第9章 第1节 随机抽样、统计图表（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“随机抽样、统计图表”核心专题，依据高考评价体系梳理了简单随机抽样、分层随机抽样、频率分布直方图等考查要点，结合2023-2025年新高考真题分析，明确统计图表与概率综合题占比60%的高频考向，归纳选择、填空、解答题三类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+规律建模+素养提升”策略，如分层随机抽样通过比例方程（例2核心区与开发区2:3比例计算）突破，频率分布直方图用面积求频率（例5 50-60元频率0.3）培养数据处理与运算能力，助力学生掌握答题技巧，教师可依托系统考点与训练实现高效复习。

第1节　随机抽样、统计图表 备考路径 考点 考题 考情分析 随机抽样、统计图表 2023新高考Ⅰ,第9题;2023新高考Ⅱ,第3题,第19题;2022新高考Ⅱ,第19题; 2021新高考Ⅱ,第9题 从题型和题量上看,高考对本专题一般命制1个或2个题目,并且多与概率知识综合.既有选择题或填空题,也有解答题.从考查内容上看,主要考查统计图表信息题,尤其是频率分布直方图的理解与应用以及样本的数字特征和成对数据的统计分析.对数学建模、数据分析和数学运算的素养有一定的要求 用样本估计总体 2025全国2,第1题;2024新高考Ⅱ,第4题;2023新高考Ⅰ,第9题;2022新高考Ⅱ,第19题;2021新高考Ⅰ,第9题 成对数据的统计分析 2025全国1,第15题;2022新高考Ⅰ,第20题;2020新高考Ⅰ,第19题 课标解读　1.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.了解样本与总体的关系.2.了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.3.能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.4.能根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用统计图表的重要性. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第二册复习参考题9第1题改编)为了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析,在这个问题中,被抽取的200名学生的成绩是(　　) A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量 C 解析 从5 000名学生的成绩中抽取了200名学生的成绩进行调查分析,则抽取的200名学生的成绩是样本. 2.(人教A版必修第二册9.1节练习第3题改编)下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是(　　) A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C.从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 B 解析 只有B项符合简单随机抽样的定义,故选B. 3.(人教A版必修第二册习题9.1第5题改编)某田径队有男运动员56人,女运动员42人,从中用分层随机抽样的方法抽取容量为28的样本,则男运动员应抽　　　　人.  16 解析 运动员一共有98人,设男运动员应抽x人,所以,解得x=16. 知识梳理 1.简单随机抽样 (1)定义:一般地,设一个总体含有　　　 　　个体,从中　　　　抽取n(1≤n<N)个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率　　　　　　,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.  (2)常用方法:　　　　法和　　　　　　法.  N(N为正整数)个 逐个 都相等 抽签 随机数 2.分层随机抽样 一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个　　　　　,每个个体属于且　　　　　　一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的　　　　合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为　　.  分成的各层互不重叠 微点拨 1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 子总体 仅属于 样本 层 微思考 简单随机抽样与分层随机抽样有什么共同点和联系? 提示 两种抽样方法的比较: 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数较少 分层随机抽样 将总体分成几层,按比例分层进行抽取 在每一层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 3.频率分布直方图 为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来,常画出频率分布直方图.画图时,应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值,以各个组距为底,以各频率除以组距的商为高,画成小长方形,这样得到的直方图就是频率分布直方图. 　每个小长方形的面积表示样本落在该组内的频率 微点拨 1.极差为一组数据中最大值与最小值的差. 2.所有小长方形的面积和等于1. 误区警示 频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距,不要和条形图混淆. 研考点•精准突破 考点一　抽样方法 考向1　简单随机抽样 例1　某校高一共有10个班,编号01至10,某项调查要从中抽取三个班作为样本,现用抽签法抽取样本,每次抽取一个号码,共抽3次,设五班第一次被抽到的可能性为a,第二次被抽到的可能性为b,则(　　) A.a=,b= B.a=,b= C.a=,b= D.a=,b= D 解析 由简单随机抽样的定义知,在每次抽取中每个个体都有相同的可能性被抽到,故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是,所以a=,b=. 考点一 考点二 考向2　分层随机抽样 例2　(1)(2025·山东青岛模拟)某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究,按区域划分为核心区、开发区、远郊区,各区的人口比例为2∶3∶4.现采用分层随机抽样的方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区抽取的人数为300,则从核心区抽取的人数为(　　) A.90 B.120 C.180 D.200 D 解析 设从核心区抽取的人数为x,因为核心区、开发区、远郊区的人口比例为2∶3∶4,且从开发区抽取的人数为300,可得,解得x=200,即从核心区抽取的人数为200.故选D. 考点一 考点二 (2)某社区有1 500名老年居民、2 100名中青年居民和1 800名儿童居民.为了解该社区居民对社区工作的满意度,现采用分层随机抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本,若中青年居民比老年居民多抽取20人,则n=(　　) A.120 B.150 C.180 D.210 C 解析 由题可得,N=1 500+2 100+1 800=5 400,则()×n=20,解得n=180.故选C. 考点一 考点二 规律方法　进行分层随机抽样的相关计算时,常利用以下关系式,转化为按比例列方程或算式求解: (1); (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. 考点一 考点二 [对点训练1](1)(多选题)在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本进行检测,有如下两种随机抽样方法. 方法一:采用简单随机抽样的方法,将零件编号00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个. 方法二:采用分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题,下列说法正确的有(　　) A.不论采用哪种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是 B.采用不同的方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C.在上述两种抽样方法中,方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体 特征 D.在上述抽样方法中,方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 AC 考点一 考点二 解析 对于A,B,根据两种随机抽样方法的特点知,不论哪种抽样,总体中每个个体入样的可能性都相等,都是,故A正确,B错误;对于C,D,由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品),故方法二抽到的样本更能反映总体特征,故C正确,D错误. 考点一 考点二 (2)某高中学校共有学生3 600人,为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况,采用分层随机抽样的方法从这3 600名学生中抽取一个容量为48的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列,则该学校高三年级的学生人数为　　　　　.  1 500 解析 设从高二抽取的人数为x,则从高一抽取的人数为x-4,从高三抽取的人数为x+4,所以3x=48,解得x=16,所以从高三年级抽取了20人,则高三年级的学生人数为3 600×=1 500. 考点一 考点二 考点二　统计图表及应用 考向1　扇形图 例3　(多选题)某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度,用分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示,若抽取的样本中高三年级学生有32人,则下列说法正确的是(　　) A.该校高一学生人数是2 000 B.样本中高二学生人数是28 C.样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D.该校学生总人数是8 000 BC 考点一 考点二 解析 由图可知,高三年级学生人数占总人数的40%,抽取的样本中高三年级学生有32人,则抽取的样本中学生总人数为=80,则样本中高一学生人数为80×25%=20,样本中高二学生人数为80×35%=28,从而样本中高三学生人数比高一学生人数多32-20=12.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80,但抽取的比例不知道,所以该校高一学生人数和该校学生总人数无法求出,所以A,D错误,B,C正确.故选BC. 考点一 考点二 规律方法　扇形图是用一个圆表示总体,圆中各扇形分别代表总体中的不同部分,每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小.通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系. 考点一 考点二 [对点训练2](多选题)(2025·陕西安康期末)如图是某公司2020年和2024年支出的比例分配图,其中这两年用于文体活动的支出费用相等,则下列说法正确的有(　　) A.2024年总支出比2020年增长25% B.用于宣发的支出2024年比2020年多 C.用于水电的支出2024年与2020年相等 D.用于工资的支出2024年比2020年增长50% 2020年支出分布 2024年支出分布 ACD 考点一 考点二 解析 因为这两年用于文体活动的支出费用相等,设用于文体活动的支出费用均为a,故2020年的总支出为20a,2024年的总支出为25a,所以2024年总支出比2020年增长25%,故A正确;用于宣发的支出2024年为25a×5.6%=1.4a, 2020年为20a×10%=2a,故用于宣发的支出2024年比2020年少,故B错误;用于水电的支出2024年为25a×6.4%=1.6a,2020年为20a×8%=1.6a,故用于水电的支出2024年与2020年相等,故C正确;用于工资的支出2024年为25a×30%=7.5a,2020年为20a×25%=5a,所以用于工资的支出2024年比2020年增长50%,故D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考向2　条形图、折线图 例4　(多选题)(2025·河北卓越联盟模拟)2020至2024年某地快递业务量及其增长速度如图所示,则下列选项正确的有(　　) 2020至2024年某地快递业务量及其增长速度图 A.2020至2024年该地快递业务量逐年增长 B.2020至2024年该地快递业务量增长速度逐年增长 C.2020至2024年该地快递业务量每年增长量超过200亿件 D.估计该地2019年的快递业务量小于650亿件 AD 考点一 考点二 解析 根据统计图表可知2020至2024年该地快递业务量逐年增长,故A正确. 由图可知2020年至2022年的快递业务量增长速度是减少的,故B错误. 2022年该地快递业务量增长1 106-1 083=23亿件,故C错误. 设该地2019年的快递业务量为x亿件,则(1+31.2%)x=834,可得x=≈635.67<650,故D正确.故选AD. 考点一 考点二 规律方法　折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.条形图则反映了样本的数量分配. 考点一 考点二 [对点训练3](1)(多选题)根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位:℃)绘制如下折线图,那么下列叙述正确的是(　　) A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关 B.9号的最高气温与最低气温的差值最大 C.最高气温的众数为27 ℃ D.5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大 AC 考点一 考点二 解析 由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知,最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关,故A正确;由图可知,6号的最高气温与最低气温的差值最大,故B错误;最高气温27 ℃出现了两次,其他数据出现了1次,故27 ℃是最高气温的众数,故C正确;5号到15号的最低气温的极差小于15-3=12,5号到15号的最高气温的极差约等于27-15=12,故D错误.故选AC. 考点一 考点二 (2)(多选题)(2025·广东河源质量检测)2025年4月23日,在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据,如图所示,则下列选项正确的有(　　) 考点一 考点二 A.2024年,我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B.近五年,我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C.从2020年至2024年,我国数字阅读用户规模逐年递增 D.从2020年至2024年,我国网民规模的增长率逐年递增 答案 ABC　 考点一 考点二 解析 对于A,2024年,我国数字阅读用户规模为6.7亿,网民规模为11.1亿,数字阅读用户规模约占网民规模的60.36%,故A正确;对于B,近五年,我国数字阅读用户规模的增长量为6.7-4.94=1.76亿,网民规模的增长量为11.1-9.9 =1.2亿,数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量,故B正确;对于C,由图可知从2020年至2024年,我国数字阅读用户规模在逐年递增,故C正确;对于D,由图可知从2020年至2021年,我国网民规模的增长率为≈0.040 4,从2023年至2024年,我国网民规模的增长率为≈0.018 3,增长率减小,故D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考向3　频率分布直方图 例5　(多选题)某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在50元到60元之间的学生有60人,则(　　) A.样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3 B.样本中消费支出不少于40元的人数为132 C.n的值为200 D.若该校有2 000名学生参加研学,则约有20人消费支出在20元到30元之间 ABC 考点一 考点二 解析 根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1,可得50元到60元之间的频率为1-10×(0.01+0.024+0.036)=0.3,故A正确;由题得,n==200,则消费支出不少于40元的人数为200×(0.036×10+0.3)=132,故B,C正确;根据频率分布直方图可知,消费支出在20元到30元之间的频率为0.1,则2 000名参加研学的学生中消费支出在20元到30元之间的人数约为200,故D错误.故选ABC. 考点一 考点二 规律方法　频率分布直方图的两个关系式 考点一 考点二 [对点训练4]为了研究人们生活健康情况,某市随机选取年龄在15~75岁之间的1 000人进行调查,得到频率分布直方图如图所示,其中,利用比例分配的分层随机抽样方法从年龄在[15,25),[25,35),[35,45),[45,55), [55,65), [65,75]之间共选取20名市民书写生活健康的报告,其中选取年龄在[35,45)内的市民人数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.7 D 考点一 考点二 解析 由已知及频率分布直方图得 解得所以选取年龄在[35,45)内的市民人数为0.035×10×20=7. 考点一 考点二 $