2025-2026学年高一数学下学期期末考模拟卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷，覆盖必修二立体几何、向量、统计等核心知识，通过露营地游客统计、正四面体骰子等情境设计，考查空间观念、数据意识与逻辑推理，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|百分位数（第2题）、圆锥外接球（第3题）、空间线面关系（第6题）|结合“五一”露营地数据考查统计分析，正四面体骰子事件独立性（第7题）体现概率应用| |填空题|3题/15分|分层抽样（第12题）、平面四边形面积（第13题）、三棱锥内外接球（第14题）|分层抽样关联实际年级人数，翻折问题（第14题）考查空间想象| |解答题|5题/77分|向量投影与夹角（15题）、正方体面面平行（16题）、统计与概率综合（17题）、解三角形与垂心（18题）、翻折二面角（19题）|正方体动点问题（16题）深化空间观念，统计频率分布（17题）培养数据意识，翻折二面角（19题）提升逻辑推理能力|

2025-2026学年高一数学下学期期末考模拟卷 考试范围：人教A版必修第二册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 2．某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，8，8，9，9，9，11，11，12． 因为，所以这组数据的第75百分位数是． 3．已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质求出底面半径和母线、高的关系，根据圆锥的体积公式求出底面半径、母线和高，根据圆锥外接球的性质求出外接球半径，最后利用球的表面积公式计算求解． 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， 故，则，解得， 圆锥的高， 则，解得，故，， 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为， 则，展开整理得， 外接球的表面积为：． 4．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求解即可. 【详解】因为. 故选：D. 5．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图可得：. 6．已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及线面平行的性质定理判断即可. 【详解】对于A，若，，则m，n平行或异面，A错误. 对于B，若，，，则m，n平行、相交或异面，B错误. 对于C，根据线面平行的性质定理可知，若，，，则，C正确. 对于D，若，，则或，D错误. 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 8．空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，选项A，通过计算向量的数量积是否为来判断线线垂直；选项B，利用三棱锥体积公式，结合均值不等式求最值；选项C，利用向量法计算点到直线的距离；选项D，分析外接球球心的坐标特征，确定轨迹，求出度. 【详解】    如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，， 则，， 因，所以，故A正确； ， 当且仅当，即时成立，故B错误； 若为中点时，则,，， ，， ，，， ，故C正确； 设三棱锥的外接球球心为， 因为平面，则， 因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上， 所以，， 则球心为，球心的轨迹为一条线段， 当时，球心为，当时，球心为， 轨迹长度为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某中学高一年级有1100人，高二年级有1050人，高三年级有850人.现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取150人，则抽取的高一年级学生的人数为______. 【答案】55 【详解】三个年级总人数为， 所以抽样比为， 所以抽取的高一年级学生的人数为. 13．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，，，且， 由余弦定理得， 可得, 又由， 可得 因为， 则， 所以, ， 所以四边形的面积为. 14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接圆半径，再等体积法求出内切球半径，运算求解即可. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c 则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 又因为三棱锥是长方体切掉四个角， 故三棱锥， 三棱锥四个侧面是全等的， ， 设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积， 故， 则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值； （2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． （2），， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 16．（15分） 已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 17．（15分） 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】(1)73分合理； (2)90；38.75 (3) 【分析】（1）首先根据频率比值求，再根据频率和为1求，再根据频率计算百分位数，即可求解的值； （2）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （3）首先根据独立事件概率公式求乙，丙2人回答正确问题的概率，再结合对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 所以，， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第60百分位数为， 则，解得， 所以晋级分数线划为73分合理； （2）设该小组10位学生的分数分别为，因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件， 则，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 则 即． 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 有0人回答正确的概率， 有1人回答正确的概率为 所以不少于2人回答正确这道题的概率． 18．（17分） 在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）由余弦定理得，结合三角形面积公式，即可求得； （3）利用三角形垂心的性质，可求得，，结合三角函数的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知，得，即， 根据正弦定理，可得，化简得， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）根据余弦定理，得，整理得， 又，，，代入整理得，解得， 又为边上的角平分线，所以，， 即， 化简得， 又，，所以，解得； （3）延长交于点，延长交于点， 因为点为的垂心，所以，， 设，则且， 所以，又， 在中，， 在中，，，所以， 在中，，同理可得， 所以 因为，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 19．（17分） 如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)若在平面上的射影恰好在上，求二面角的余弦值； (3)若，且二面角为直二面角，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再结合面面垂直判定定理证明即可； （2）过点作的垂线交于点，交于点，先根据二面角定义得出为二面角所成的平面角，再结合边长计算余弦值； （3）过点作的垂线交于点，先应用面面垂直性质定理得出平面，应用等体积方法计算点到平面距离即可. 【详解】（1），所以在三棱锥中有：， 又平面平面，， 平面， 平面， 平面平面是正方形； （2）过点作的垂线交于点，交于点，    翻折后仍有，， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以为二面角所成的平面角， 由题意得平面， 所以， 因为直角三角形中，角为直角，时为斜边中点， 所以,所以, ， 所以， 又因为， 所以， ， 所以， 所以， 即二面角平面角的余弦值为； （3）当时，, 由三角形内角平分线逆定理可知平分,又∵,∴. 过点作的垂线交于点，连接, 则为等腰直角三角形，斜边,∴， 所以， 由题意平面平面，平面平面，，   平面，所以平面， 又∵平面，所以， ∴， ∴, ∴, ∴， ∵，点满足，∴, 又∵, ∴, 综上，三棱锥的高,底面积, 三棱锥的底面积， 设点到平面的距离为,即为三棱锥的高， ∵， ∴, 即,解得. ∴点到平面的距离为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末考模拟卷 考试范围：人教A版必修第二册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A．1 B． C． D． 2．某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．7 B．9 C．10 D．11 3．已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 8．空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则（     ） A． B． C． D． 10．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某中学高一年级有1100人，高二年级有1050人，高三年级有850人.现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取150人，则抽取的高一年级学生的人数为______. 13．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 17．（15分） 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 18．（17分） 在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 19．（17分） 如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)若在平面上的射影恰好在上，求二面角的余弦值； (3)若，且二面角为直二面角，求点到平面的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $