期末复习：简单几何体的体积、组合体或旋转体的体积、体积比值问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦简单几何体、组合体/旋转体体积及比值问题，以分层例题串联公式应用与空间转化，构建从基础计算到综合比例的逻辑体系，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |简单几何体的体积|4例+4变式|圆柱/圆锥/棱台体积计算，结合侧面展开图、二面角等|从几何体概念到体积公式推导，基础公式直接应用到几何性质综合计算| |组合体或旋转体的体积|4例+4变式|建筑模型、贯穿体、旋转体体积，涉及割补法|从简单组合到复杂旋转，通过空间想象转化为基本几何体体积和差| |体积比值问题|4例+4变式|棱台截割、旋转轴变化、几何体分割体积比|以体积公式为基础，通过比例关系、相似性质实现比值计算，深化逻辑推理|

期末复习：简单几何体的体积、组合体或旋转体的体积、体积比值问题专项训练 期末复习：简单几何体的体积、组合体或旋转体的体积、体积比值问题专项训练 考点目录 简单几何体的体积 组合体或旋转体的体积 体积比值问题 考点一 简单几何体的体积 例1．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（   ） A．12 B．15 C．36 D．45 例3．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高是______，其外接球表面积为______ 例4．（25-26高一下·山东烟台·阶段检测）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（     ） A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为 变式3．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 变式4．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．    考点二 组合体或旋转体的体积 例1．（2026·山东日照·模拟预测）自驾旅游已成为很多家庭节假日休闲娱乐的首选.小明一家人自驾旅行途中，看到一座特色建筑，小明根据实景绘制出该建筑的几何示意图，并且根据介绍标记了其中一些数据，如图所示（单位：m），建筑上半部分的侧棱长都相等，下半部分是正棱台，则该建筑上半部分与下半部分体积的比为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江西上饶·期中）有一个直角三角形ABC，两条直角边长分别为6和8，现绕其斜边旋转一周，形成的几何体的体积为__________. 例4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．    变式1．（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ）    A． B． C． D． 变式2．（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）如图所示，已知，将这个三角形以所在直线为轴旋转得到一个几何体，则该几何体的体积为_________. 变式4．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 考点三 体积比值问题 例1．（2026·陕西咸阳·二模）一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）等腰直角三角形中，，该三角形分别绕所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 例4．（25-26高一下·辽宁·期中）已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点．若球的表面积为，则多面体的体积为______． 变式1．（25-26高三下·浙江·开学考试）刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形，《九章算术·商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积，现有刍甍ABCDEF，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·福建龙岩·月考）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______. 变式4．（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱的底面为平行四边形，点分别为, 的中点， 直线与交于点，则几何体的体积与直四棱柱 的体积的比值为________.    2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：简单几何体的体积、组合体或旋转体的体积、体积比值问题专项训练 期末复习：简单几何体的体积、组合体或旋转体的体积、体积比值问题专项训练 考点目录 简单几何体的体积 组合体或旋转体的体积 体积比值问题 考点一 简单几何体的体积 例1．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该圆柱的底面半径为，高为， ，，得， 所以该圆柱的体积． 例2．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（   ） A．12 B．15 C．36 D．45 【答案】A 【详解】由题意，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 例3．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高是______，其外接球表面积为______ 【答案】 【分析】根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径，再利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 即该正四棱台的高为， 设外接球球心P到下底面中心O的距离为x，则P到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为R，则． 展开并化简：（负值舍去）， 则， 所以外接球表面积：. 例4．（25-26高一下·山东烟台·阶段检测）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 【答案】 【详解】取中点，连接， 已知底面是正三角形，故， 又底面，故， 又，平面， 故平面，又平面， ，故即为二面角的平面角， 所以， 已知，则， 在中，， 解得， ． 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据水升高部分的体积就是球的体积可得结果. 【详解】金属球的体积为． 圆柱形水杯的底面积为． 水面上升高度为． 变式2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（     ） A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为 【答案】D 【分析】根据扇环圆心角与上下底面周长的关系求出母线长，再依次计算圆台的高、表面积、体积，逐一判断选项正误即可. 【详解】设圆台母线长为 ，下底面半径为，上底面半径为，高为,侧面展开扇环的内侧半径为 ， 则外侧半径为 ，已知扇环圆心角为 ，那么 A：上底面周长 ， 由弧长公式得 ，解得 ； 下底面周长 ，同理 ， 代入 得 ，解得 ，故A正确； B：圆台侧面积 ，上底面积 ，下底面积 ， 总表面积 ，故B正确； C：圆台的高、母线、上下底面半径差构成直角三角形，故 高 ，故C正确； D：由圆台体积公式 ， 代入数据得 ，故D错误；      变式3．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 【答案】 【分析】由棱台体积公式进行求解． 【详解】由正四棱台得，上底面和下底面都为正方形， 则体积． 变式4．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．    【答案】 【分析】取的中点，连接，通过计算证明平面，从而将作为高，利用锥体体积公式求解. 【详解】取的中点，连接． 因为，所以为等边三角形， 所以，且． 同理，因为，所以为等边三角形， 所以，且． 在中，， 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面，即为四面体的高． 底面的面积． 所以四面体的体积．    考点二 组合体或旋转体的体积 例1．（2026·山东日照·模拟预测）自驾旅游已成为很多家庭节假日休闲娱乐的首选.小明一家人自驾旅行途中，看到一座特色建筑，小明根据实景绘制出该建筑的几何示意图，并且根据介绍标记了其中一些数据，如图所示（单位：m），建筑上半部分的侧棱长都相等，下半部分是正棱台，则该建筑上半部分与下半部分体积的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将上半部分的几何图形拆分为棱锥和棱柱，再利用体积公式，分别求出上半部分和下半部分的体积，最后求两者的比值. 【详解】由于上半部分的侧棱长都相等，并且下半部分是正棱台，所以这个图形是对称的， 先求上半部分的体积： 如图，由对称性得，在中，高， 在中，高， 由几何关系知也是上半部分总体的高， 从顶部线段的两个端点作垂直于底面的截面，将上半部分分为三部分： 中间是一个“直三棱柱”，两边拼起来是一个“四棱锥”， 如图： 所以， ， 故上半部分总体积为， 再求下半部分正棱台的体积： 上底面面积：，下底面面积：， 上、下底面中心到其顶点的距离分别为：，， 棱台的高， 所以棱台体积为， 所以，该建筑上半部分与下半部分体积比为. 例2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图，两个正四棱柱重叠部分为多面体， 取的中点I，则多面体可以分成8个全等小三棱锥， 例如三棱锥， 则，且平面， 则， 所以“垂直贯穿”构成多面体的体积为 .    例3．（25-26高二上·江西上饶·期中）有一个直角三角形ABC，两条直角边长分别为6和8，现绕其斜边旋转一周，形成的几何体的体积为__________. 【答案】π 【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可． 【详解】如图为直角三角形旋转而成的旋转体．    所以， ，， 所以， 又 . 例4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．    【答案】 【分析】由题意可得及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为一个圆台挖去一个圆锥的几何体，进而分别计算其体积可求得结论. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为， 因为，，，所以， 由，所以， 解得，所以，所以， 四边形绕y轴旋转一周得到一个圆台， 此圆台的上下底面半径分别为，，高为， 所以圆台的体积为， 三角形绕y轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的底面半径为，高为， 所以， 又及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆台挖去一个圆锥， 所以该几何体的体积为. 故答案为：.    变式1．（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 变式2．（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以. 变式3．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）如图所示，已知，将这个三角形以所在直线为轴旋转得到一个几何体，则该几何体的体积为_________. 【答案】 【分析】过点C作延长线的垂线，确定旋转体为半个大圆锥减去半个小圆锥，其体积利用圆锥体积公式求解. 【详解】如图，过点C作交延长线于D， 因为,，， 在中，，，， 将该三角形以所在直线为轴旋转得到的几何体， 其体积等于以为底面半径，为高的圆锥体积的一半，减去以为底面半径，为高的圆锥体积的一半； 设旋转后的几何体的体积为，则， 故几何体的体积为. 变式4．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 【答案】 【详解】如图， 直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体是圆台， 且圆台上底面面积,下底面圆的面积为，圆台的高为. 因此，该圆台的体积. 绕直线旋转一周形成的几何体为圆锥， 且该圆锥的底面圆的面积为，圆锥的高为，因此，该圆锥的体积为, 故所求几何体的体积. 考点三 体积比值问题 例1．（2026·陕西咸阳·二模）一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正四棱锥的相似性质求得截面正方形边长，再利用棱台体积公式分别计算上下两部分棱台的体积，最终求比值即可. 【详解】首先将正四棱台补为正四棱锥，设补出的小棱锥高为， 由上下底面边长比为，且棱台的高为，由相似多边形的性质得，解得. 由于平面平分棱台的高，故截面与棱台上底面的距离为，截面所在棱锥的高为， 由相似比得截面边长，上下两部分棱台的高均为， 根据棱台体积公式， 上部分棱台：上底面积，下底面积，高， 则 下部分棱台：上底面积，下底面积，高， 则. 因此体积比为. 例2．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）等腰直角三角形中，，该三角形分别绕所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出几何体，结合圆锥的体积公式求解，则问题得解. 【详解】根据题意，作图如下： 设等腰直角三角形的一条直角边长为1，则斜边长为． 以为轴旋转，得到圆锥，其体积为； 以为轴旋转，得到两个同底的圆锥， 其体积． 故个几何体的体积之比为． 故选：B． 例3．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【答案】 【详解】如图所示，连接. 因为，所以梯形和梯形的面积相等， 所以四棱锥和四棱锥的体积相等； 因为，所以点到平面和平面的距离相等， 因为和的面积相等， 所以三棱锥和三棱锥的体积相等. 所以， 因为， 所以几何体的体积等于. 例4．（25-26高一下·辽宁·期中）已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点．若球的表面积为，则多面体的体积为______． 【答案】/ 【分析】首先利用正四面体和球的关系，利用正弦定理求出正四面体的棱长及，作，利用几何关系得到，再利用体积公式及比列关系求出多面体的体积即可． 【详解】设球的半径为，由，得， 依题意，三棱锥为正四面体，且， 设正四面体的棱长为．在等边三角形中， 由正弦定理可得，即，解得， 因为平面，平面，所以， 所以， 作，垂足为H，在中，由， 得， 所以在中，， 因为，， 所以为线段的中点，所以，所以， 依题意，多面体为正三棱台， 所以，即， 又， 所以正三棱台的体积为， 故答案为：． 变式1．（25-26高三下·浙江·开学考试）刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形，《九章算术·商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积，现有刍甍ABCDEF，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意中的体积公式分别求出总体积和上部分的体积，即可求解. 【详解】由，得， ，所以， 所以上下体积之比为. 故选：D． 变式2．（25-26高一下·福建龙岩·月考）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______. 【答案】 【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点，可知点为棱的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比. 【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点. 由于，，再结合棱柱的性质，可得， 一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径， 为的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时， 两部分几何体的体积比为：. 故答案为：. 变式4．（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱的底面为平行四边形，点分别为, 的中点， 直线与交于点，则几何体的体积与直四棱柱 的体积的比值为________.    【答案】 【分析】连接，证得四点共面，得到，设，求得和，再设点到平面的距离为，得到点到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为点分别为, 的中点，可得， 又因为，所以， 因为在上，所以四点共面，所以， 由与相似，且为的中点，可得， 所以， 设，所以， 因为，所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 所以， 所以， 又因为， 所以几何体的体积与直四棱柱的体积比为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $