有理数的大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】∵，，，，且 ∴ ∴得分最低的班级是7班． 故答案为：7． 12．如果规定符号“”为选择两数中较大数，“”为选择两数中较小数，例如：，，那么______． 【答案】36 【分析】本题考查有理数的大小比较，有理数乘法运算，根据题中给出的定义进行求解即可，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：36． 13．用“”把下列各题中的三个数连接起来： (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据负数小于零，两个负数比较，绝对值大的数反而小即可求解； （）正数大于零，正数大于负数即可求解； （）根据负数比较，绝对值大的数反而小即可求解； （）根据负数比较，绝对值大的数反而小即可求解； 此题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数数比较大小的方法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵负数小于零， ∴； （2）∵，正数大于负数， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴； （4）∵，，， ∴， ∴． 14．（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 【答案】（1）①；②；③2；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；③，理由见解析 【分析】本题考查了化简多重符号和绝对值、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键． （1）根据化简多重符号和绝对值的方法求解即可得； （2）有理数的大小比较法则：正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小，据此逐个解答即可得． 【详解】解：（1）①；②；③， 故答案为：①；②；③2． （2）①∵，，且， ∴． ②∵，， ∴． ③∵，， ∴． 15．学习“有理数的大小比较”时，我们可通过如下步骤完成： (1)比较大小___________；___________；___________；（在横线上填“”或“”或“”） (2)若为有理数，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． （1）根据正数大于负数，即可求解； （2）分情况讨论，为正数，或负数，再比较大小，即可求解． 【详解】（1），， 故答案为：． （2）解：当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ∴． 16．（1）将有理数，0，2，，，2025，填入相应的集合内． 负有理数集合：｛                          …｝； 正整数集合：｛                            …｝； （2）现有以下四个数：，，，0．在下面的数轴上表示以上四个数，并将这四个数用“”号连接． 【答案】（1），；2，2025 （2）见解析； 【分析】本题考查了有理数的分类及有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据有理数的有关概念进行回答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】解：（1）负有理数集合：｛，，…｝； 正整数集合：｛2，2025，…｝； （2），， 在数轴上表示如下： ；． 17．生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 【答案】(1) (2)从北到南，气温逐渐升高 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． （1）利用有理数的大小比较排列顺序即可； （2）根据排列顺序即可得到答案． 【详解】（1）解：由记录表得，， （2）解：从北到南，气温逐渐升高． 18．数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如下表（超过165厘米记为“”，不足165厘米记为“”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 (1)这6位组员中最高的是________号组员，最高的组员比最低的组员高_____厘米； (2)根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【答案】(1)3,20 (2)164厘米 【分析】（1）将6位组员的身高比较大小，即可找到最大值和最小值，再求出最大值与最小值的差即可． （2）用165加上这6位组员身高与选定的身高标准的差的平均值，即可得到这6位组员的平均身高． 本题主要考查了比较有理数的大小，以及运用有理数的加法解决实际问题．熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴这6位组员中最高的是3号组员，最矮的是2号组员， 最高的组员比最低的组员高(厘米)． 故答案为：3,20 （2）解： ． 答：这6位组员的平均身高是164厘米． 19．请按要求解答下列问题． (1)把，，，，这五个数在如图所示的数轴上表示出来； (2)把，，，，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来： (3)，，，，这五个数中，绝对值等于它的相反数的数有________个； (4)，，，，这五个数在数轴上表示的点中，我们可以计算任意两点之间的距离，则距离的最大值是________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)3 (4) 【分析】本题考查数轴，绝对值和有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念； （1）先在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据相反数的定义和绝对值的定义得出即可； （4）由（1）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可． 【详解】（1）解：如下图： （2）解：，， ， ； （3）解：根据绝对值等于它的相反数的数是负数或0， ，，，，中，有，，三个数， 故答案为：3； （4）解：由图可知，距离的最大值是：， 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $