11.5 二项分布与超几何分布 课件-2027届高考数学一轮复习

11.5　二项分布与超几何分布 第十一章 2027 课标要求 1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 备考指导 本节内容在高考中主要以解答题形式出现,考查二项分布、超几何分布的分布列及均值、方差,多与实际生活、社会热点、科技前沿等情境结合,有时与图表信息综合,难度中高档.考查数学建模、数学运算、逻辑推理、数据分析等核心素养. 复习时要进一步强化知识在实际情境的应用;尤其对于二项分布,要注意典型案例的总结和剖析. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.伯努利试验与n重伯努利试验 (1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 问题思考 n重伯努利试验具有哪些共同特征? (1)同一个伯努利试验重复做n次; (2)各次试验的结果相互独立. 2.二项分布 (1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=_________, k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p) . (2)均值和方差:若X~B(n,p),则E(X)= np ,D(X)= np(1-p) . 温馨提示当n=1时,随机变量X服从两点分布,此时E(X)=p,D(X)=p(1-p). 3.超几何分布 (1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响.(　　) (2)在n重伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同.(　　) (3)如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n重伯努利试验中,这个事件恰好发生k次的概率 (　　) (4)二项分布是一个概率分布,其概率公式相当于(a+b)n的二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.(　　) (5)从4名男演员和3名女演员中随机选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) √ × √ × √ 2.在100张抽奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率为 (　　)　　 A. B. C. D. C A 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛,则所选3人中,女生至多有1人的概率为　　　　　.  1 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 n重伯努利试验与二项分布 命题角度1 n重伯努利试验的概率 例1　甲、乙两名射击爱好者各射击一次,击中目标的概率分别为,假设每人每次射击是否击中目标相互之间没有影响. (1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 命题角度2 二项分布的应用 例2　“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示. 能力形成点1 能力形成点2 (1)求这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表); (2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率; (3)用频率估计概率,从所有参与生态文明建设关注调查的人员(假设人数很多,各人是否关注生态文明建设互不影响)中任意选出3人,设这3人中关注生态文明建设的人数为X,求随机变量X的分布列及均值. 能力形成点1 能力形成点2 解 (1)由小矩形面积和等于1可得(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1, 解得a=0.035. 所以平均年龄为(20×0.01+30×0.015+40×0.035+50×0.030+60×0.010)×10=41.5(岁). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.求n重伯努利试验概率的三个步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验. (2)拆分:判断所求事件是否需要拆分为几个互斥事件的和事件,若需要,则先拆分. (3)计算:先对拆分后的每个事件依据n重伯努利试验的概率计算公式求解概率,再利用互斥事件的概率加法公式计算. 2.二项分布满足的条件 (1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; (4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数. 能力形成点1 能力形成点2 对点训练1 (1)设事件A在每次试验中发生的概率相同,在三重伯努利试验中,若事件A至少发生一次的概率为 ,则事件A恰好发生一次的概率为(　　) C 能力形成点1 能力形成点2 (2)某网络购物平台的商家进行有奖促销活动,顾客购物消费每满600元,可选择直接返回60元现金或参加一次答题返现,答题返现规则如下:从电脑题库中随机选出一道题目让顾客限时作答,若答对,则可获得120元返现奖励,若答错,则没有返现.假设顾客答对每道题目的概率都是0.4,且答题的结果互不影响. ①若某顾客购物消费1 800元,请分析作为网络平台的商家,是希望该顾客选择直接返回180元现金,还是选择参加3次答题返现. ②若某顾客购物消费7 200元,且都选择参加答题返现,请计算该顾客答对多少次题目的概率最大,最有可能返回多少元现金. 能力形成点1 能力形成点2 解 ①设X表示顾客参加3次答题返现中答对题目的次数, 则由题意可知X~B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2, 所以该顾客选择参加3次答题返现可获得的返现金额的均值为1.2×120=144(元). 因为144<180,所以商家希望该顾客选择参加3次答题返现. ②依题意,该顾客参加了12次答题返现. 设答对题目的次数为Y,则Y~B(12,0.4). 设该顾客答对k次题目的概率最大, 解得4.2≤k≤5.2,所以k=5. 答对5次题目可获得的返现奖励为5×120=600(元). 故该顾客答对5次题目的概率最大,最有可能返回600元现金. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点2 超几何分布 命题角度1 利用超几何分布求分布列 例3　端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中随机取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与均值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 命题角度2 超几何分布的应用 例4　某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满500元的顾客,可以获得一次抽奖机会,有两种方案.方案一:在抽奖的不透明盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球,3个白球,顾客一次性摸出2个球,规定摸到2个黑球奖励50元,1个黑球奖励20元,没有摸到黑球奖励15元.方案二:在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球,3个白球,顾客不放回地每次摸出一个球,直到将所有黑球摸出才停止,规定2次摸出所有黑球奖励50元,3次摸出所有黑球奖励30元,4次摸出所有黑球奖励20元,5次摸出所有黑球奖励10元. (1)设X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数,求随机变量X的均值; (2)若你为一名要摸奖的顾客,请问你选择哪种方案进行抽奖?说明理由. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题; (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布属于古典概型,主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型. 3.对于超几何分布的实际应用问题,关键是利用超几何分布的概率计算公式得出概率或分布列,有时需根据分布列求出均值或方差. 能力形成点1 能力形成点2 对点训练2 (1)在不透明的箱子中有10个除颜色外完全相同的球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中一次性任意取出3个.求: ①取出的3个球中红球的个数X的分布列; ②取出的3个球中红球的个数多于白球的个数的概率. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 ②设“取出的3个球中红球的个数多于白球的个数”为事件A,“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1,“恰好取出2个红球”为事件A2,“恰好取出3个红球”为事件A3, 则事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3, 能力形成点1 能力形成点2 (2)为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球(除面值外其他完全相同)的不透明袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. ①若袋中所装的4个球中有1个标有50元,其余3个均标有10元,求顾客所获的奖励额为60元的概率及顾客所获的奖励额的分布列和均值. ②商场对奖励总额的预算为60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有10元和50元的两种球或标有20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 ②根据商场的预算,可知每位顾客所获的平均奖励额为60元. 对于由标有10元和50元的两种球组成的情况,若选择3个标有10元,1个标有50元的方案, 则60元是面值之和的最大值,故均值不可能为60元; 若选择3个标有50元,1个标有10元的方案, 则60元是面值之和的最小值, 故均值也不可能为60元. 因此4个球必是2个标有10元,2个标有50元,记为方案1. 对于由标有20元和40元的两种球组成的情况, 同理4个球必是2个标有20元,2个标有40元,记为方案2. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 第三环节　学科素养提升 概率与数列的交汇问题 (2)记第二次来该商场购买产品的3人中有X人购买产品A,求X的分布列及均值; (3)经过一段时间的经营,每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次这两种产品,则该商场每天应至少准备A,B两种产品各多少份?(直接写结论,不必说明理由) 思路建立(1)利用全概率公式求解第二次购买产品A的概率,将题意中的概率关系转化为递推公式,利用递推公式证明结论成立. (2)将所求问题转化为二项分布问题. (3)利用(1)的结论探索出Pn的变化规律,进而解决问题. 解题心得1.概率和数列知识的交汇成为高考的一个热点问题,体现了新增概率知识和传统数列知识的有机结合,从备考的角度给出了一个导向. 2.概率的应用关键在于模型的构建,分布列的数值规律又能与数列的递推公式、通项公式找到结合点,即利用数列(函数)的思想探索概率中的数值规律. pk(1-p)n-k P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,m+3,…,r. (2)均值:设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,则E=p,即E(X)= np . P=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. 由已知得所求概率为 3.设随机变量X~B,则P(X=3)=(　　) A. B. C. D. 由已知得P(X=3)= 设所选3人中女生人数为随机变量X,则X服从超几何分布, 故P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= 5.现有A,B两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢1分,答错得0分;A队中3人答对的概率均为,B队中3人答对的概率分别为,且每人答题正确与否互不影响,设A队总得分为随机变量X,则X的均值为　　　　　.若事件M表示“A队共得2分”,事件N表示“B队共得1分”,则P(MN)=　　　　　.  由题意,可知X~B,所以E(X)=3=1. 因为事件M表示“A队得2分”,事件N表示“B队得1分”, 所以P(M)=,P(N)=, 所以P(MN)=P(M)P(N)= 解 (1)设事件A=“甲射击3次,至少有1次未击中目标”, 则=“甲射击3次均击中目标”. 由题意可知P()=, 故P(A)=1-P()= (2)设事件B=“甲射击2次,恰好击中目标2次”,C=“乙射击2次,恰好击中目标1次”,则由题意可知P(B)=,P(C)=, 故所求概率P=P(B)P(C)= (2)第1组总人数为200×0.01×10=20,第2组总人数为200×0.015×10=30. 根据分层随机抽样可得第1组抽取5=2人,第2组抽取5=3人. 再从这5人中抽取3人,设至少1人的年龄在第1组中为事件A,其概率为P(A)=1- (3)由题意可知,X~B(3,),则 P(X=0)=,P(X=1)=()2=, P(X=2)=()2,P(X=3)= ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)=3 A. B. C. D. 设事件A在每次试验中发生的概率为p, 则由题意可知1-(1-p)3=,解得p= 故所求概率为 则 解 (1)设A表示事件“三种粽子各取到1个”. 由古典概型的概率计算公式,得P(A)= (2)由题意知,X的所有可能值为0,1,2,且X服从超几何分布,其中N=10,M=2,n=3,则 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)= 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)=0+1+2 解 (1)由题意知X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, 故E(X)=0+1+2 (2)设Y为一名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖励金额, 则Y的所有可能取值为50,20,15, 由题意可知P(Y=50)=P(X=2)=, P(Y=20)=P(X=1)=,P(Y=15)=P(X=0)= 故E(Y)=50+20+15=21.5. 设Z为一名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖励金额, 则Z的所有可能取值为50,30,20,10, P(Z=50)=,P(Z=30)=, P(Z=20)=,P(Z=10)= 故E(Z)=50+30+20+10=21. 因为E(Y)>E(Z),所以选择方案一进行抽奖. 解 ①由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布, 所以P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)= 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为P(A1)=,P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=, 所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 所以取出的3个球中红球的个数多于白球的个数的概率为 解①设顾客所获的奖励额为X. 依题意,P(X=60)=, 故顾客所获的奖励额为60元的概率为 依题意,X的所有可能取值为20,60, 则P(X=60)=,P(X=20)= 故X的分布列为 X 20 60 P E(X)=20+60=40. 对于方案1, 设顾客所获的奖励额为X1,X1的所有可能取值为20,60,100, 则P(X1=20)=,P(X1=60)=,P(X1=100)= 故X1的分布列为 X1 20 60 100 P E(X1)=20+60+100=60, D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2 对于方案2, 设顾客所获的奖励额为X2,X2的所有可能取值为40,60,80,则P(X2=40)=,P(X2=60)=,P(X2=80)= 故X2的分布列为 X2 40 60 80 P E(X2)=40+60+80=60, D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2 因为E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2), 所以应该选择方案2. 典例　某商场提供A,B两种民生消费产品服务(人们购买时每次只买其中一种).经过统计分析发现:第一次购买产品的人购买产品A的概率为,购买产品B的概率为;而前一次购买产品A的人,下一次来购买产品A的概率为,购买产品B的概率为;前一次购买产品B的人,下一次来购买产品A的概率为,购买产品B的概率也为.记某人第n次来购买产品A的概率为Pn. (1)求P2,并证明数列为等比数列; 解:(1)P2=. 由题意可知Pn+1=Pn+(1-Pn)=-Pn+, 即Pn+1-=-. 因为P1-, 所以数列是首项为,公比为-的等比数列. (2)由(1)知第二次购买产品A的概率为,X的所有可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=1. (3)由(1)知Pn-, 故Pn=,当n→+∞时,Pn→, 故产品A准备800×=320(份),产品B准备800×=480(份). $