2025-2026学年高二下学期期末数学模拟卷

**基本信息** 覆盖高考核心模块，注重数学思维与应用，如统计题结合新能源汽车销量、排列组合融入五声音阶文化，解答题综合函数、立体几何、概率与抛物线，适配高二期末复习与高考衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、函数图像、双曲线等|基础概念与几何直观结合，如向量投影、函数图像识别| |多选|3/18|概率统计、圆方程|考查逻辑推理，如正态分布性质、圆的对称与距离| |填空|3/15|等比数列、五声音阶排列、导数最值|文化传承与数学抽象，如五声音阶排列计数| |解答|5/77|数列综合、函数极值、立体几何、独立性检验、抛物线|综合应用与模型意识，如食品厂质检独立性检验、抛物线斜率与定值问题|

2026年高二下学期期末模拟卷 数学答案 1.【答案】  【解析】解： ． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属于基础题． 利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】解：． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由题意，，， 所以在上的投影向量为：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，属于基础题． 直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果． 【解答】 解：根据函数的解析式， 由， 得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除和； 当时，函数的值为，故排除． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：， 展开式通项公式为 由， 可得的系数是． 故选： 6.【答案】  【解析】解：即， 可知直线与函数的图象有两个交点，， ， 当时，，故，单调递增， 当时，，故，单调递减， 又，当时， ；当时， ， 则 ． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 根据数表求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答． 【解答】解：由已知，回归直线方程为过样本点中心， ，即，． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用解直角三角形和两直线的夹角求法，考查运算能力，属于中档题． 运用勾股定理，可得，设出直线：，直线：，设的倾斜角为，的倾斜角为，则，由两角差的正切公式，可得，求得，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：在直角三角形中，，， 可得， 可得， 直线：，直线：， 设的倾斜角为，的倾斜角为， 则， ， 化简可得， 即有． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项分布的方差、正态分布中方差的意义、回归分析及独立性检验的相关概念，属于基础题. 根据二项分布的方差公式、正态分布中方差的意义、回归分析及独立性检验的相关概念求解即可. 【解答】对于A，，所以，故A正确; 对于B,随机变量X~N(,),当不变时,越小,说明数据离散程度越小， 该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故B不正确； 对于C,用决定系数来比较两个模型拟合效果,越大,表示残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故C正确； 对于D,在独立性检验中，当 （ 为 的临界值）时，推断零假设 不成立，故D正确.故选ACD. 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，考查相交弦长，对称圆的方程的求法，圆上的点到原点的距离的最值，属于中档题． 求得已知圆的圆心和半径，可求圆关于直线对称的圆的方程判断；求得直线与圆的相交弦长可判断；由已知可得圆心到直线的距离小于，可求判断可求圆上的点到原点距离的最大值和最小值，平方后可得的范围判断． 【解答】 解：圆：的圆心为，半径， 圆心关于对称点， 圆关于直线对称的圆的方程为，故A正确； 圆心到直线的距离，弦长为，故B错误； 圆上有四个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离小于， 即，解得，故C正确； 圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最大值为， 最小值为，的意义为圆周上的点到原点距离的平方， 的最大值为，的最小值为； 不正确． 故选AC． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面垂直的证明，三棱锥的体积变化问题，线面角的变化问题，球的截面面积的求解，点面距离的向量求法，属于难题． 根据线面垂直的判定定理，三棱锥的体积公式，线面角的求法，坐标法求点面距，即可分别求解． 【解答】 解：对选项，当时，与重合， ，，，，面， 所以面，又面，所以，同理可得， 又，，面，所以可得平面，即平面， 选项正确； 对选项，与相交， 到平面的距离不是定值，又的面积为定值， 对任意，三棱锥的体积不是定值， 选项错误； 对选项，当时，与重合，此时易知平面， 当时，与重合， 由可知，平面， 如图，设，连接，， 易知平面，又平面， 平面平面，且平面平面， 在平面的射影为， 与平面所成角为， 又易知， 存在，使得与平面所成的角为，选项正确； 对选项，正方体的外接球的球心为正方体的体心， 且外接球的直径为正方体的体对角线， ， ， 当时，为靠近的三等分点， 以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 球心到平面的距离， 平面截该正方体的外接球所得截面小圆半径， 平面截该正方体的外接球所得截面小圆的面积为，选项正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】解：由题意可知，， 则， 由于为递增数列，． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了排列、组合及简单计数问题，属于基础题． 先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，求解即可． 【解答】 解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排， 即可排成不同的音序的种数为， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】，． 令解得；令，解得或， 由此可得在上时是单调递增函数，在上时是单调递减函数，在上是单调递增函数， 故函数在处有极大值，在处有极小值， ，解得． 15.【答案】设数列的公差为，则，， ，，成等比数列，，即， 整理得，解得舍去或， ， 当时，， 当时，满足上式， 所以数列的通项公式为． ， 则数列的前项和． 16.【答案】解：由题得：， 结合题意可得 解得，经检验符合题意， 故， ． 令，解得或， 令，解得， 故在，上单调递增，在 上单调递减， 所以的极大值为， 的极小值为； 由可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，所以， 所以要使不等式能成立，则． 所以， 故取值范围是． 【解析】本题考查导数在求极值和最值问题中的综合应用，属于基础题． 利用题中条件解出的值，进而求出极值点即可； 利用导数求出函数在上的最小值即可． 17.【答案】解：取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面． 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题． 取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面； 建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值． 18.【答案】解：根据列联表： 所以， 依据的独立性检验， 不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关 由题知：， 由已知可得：， ， ， ， 由回归直线的系数公式， ， ， 所以， 当百件时，件， 所以估计一小时生产件时的不合格品数约为件，  【解析】 本题考查独立性检验，线性回归方程的求解以及应用，属于中档题． 由题意，算出，判断出在犯错误的概率不超过的前提下， 不能认为产品的包装合格与流水线的选择有关． 计算，，，代入回归方程公式求出，， 从而求出，当时，计算，件，即可解答． 19.【答案】解：由题意知， 所以抛物线方程为． 设直线的方程为，，， 则，，， 所以，得， 所以，， 所以直线的方程为：， 与直线的方程联立， 解得，同理， 所以， 所以， 所以直线的斜率为． 设， 因为 ． 因为，， 所以 ， 当时，为定值． 所以．  学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二下学期期末模拟卷（全国一卷地区通用） 数学问卷 考试范围：高考范围 考试时间：120min 总分：150分 绝密★启用前 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.(    ) A. B. C. D. 3.若向量，满足，，则在上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 4.函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.的展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 6.若函数存在两个不同的零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.某市年至年新能源汽车年销量单位：千台与年份代号的数据如下表： 年份 2022 3 4 年份代号 年销量 若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为，则表中的值为(    ) A. B. C. D. 8.设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确的是(    ) A. 若随机变量X~B(10,),则D(3X-1)=20 B. 若随机变量X~N(,),当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中,样本决定系数越大,残差平方和越小,模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中,当(为的临界值)时,推断零假设不成立 10.已知圆，则下列说法正确的有(    ) A. 圆关于直线对称的圆的方程为 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点满足，则(    ) A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列为递增数列，且，的等差中项为，则公比为          ． 13.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为          用数字作答． 14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 在各项均不相等的等差数列中，，且，，等比数列，数列的前项和满足． 求数列，的通项公式 求数列的前项和． 16.本小题分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 17.本小题5分 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． 若为线段中点，求证：平面． 若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量单位：毫克，质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品统计数据如下面列联表： 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 依据的独立性检验，分析产品的包装合格与流水线的选择有关 附：，其中． 临界值表： 从抽取的件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件，求 公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在单位：百件件产品中，得到不合格品数量单位：件的情况汇总如下表所示： 百件 件 求关于的经验回归方程，并预测一小时生产件时的不合格品数精确到． 附：． 19.本小题分 已知抛物线：的焦点到准线的距离为，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，． 求的方程； 记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； 设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $