湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期第18周每日一练数学训练卷

**基本信息** 本训练卷为高中数学期末综合训练，涵盖代数、几何、统计等模块，以题载知，注重知识间逻辑关联与核心素养考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|6（1,2,3,5,7,8）|概念辨析与运算|复数、集合等基础概念→函数性质、数列构造等综合应用，体现数学思维的逻辑性| |几何|5（4,6,9,11,14）|空间想象与解析运算|立体几何（圆台、三棱锥）与解析几何（双曲线、抛物线）结合，展现空间形式与数量关系的转化| |统计与概率|2（15,17）|数据处理与模型应用|频率分布直方图、二项分布等统计方法，解三角形实际应用，培养数据意识与模型观念|

利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第18周 题号 1 2 3 4 J 6 个 8 9 10 11 答案 B C A A B A A ABD AC BCD 一、单选题 1.复数z=1+i 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B【详解】依题意，复数2=Q+ 8 =-1+i,所以复数z对应的点(1，山位于第二象限。 2.已知集合M={-2,-1,0,12},S={x∈N|x2-x-6≤0，则MOS=() A.{01,2,3} B.1,2} C.{0,1,2} D.{-2,-1,01,2,3} 【答案】C【详解】因为x2-x-6≤0，解得-2≤x≤3， 所以S={x∈N|x2-x-6≤0}={x∈N-2≤x≤3}={0,12,3}，所以MOS=0,1,2} 3.已知向量a,6满足|a=3,且a+b=ā-b=5,则b的值为() A.4 B.2 C.8 D.-2 【答案】A【详解】由a+bla-=5,所以+2a.b+B2=-2a.6+b?=25, 所以a6=0,+B2=25,所以a+=25,又a=3,所以=V25-a=V25-32=4. 4.已知点(-2同).（2月)，(4.5)，（-v)中有3个点在双曲线c等岁-1as06>0上，则双曲 线C的渐近线方程为() A.y=±x B.y=±√2x C.y=±3x D.y=±V15x 【降案4年解1报品双进线对得佳知点(2固(2)、西在以线C子言-a>0b>0上 [43 则/8京1 a=1 1615. 解得 a6-1 b-1,且双曲线C的焦点在x轴上，所以双曲线C的渐近线方程为y=t“. 5.已知o(a+月=0，sn0-}则m2a=（) c.22 D.-22 9 9 【答案】B【详解】由cos(a+B)=0得u+B=C+m,keZ,所以2a=π+2km-2B,c0s2a=cos(π-2B), 于是coga=-o(ep）=2a知0-1=-号 故选：B 试卷第1页，共12页 6.已知圆台的母线与底面所成的角为60°，其内切球的体积为36π，则该圆台的体积为() A.48π B.36V3π C.78π D.483π 【答案】C【详解】作出圆台的轴截面ABCD,如图， 设圆台的上底面的圆心为O,半径为r,下底面的圆心为O2,半径为R,高为， B 内切球的球心为0，半径为R.由内切球的体积为36m,可得号R=36m, 解得R=3,所以圆台的高h=2R=6,因为∠DAB=60°， 所以在Rt△OAO2中，∠OAO2=30°，OO2=3,所以R=3√5，同理求得r=√5， 所以圆台的体积V-专+R+RhB9+2刃x6=78r 7.将1,2,3，，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2 倍，则不同的分组个数为() A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】A【详解】甲、乙两组各5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第3个数，设为 a,乙组的第75百分位数是乙组的第4个数，设为b.由题意，b=2a,3≤a≤4，故b=6或b=8, 当b=8时，a=4,该分组个数为CCC=18(在1,2,3中选2个数，5,6,7中选1个数，9,10中选 1个数，与a=4组成甲组)， 当b=6时，α=3，则甲组的中位数为3，甲组必须包含1和2；乙组的第75百分位数为6，乙组必须有3 个小于6的数，由于1,2,3均在甲组，乙组只有2个小于6的数(4,5)，故此情况不成立. 综上，不同的分组个数为18.故选：A. 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)为偶函数，且当x∈[0,1]时，f(w)=2-1,则fog24)=() A.月 D.青 【答案】A 【分析】由题意得出函数周期为4，根据x∈[0，]的解析式，结合对数恒等式即可求解. 【详解】因为f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(x+),所以f(x+2)=f(-x), 又f(x)是奇函数，则f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x) 所以(x)是周期为4的周期函数，又因为1og224∈1og,16,1og232)=4,5) 所以0e,20=0g24-0=0g)--1号-1 故选：A. 试卷第2页，共12页 二、多选题 9.记圆M:(x-1)+y2=2,圆N:(x-2)+(y-1)=4a2,则() A.MW=√2 B.若坐标原点在圆M上，则点(O,1)在圆N上 C.若圆M与圆N内切，则a=√2 D.当a=1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y-1=0 【答案】ABD 【详解】A选项，圆M的圆心为M(1,0),圆N的圆心为N(2,),则MW=V(2-1)+(1-0)=√2，A正确： B选项，若坐标原点在圆M上，则(0-1)+0=㎡，故ad2=1,故圆N的方程为(x-2)+(y-1=4, 将(0,1)代入可得(0-2)+1-1)=4，故点(0,1)在圆N上，B正确： C选项，圆M的圆心为M(10),半径为4，圆N的圆心为W(2,1),半径为2d,由A知，W=√2， 若圆M与圆N内切，则2ld-d=V2,解得a=±√2，C错误； D选项，a=1时，圆M:(x-1+y2=1,圆N:(x-2)+(y-1)=4,两圆相减得2x+2y-1=0,D正确 10.在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的 和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1,2进行构造，第1 次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2第n次得到数列1，，5，，，，2，…记 a=1+5+5++x+2,数列{a}的前n项为Sn,则() A.k=2”-1 B.a4=3a3-1 c.a-0+川 D.8=3+21-3) 【答案】AC【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时k=1 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时k=3 第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时k=7 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时k=15 第次得到数列1，x1,2,,,xk,2此时k=2”-1,故A项正确： a=3+3 4=3+3+9 结合A项中列出的数列可得： 4=3+3+9+27 →an=3+32+32++3"(n∈N*) a4=3+3+9+27+81 用等比数列求和可得a:3+33 2 试卷第3页，共12页 则a=3+369--3+3-343 2 2 2 2 [23(3”-1 又30-3=33+ 2 3=9+393=3+3 22 22 所以a+1=3an-3,则a4=3a-3，故B项错误： 由B项分析可知a,=3 3③-_3(3+少，放C项正确， 220 3233）3 32(1-3"） Sn=4+4+43++4= 2+2 2十2”-1-3+3n 3309-33+23）,故D错 n4244 2 2 1 11.己知O为坐标原点，抛物线E的方程为y=二x2,E的焦点为F,直线1与E交于A,B两点，则下列 4 结论正确的是() A.E的准线方程为y=-16/ B.若AB的中点到x轴的距离为2，则AB的最大值为6 C.若亚-2，则直线AB的方程为)=±+1 4 D.若OA⊥OB,则△AOB面积的最小值为16 【答案】BCD【详解】由题意知E的标准方程为x=4y,故E的准线方程为y=-1,A错误； 设AB的中点为M,分别过点A,B,M作准线的垂线，垂足分别为C,D,N, 因为M到x轴的距离为2，所以MW=2+1=3, 由抛物线的定义知AC=AF,BD=|BF,所以2N=AC+BD=AF+BF=6. 因为AF+BF≥AB,所以AB≤6，所以B正确： 由AF=2FB得直线AB过点F(O,1),直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y=c+1,联立方程得 负化食衡血4=0 则x4x=4.由于AF=2FB,所以(-x4,1-y4)=2(x8,yB-1),得xa=-2x, 得=25，所以4-2 所以k=士5，直线4B的方程为y=土2x+,故C正确： 4 试卷第4页，共12页 设A(31),B(x2,y2),由OA⊥OB,得2+y=0,又 4 =4 所以y+启5广-0，自题查知620，所以6=6 又k如=当当-44+名，故直线AB的方程为y-片=中5(x-5) 4 21x2-14 由于=，所以y=+x-5=+x+4, 4 4 44 则直线4B恒过点(Q4到，所以Sae×4-=2(++64≥16. 所以△AOB面积的是小值为16，故D正确.故选：BCD. 三、填空题 12.已知数列{a}为等差数列，Sn为{g}的前n项和，若4+a4+44+425=4,则S27= 【答案】2027【详解】由等差数列性质知4，+a025=a4+424, 则4+as=2,S7= 027×(4+4m1)2027×a+45）2027. 2 2 13.已知关于x的方程V2-1=-x+a. (1)若x>1时，方程有解，则实数a的取值范围是 (2)若方程有两解，则实数α的取值范围是 【答案】 1,+m) (-1,0)U1U{2} 【详解】令y=2-可， 当x2-1≥0，即x≤-1或x≥1时，y=VR-1,整理可得x2-y2=1(y≥0)，此时y=2-1表示的图象是 双曲线x轴的上方部分， 当x-1<0,即-1<x<1时，y=-，整理可得+y=1(y≥0)，此时y=√2-1表示的图象是以原 点为圆心，1为半径的圆的上半部分， 则可画出y=2-1的函数图象如下 )当x>1时，方程有解，即y=小-与y=-+a在x>1的部分有交婆· A 2-可 当直线y=-x+a经过点B(1,0)时，a=1,，则观察图象可得a>1: C (2)若方程有两解，即y=V2-1与y=-x+a的图象有2个交点， B 可知y=-x+a与双曲线的一条渐近线y=-x平行，且y=-x与函数只有1个交点， 当直线y=-x+a经过点A(-1,0)时，a=-1,此时有1个交点， 试卷第5页，共12页 则观察图象可得，当直线y=-x+a在y=-x和y=-x-1之间时，有2个交点，满足题意，此时-1<a<0, 当直线y=-x+a过B(1,0)时，有2个交点，满足题意，此时a=1: 当直线y=-x+与圆部分相切与点C时，有2个交点，满足题意，此时 a =1,解得a=±2（舍负)， 14.在三棱锥P-ABC中，PA1AB,PA=12,AB=16,PC=10W2,∠PBC=45°，则三棱锥P-ABC 外接球的体积为 【答案】4000x 3 【分析】由勾股定理先算出PB,再根据正弦定理判断出△PBC是以PB为斜边的等腰直角三角形，结合 PA⊥AB,可知PB中点O即为球心位置，求出半径即可求出体积 【详解】解：如图，因为PA1AB,PA=12,AB=16,所以PB=√122+162=20， PC 10W2 20 PB 在△PBC中，由正弦定理 si∠PBCsin∠PCB,即V2 sin∠PCB, 2 所以sin∠PCB=1,则∠PCB=90°， 取PB中点0，连接Q1,oC,则0A=0B=0C=0P=PB, B 即O为三棱锥P-ABC外接球得球心，外接球的半径R=PB=10, 2 所以三棱锥P-ABC外接球的体积V=4R=4000 3 3 四、解答题 15.近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并 分别在A,B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等 方式，向小区居民和社会各界宜传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期 召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动：方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾 回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一 系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分 类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100 名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组： [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),B0,90)[90,100,并整理得到如下频率分布直方图： 频率 组距 频率 0.040--- 组距 0.032 0.030 88 0.010----- 0.005 405060708090100分数 405060708090100分数 A小区方案 B小区方案二 试卷第6页，共12页 (1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居 民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）： (2)估计A小区满意度得分的第80百分位数： (3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞 成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数 学期望， 【答案】(1)方案一，二的满意度平均得分分别为72.6,76.5，且方案二的措施更受居民欢迎： (2)第80百分位数为85分：(3)分布列见解析，4 【详解】(1)设A小区方案一的满意度平均分为x,设B小区方案二的满意度平均分为y, 则x=(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.032+85x0.020+95×0.010)×10=72.6, 则y=(45×0.005+55×0.005+65×0.010+75×0.040+85×0.030+95×0.010)×10=76.5, 因为72.6<76.5，所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎： (2)因为前4组的频率之和为0.06+0.14+0.18+0.32=0.7<0.8， 前5组的频率之和为0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8，所以第80百分位数在第5组， 设第80百分位数为x,则0.7+(x-80)×0.020=0.8,解得x=85, 所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分： (3)由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为(0.040+0.030+0.010)×10=0.8，低于70分的频 率为(0.005+0.005+0.010)×10=0.2， 4 现从B小区内随机抽取5个人，则X-B55, X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， P(x-- 1024 3125 所以X的分布列为 0 1 2 4 1 4 32 128 256 1024 P 3125 625 625 625 625 3125 由二项分布知数学期望E(X)=5x 4 4 试卷第7页，共12页 I6.如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,M,N分 别是AD,CP的中点 (1)证明：PM⊥BD;(2)若PA=AD=AB=2CD=2,求直线MN与平面PBC所成角的正弦值， 【答案】（①证明见解析（②4型 7 【详解】(1)，PA=PD,M是AD的中点，PM⊥AD, 又，平面PADL平面ABCD且交于AD,PMC平面PAD,·PM⊥平面ABCD, 又BDC平面ABCD,.PM⊥BD ZA (2)取AB的中点E,,PA=AD=AB=2CD=2, ∴.PM=√3，BE=CD=1,且CD∥BE,BC⊥BE, 四边形BCDE是矩形，DE LAB, 因此△ABD是正三角形，∴.BM⊥AD,BM=V5,BC=√5 如图所示，建立空间直角坐标系 则wao,e50l.c要小ea同.f99】 99)丽-.元-(9 [5y-5z=0 这面P3C的法向量i(3,则有3x+3z=0令v=3,则=v3,1, 2 故i=（1,V5,VB)为平面PBC的一个法向量. MN.i 由cos, V42 (3+( 所以直线N与平面PBC所成角的正弦值为√4 7 17.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=b(tanAsinC-cosC) (1)判断△ABC的形状并证明； (2)若c=V3,a=1,M为边AB上一点，且∠ACM=∠BCM,求CM 【答案】(4)等腰三角形或直角三角形（②2或2√2-2 试卷第8页，共12页 【详解】(1)由正弦定理和己知条件可得sinA=sinB sinA -sin C-cos C cos A =sin B sin AsinC-cosAcosC sin Bcos(+C) sin Bcos (-B)sin Bcos B cosA cosA cosA cosA 变形得sin AcosA=sin Bcos B,于是有sin2A=sin2B,则2A=2B即A=B 或24+2B-x即4+B-号，放。MBC为等腰三角形或直角三角形 (2)依题意可知CM为角C的角平分线，利用SBc=SACw+S.cw可得 absinC-aCMsmnC+bCMsinC--(a+bYCMsinC 1 2 22 22 2 即CM=absinc=ab2sim 2C0P2_200a a+b sin -coS a+b sin a+b 2 2 2 当△ABC为等腰三角形时，a=b=1,由余弦定理可得 cosC-。+b2-C-1即C=120°，所以cM-2cos60= 2ab 2 2 2 当△ABC为直角三角形时，a2+b2=c2且C=90°， 得6-B可=万，所以CM=2aN5os45°=221-2W2-2, √2+1 V2+1√2 综上所述CM=或22-2 2 18.已知椭圆g:+y2=1,0为坐标原点， 4 (1)求椭圆E的焦点坐标和离心率： (②设直线1：y=+与稀圆日交于4B两点，记弦4G的中点为M,求点M的轨迹方程： (3)求△OAB面积的最大值. 【答案】)焦点坐标为(5.0，(5.，0，离心率为52r+4-2y=06)5 2 【详解】(1)由题意知d=4,b=1,则c2=d-b2=3,由a>0,c>0,则a=2,c=√3， 所以，椭圆的焦点坐标为(5.0），（5.0)，离心率e=C- (2)设A(5,),B(52),M(xy), M y=+ 联立 2 B 1 4k 3 整理得1+4k)+4-3=0,则+名=1+4依，6=1+4报· 试卷第9页，共12页 点M为AB中点，所以由中点坐标公式可得x=5+飞=一 2k 21+4k2 又点M在直线上，所以=红+分，则当x≠0，k-2, 2k 代入x=1+4,化简整理得x+4-2y=0, 当=0时，直线为y子此时中点为0) 2 代入方程0+4× 1 -2×分0成立，满足方程 因此，点M的轨迹方程为x2+4y2-2y=0. 4k 3 (3)由(2)知车+书=1+4依，5=1+4状： 所以AB=+kV+广-4x,=1+F 4k 3 1+4k2 1+4k2 化简得A=21+V16+3 1+42 设点O到直线l的距离为d,则d= 2Wk2+1 所以8a44d-;×2+V1a+ .1 √162+3 2 1+42 2√k2+121+42） 令1=i6k+32V月，则4k2=P-3 4 2t 所以a8 t 2 21+ ,t2-3 2+1t+ 4 易知函数y=t+二在t≥1时单调递增，因为t≥√3， 所以当1=3时，1+取最小值，为5+-45 √33 23 此时S取最大值，为432.因此，△OAB面积的最大值为 2 19.已知函数f)=e-ax-18k)=血1+) (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求实数a的值： 回s创车一>0车0)1相成，求经数付取位类合 3)求证：】 n1+6+叨>2m-3. 试卷第10页，共12页 【答案】(1)e(2)k∈{红，2,3}(3)证明见解析 【分析】(1)求出导函数，利用导数的几何意义得∫'(I)=c-a=0,即可得解： （②)参变分窝得<+1+(+(+.xel0,设M1++I血+山E0列，结合 零点存在性定理多次求导得h(e)n=h(a)=a+l∈(3,4)，即可求解： (3)由(2)知nx+1)>2x-1-2-3 x+1 2x中7：令c=n+),进而n[1+n6m+1]>2-31-1） nn中利用放 缩法，累加求和即可证明. 【详解】(1)因为f(x)=e-a,所以f'(1)=e-a, 由于曲线y=∫(x)在点(1，f()处的切线与x轴平行，所以f'(I)=0,即a=e; 2h于点>0在Q1时上缸成立， 即+l血1+9、k在(0，+)上恒成立， x+1 即k<+1+K+1)hc+ 2,xe(0,+o) 设y=+1+(c+)血(x+,E0,+切)， 所以rx)=X-1-血x+.>0), x2 令r(闲)=x-1-h(x+1,则r()=1-1=>0.>0), x+1x+1 即r(x)在(0，+o)为增函数， 又r(2)=1-lh3(0,r(3)=2-2n20. 即存在唯一的实数根a,满足r(ad)=0,且a∈(2,3)， 当x>a时，r(x)>0,h(x)>0,当0<x<a时，r(x)<0,h(x)<0, 即函数h(x)在(0，ad为减函数，在(a,+∞)为增函数， 则(x)m=ha)=a+1+a+1)l血a+1) a 由于r(a)=a-1-h(a+1)=0,且ae(2,3), 所以a-l=h(a+l),所以h(x)m=h(a)=a+1e(34), 故k∈{1,2,3}： 试卷第11页，共12页 (3)由(2)知，h)-+1+1血+少36>0)， 所以n(+1)2x=1=2-3 x+1 r+1, 令x=n(n+l),neN, 则-a2m2-2后 所以ln(1+1×2)+h(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] 2--:6+23 放n+i+]2m-3. 试卷第12页，共12页此卷改编自2026年新高考Ⅱ卷 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第18周 一、单选题 1.复数：-中在复平面内对应的点位于《) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合M={-2,-1,0,1,2},S={x∈N|x2-x-6≤0}，则MOS=( A.{0,12,3} B.1,2} C.{0,1,2} D.{-2,-1,0,1,2,3} 3.已知向量a,满足a=3,且a+bHa-b=5,则1b1的值为() A.4 B.2 C.8 D.-2 4F知点2何.(2-可.a.-同)有3个点在双谁线c兰若-aab>0L。 则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±x B.y=t√2x C.y=±V3x D.y=±V15x 5,已知cos(a+)=0,sim6=则cos2a=0 、7 B. C.22 D.-22 9 9 6.已知圆台的母线与底面所成的角为60°，其内切球的体积为36π，则该圆台的体积为() A.48π B.36√3元 C.78元 D.48√3元 7.将1,2,3，.，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数 的2倍，则不同的分组个数为() A.18 B.20 C.22 D.24 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)为偶函数，且当x∈[0,1]时，f(w)=2-1,则f0og24=() A月 B c.} 二、多选题 9.记圆M:(x-1+y2=a2,圆N:(x-2)}+(y-1}=4a2,则( A.W=2 B.若坐标原点在圆M上，则点(0,1)在圆N上 C.若圆M与圆N内切，则a=√2 D.当a=1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y-1=0 高三数学试卷第1页共4页 10.在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两 项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1,2进行构 造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2，…：第n次得到数列1，，，，，，2.记 g=1++x+++2,数列{a}的前n项为S,则() A.k=2”-1 B.44=3a-1 c.a-36+0 D.8-6+2n-3列 山.已知0为坐标原点。抛物线g的方程为术，8销焦点为，直线佔因交于4,5两点，则 下列结论正确的是() A.E的准线方程为y=-1 16 B.若AB的中点到x轴的距离为2，则AB的最大值为6 C.若=2丽，则直线AB的方程为y=±5x+1 4 D.若OA⊥OB,则△AOB面积的最小值为16 三、填空题 12.已知数列{a}为等差数列，Sn为{a}的前n项和，若4+4+424+425=4，则S27= 13.己知关于x的方程V2-1=-x+a. (1)若x>1时，方程有解，则实数a的取值范围是 (2)若方程有两解，则实数a的取值范围是 14.在三棱锥P-ABC中，PALAB,PA=12,AB=16,PC=10W2,∠PBC=45°，则三棱锥P-ABC 外接球的体积为 四、解答题 15.近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案， 并分别在A,B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣 传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时 间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动：方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分 类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动 称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等， 激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这 两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分）， 高三数学试卷第2页共4页 将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，B0,90)[90,100,并整理得到如下频率分布直方图： 频率 频率 组距 0.040 组距 0.032----- 0.030 0.020 0.018 004----- 0.010---- 0.010 0.006- 0.005 405060708090100分数 405060708090100分数 A小区方案 B小区方案二 (1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更 受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）： (2)估计A小区满意度得分的第80百分位数； (3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不 太赞成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的 分布列及数学期望， 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,MN 分别是AD,CP的中点： (1)证明：PM⊥BD: (2)若PA=AD=AB=2CD=2,求直线N与平面PBC所成角的正弦值 17.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=b(tanAsinC-cosC) (1)判断△ABC的形状并证明： (2)若c=√3，a=1,M为边AB上一点，且∠ACM=∠BCM,求CM. 高三数学试卷第3页共4页 18.已知椭圆B:+y=1,0为坐标原点。 4 (1)求椭圆E的焦点坐标和离心率； (2)设直线1：y=&+】与椭圆B交于A,B两点，记弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程： 2 (3)求△OAB面积的最大值. 19.已知函数f)=e--bg)人血1+ (1)若曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求实数a的值： (②若8创小年0在0+上恒成立，求鉴数4的取值集合 (3)求证：∑n[1+i(+1)]>2n-3. 高三数学试卷第4页共4页 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第18周 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A A B C A A ABD AC BCD 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】依题意，复数，所以复数对应的点位于第二象限. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，解得， 所以，所以. 3．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】由，所以， 所以，，所以，又，所以． 4．已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】根据双曲线对称性可知点,,在双曲线上， 则，解得，且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以，， 于是 . 故选：B. 6．已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出圆台的轴截面ABCD，如图， 设圆台的上底面的圆心为，半径为，下底面的圆心为，半径为，高为， 内切球的球心为，半径为. 由内切球的体积为，可得， 解得，所以圆台的高，因为， 所以在中，，，所以，同理求得， 所以圆台的体积. 7．将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【详解】甲、乙两组各5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第3个数，设为，乙组的第75百分位数是乙组的第4个数，设为. 由题意，，，故或， 当时，，该分组个数为（在1，2，3中选2个数，5，6，7中选1个数，9，10中选1个数，与组成甲组）， 当时，，则甲组的中位数为3，甲组必须包含1和2；乙组的第75百分位数为6，乙组必须有3个小于6的数，由于1, 2, 3均在甲组，乙组只有2个小于6的数（4,5），故此情况不成立． 综上，不同的分组个数为18． 故选：A. 8．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出函数周期为4，根据的解析式，结合对数恒等式即可求解． 【详解】因为为偶函数，所以，所以， 又是奇函数，则，所以. 所以是周期为4的周期函数，又因为 所以. 故选：A. 二、多选题 9．记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】ABD 【详解】A选项，圆的圆心为，圆的圆心为，则，A正确； B选项，若坐标原点在圆上，则，故，故圆的方程为， 将代入可得，故点在圆上，B正确； C选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由A知，， 若圆与圆内切，则，解得，C错误； D选项，时，圆：，圆：，两圆相减得，D正确. 10．在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 第次得到数列1，，2 此时，故A项正确； 结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得 则 又 所以 ，则，故B项错误； 由B项分析可知，故C项正确. ，故D错. 11．已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．的准线方程为 B．若的中点到轴的距离为2，则的最大值为6 C．若，则直线的方程为 D．若，则面积的最小值为16 【答案】BCD【详解】由题意知的标准方程为，故的准线方程为， A错误； 设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，， 因为到轴的距离为2，所以. 由抛物线的定义知，，所以. 因为，所以，所以B正确； 由得直线过点，直线的斜率存在， 设直线的方程为，联立方程得化简得， 则.由于，所以，得， 得，所以， 所以，直线的方程为，故C正确； 设，，由，得，又 所以，由题意知，所以. 又，故直线的方程为. 由于，所以， 则直线恒过点，所以， 所以面积的是小值为16，故D正确.故选：BCD. 三、填空题 12．已知数列为等差数列，为的前项和，若，则______． 【答案】2027 【详解】由等差数列性质知， 则． 13．已知关于x的方程． （1）若时，方程有解，则实数a的取值范围是_________． （2）若方程有两解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】令， 当，即或时，，整理可得，此时表示的图象是双曲线轴的上方部分， 当，即时，，整理可得，此时表示的图象是以原点为圆心，1为半径的圆的上半部分， 则可画出的函数图象如下： （1）当时，方程有解，即与在的部分有交点， 当直线经过点时，，则观察图象可得； （2）若方程有两解，即与的图象有2个交点， 可知与双曲线的一条渐近线平行，且与函数只有1个交点， 当直线经过点时，，此时有1个交点， 则观察图象可得，当直线在和之间时，有2个交点，满足题意，此时， 当直线过时，有2个交点，满足题意，此时； 当直线与圆部分相切与点C时，有2个交点，满足题意，此时，解得（舍负）， 14．在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的体积为________ 【答案】 【分析】由勾股定理先算出，再根据正弦定理判断出是以为斜边的等腰直角三角形，结合，可知中点即为球心位置，求出半径即可求出体积. 【详解】解：如图，因为，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则， 取中点，连接，则， 即为三棱锥外接球得球心，外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积. 四、解答题 15．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：并整理得到如下频率分布直方图： (1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）； (2)估计A小区满意度得分的第80百分位数； (3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)方案一，二的满意度平均得分分别为72.6，76.5，且方案二的措施更受居民欢迎； (2)第80百分位数为85分； (3)分布列见解析，4. 【详解】（1）设A小区方案一的满意度平均分为，设B小区方案二的满意度平均分为， 则， 则， 因为，所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎； （2）因为前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为，所以第80百分位数在第5组， 设第80百分位数为x，则，解得， 所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分； （3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为，低于70分的频率为， 现从B小区内随机抽取5个人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， ，，，，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 由二项分布知数学期望． 16．如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.  (1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵，是的中点，∴， 又∵平面平面且交于，平面，∴平面， 又平面，∴. （2）取的中点E，∵， ∴，，且，， ∴四边形是矩形，∴， 因此是正三角形，∴，，. 如图所示，建立空间直角坐标系 则，，，，， ∴，，， 设平面的法向量，则有，令，则，， 故为平面的一个法向量. 由 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断的形状并证明； (2)若，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2)或 【详解】（1）由正弦定理和已知条件可得 ， 变形得，于是有，则即 或即，故 为等腰三角形或直角三角形. （2）依题意可知为角的角平分线，利用可得 ， 即， 当 为等腰三角形时，，由余弦定理可得 即，所以， 当 为直角三角形时，且， 得，所以， 综上所述或. 18．已知椭圆，为坐标原点． (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)焦点坐标为，，离心率为 (2) (3) 【详解】（1）由题意知，，则，由，，则，， 所以，椭圆的焦点坐标为，，离心率. （2）设，，， 联立，消去得， 整理得，则，， 点为中点，所以由中点坐标公式可得， 又点在直线上，所以，则当，， 代入，化简整理得， 当时，直线为，此时中点为， 代入方程成立，满足方程， 因此，点的轨迹方程为. （3）由（2）知，， 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以. 令，则， 所以， 易知函数在时单调递增，因为， 所以当时，取最小值，为， 此时取最大值，为. 因此，面积的最大值为. 19．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若在上恒成立，求整数的取值集合； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义得，即可得解； （2）参变分离得，设，结合零点存在性定理多次求导得，即可求解； （3）由（2）知，令，进而，利用放缩法，累加求和即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 由于曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即； （2）由于在上恒成立， 即在上恒成立， 即， 设， 所以， 令，则， 即在为增函数， 又． 即存在唯一的实数根，满足，且， 当时，，，当时，，， 即函数在为减函数，在为增函数， 则， 由于，且， 所以，所以， 故； （3）由（2）知，， 所以， 令， 则， 所以 ， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $此卷改编自2026年新高考II卷 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第18周 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，且，则的值为（     ） A．4 B．2 C．8 D． 4．已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 7．将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（     ） A．18 B．20 C．22 D．24 8．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．记圆：，圆：，则（     ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 10．在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（     ） A． B． C． D． 11．已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，则下列结论正确的是（     ） A．的准线方程为 B．若的中点到轴的距离为2，则的最大值为6 C．若，则直线的方程为 D．若，则面积的最小值为16 三、填空题 12．已知数列为等差数列，为的前项和，若，则______． 13．已知关于x的方程． （1）若时，方程有解，则实数a的取值范围是_________． （2）若方程有两解，则实数a的取值范围是_________． 14．在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的体积为_________． 四、解答题 15．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：并整理得到如下频率分布直方图： (1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）； (2)估计A小区满意度得分的第80百分位数； (3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望． 16．如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.   (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断的形状并证明； (2)若，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 18．已知椭圆，为坐标原点． (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)求面积的最大值． 19．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若在上恒成立，求整数的取值集合； (3)求证：． 高三数学试卷 第1页 共2页 答案第1页，共2页 高三数学试卷 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 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