湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期第17周每日一练数学训练卷

**基本信息** 该卷聚焦基础巩固与创新应用，涵盖统计、向量、导数等知识，融入校庆文化、“渤海明珠”曲线等情境，通过公交等待时间分析、函数新定义等题考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|中位数计算、向量共线、集合运算等|第1题中位数强化数据处理，基础概念直接考查| |多选题|3题|复数性质、立体几何动态问题、曲线方程|第11题“渤海明珠”曲线结合地方生态，考查直观想象| |填空题|3题|双曲线离心率、三角函数平移、等差等比综合|第14题等差等比综合，提升逻辑推理能力| |解答题|5题|立体几何证明与距离、解三角形、概率统计、椭圆综合、函数新定义|第17题公交等待时间分析体现数据意识，19题新定义函数考查创新思维|

本卷改编自2026年新高考I卷 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第17周 一、单选题 1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 2．已知向量不共线，且，则实数（     ） A．3 B． C． D． 3．已知集合 ，则（     ） A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 5．若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．若函数的最小值为，则（     ） A． B． C． D． 7．2019年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为（     ） A．10 B．12 C．21 D．60 8．已知，则（     ） A．1000 B．1150 C．1300 D．1350 二、多选题 9．下面是关于复数 的四个命题，其中真命题为（     ） A． B． C．的虚部为1 D．的共轭复数为 10．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（     ） A． B．当时，有且仅有一个点，使得平面 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 11．某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（     ） A．曲线所围成的封闭区域面积等于 B．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C．曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 三、填空题 12．已知双曲线方程为：，则离心率为______． 13．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为_____，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_____________. 14．等差数列的公差d≠0，a3是a2，a5的等比中项，已知数列a2，a4，，，……，，……为等比数列，数列的前n项和记为Tn，则2Tn＋9=_______ 四、解答题 15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点． （1）求证：D1F∥平面BDE； （2）求直线D1F与平面BDE之间的距离． 16．已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)，是椭圆上异于点的两动点，直线､的斜率互为相反数. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求外接圆在点处的切线的方程. 19．对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 高三数学试卷 第1页 共3页 答案第1页，共2页 高三数学试卷 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $本卷改编自2026年新高考I卷 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第17周 一、单选题 1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为( A.14 B.16 C.18 D.20 2.已知向量e,6不共线，且(2g-e)/1(3e+2),则实数2=( A.3 B.-3 c D.-4 3 3.己知集合A={3,-2,-1,0,1,2,3,4分，B= 则A∩B=( A.{0,4 B.{-1,1} C.{-2,0,2,4} D.{0,-23 4.曲线f(x)=x2-lnx在x=1处的切线方程为() A.x-y+1=0B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x-y=0 5。若抛物线M:P=20p~0的焦点为椭圆N:+￥-1的一个顶点，则M上一点A66到M的焦 点的距离为() A.8 B.9 C.10 D.11 6.若函数hy)=eo-lnc的最小值为3-n,则b=( 3 A月 B.n3- 3 c.分a3 D. 7.2019年11月11日是石室中学2160周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱2160” 的活动.其中一题如下：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是2°，接下来的两项是2°， 2,再接下来的三项是2°，2,22，依此类推.若该数列前n项和为Sn,则求满足52≤Sw≤2160，且N 是5的倍数条件的整数N的个数为( A.10 B.12 C.21 D.60 8.已知X~B(20,0.5),则E(X3)=() A.1000 B.1150 C.1300 D.1350 二、多选题 9.下面是关于复数：己的四个命题，其中真命盟为（ A.E=2 B.22=2i C.z的虚部为1 D.z的共轭复数为-1+i 高三数学试卷第1页共4页 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P满足BP=BC+BB1,其中∈「O,1]u0,1, 则() D A.APs3 B B.当元=时，有且仅有一个点P,使得APL平面ABD 2 C.当u=时，有且仅有一个点P,使得4P∥AB 2 D.当2+u=时，三棱锥P-4BD的体积为定值 11.某市以“渤海湾畔、生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤 海明珠”曲线C,其方程为x2+y2+2x2y=0.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线C,则下列结 论正确的是() A.曲线C所围成的封闭区域面积等于2π-4 B.若直线y=x与曲线C有唯一公共点，则k取值范围为[-1,1] C.曲线C上恰好存在4个不同点到直线y=x+的距离为 D.曲线C上存在唯一的点P,使得点P到点(0,5)与到点(0，-5)的距离之差为4 三、填空题 12.已知双曲线方程为：3y2-3x2=1,则离心率为 13.把函数f(x)=√3 sin an+cosx(0<w<2π)的图象向左平移严个单位长度，得到的函数是奇函数， 则w的值为，若函数f(x)在区间[0，a]上存在最大值2，则实数a的取值范围为 14.等差数列{an}的公差d#0,a是a2,as的等比中项，已知数列a2,a4,,a%,.,a%, 为等比数列，数列{kn}的前n项和记为T,则2Tm十9= 四、解答题 15.如图，在长方体ABCD-AB1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,E,F分别为 D CC1,AA1的中点. (1)求证：D1F∥平面BDE; (2)求直线D1F与平面BDE之间的距离. 高三数学试卷第2页共4页 16.已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O,AC=10, AD=14,cos∠ACD=-1 5 (1)求sin∠ACO的值； (2)求C0的长； (3)若BC=BD,求△ABD的面积. 17.某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了 研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）： (2)记乘客等待时间为X,随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为 P(X≤x)=1-eo(x≥0)，其中e是自然对数的底数 (i)证明：对于任意的s,t>0,有P(X>5+tX>s)=P(X>t): (i)如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y(单位：分钟).他利用人工智 能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元）：若y>10,则打车（费用20元）求小明的交通 费用的均值 高三数学试卷第3页共4页 18.已知桥圆c苦若-1a>b>0的商心率为 ，点421)在销圆c上 (1)求椭圆C的方程： (2)M,N是椭圆C上异于点A的两动点，直线AM、AN的斜率互为相反数. (i)求证：直线MN的斜率为定值： (ii)求△AMN外接圆在点A处的切线l的方程. 19.对于定义域为R的函数f(x)与实数，定义集合S()={a>0f(:+ad)-f(,)f(-d-f()》<d} (1)若f(x)=x2,求S(1): (2)若f(x)=k(x-x),且对任意实数x均有S(x)=(0,+∞)，求k的取值范围； (3)是否存在定义域为R的连续函数f(x),使得S(0)=S(1)=(0,1)？若存在，给出一个满足要求的函数： 若不存在，请给出证明 高三数学试卷第4页共4页本卷改编自2026年新高考1卷 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第17周 题号 1 2 3 4 J 6 > 8 9 10 11 答案 B D C D A & A B BC AD ABD 一、单选题 1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（) A.14 B.16 C.18 D.20 【答案】B【详解】从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40，则其中位数为16 2.已知向量，6不共线，且(21-e2)/1(3e+2e),则实数1=() A.3 B.-3 c D 【答案】D【详解】由(2g-)/13+22)可知，存在teR,使得2E-e,=t(3e+2e), 因三，6不共线，则有以解狗1=号故选：D 3t=2 3.已知集合A={3,-2,-1,0,12,3,4},B= 则A∩B=() 2 A.0,4} B.{-1,1} C.{-2,0,2,4} D.{0,-2} 【答案】C【详解】集合B n受-0-x=2kke☑所以4nB=←20,24线放选：C 4.曲线f(x)=x2-x在x=1处的切线方程为() A.x-y+1=0B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x-y=0 【答案】D【详解】f(x)=2x-1,所以∫(=1，又因为f)=1, 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0: 5.若抛物线M:x=2y(P>0)的焦点为椭圆N:x'+上=1的一个顶点，则M上一点A6,6)到M的焦点 4 的距离为() A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】A【详解】抛物线M:x2=2y(p>0)的焦点为 2/: 又椭圆N:x+兰=1在长轴上的顶点为(0,2)和(0，-2)，所以号=2，解得p=4,所以抛物线M:x=8, 4 则抛物线M的准线方程为y=-2,所以M上一点A(t,6)到M的焦点的距离为6-(-2)=8.故选：A 高三数学试卷解析第1页，共10页 6.若函数()=e0-n的最小值为3-？则b-〈) B.In3-1 C.-i3 D.3 1 3 【答案】B【详解】因为函数h()=e+o-nx,所以H(x)=e-1,k(x)在(O,+o)上单调递增， 又因为r→0，（田→-0，x→+∞，(y→+0，所以6∈(0，+0），h(G)=0,e”=1 所以x∈(0，)，h(x)<0,h(x)单调递减，x∈(，+o),h(x)>O,h(x)单调递增， 所以h()=h(6)=e-m,-=士-l,所以3-ln}-h此， 3X0 又因为8化)名在Q+四)止单调遥减，所以%-片所以。-3，则=ln3背 7.2019年11月11日是石室中学2160周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱2160” 的活动.其中一题如下：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是2°，接下来的两项是2°，21， 再接下来的三项是2°，2,22，依此类推.若该数列前n项和为S,,则求满足52≤Sw≤2160，且N是5的 倍数条件的整数N的个数为() A.10 B.12 C.21 D.60 【答案】A【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：，2盈，22,222 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2-1,22-1,23-1，…，2*-1， 每项含有的项数为：1,2,3，，k,总共的项数为N=1+2+3++k=+址， 2 所有项数的和为：2-1+2-1+2-1++2-1=2+2+2++2)-k-20-2-k=2-2-k,2≤2-2-k52160, 1-2 当k=5时，52≤21-2-k=57成立，N=15;当k=10时，2+1-2-=21-2-10=2036≤2160成立，N=55 2160-2036=124,2=64<124,2'=128>124,所以多出的6项符合. 综上所述，N∈[15,61，故满足条件的N可表示为N={15,20,25,30,35,40,45,50,55,60},共10个，选A. 8.已知X~B(20,0.5),则E(X3)=() A.1000 B.1150 C.1300 D.1350 【答案】B【详解】因为X~B(20,0.5),所以E(X)=20×0.5=10,D(X)=20×0.5×(1-0.5)=5, 所以E(）=D(X)+[(X)订=5+102-105.因为对二项分布X~B(,P),有E[X(X-1(X-2)]=n(n-1)0n-2)p2, 所以E(X3-3X2+2X)=20×19×18×0.53=855,所以E(X)-3E(X)+2E(X)=855, 所以E(X)=855+3E(X2)-2E(X)=855+3×105-2×10=1150 高三数学试卷解析第2页，共10页 二、多选题 ,.下面是关于复数：品：的四个金题，共中真命思为() A.=2 B.22=2i C.z的虚部为1D.z的共轭复数为-1+i 【答案1Bc【详1：名221,5=0=3日19的定部为 2 10.如图，在棱长为1的正方体中，点P满足BP=BC+BB1,其中∈0,1]u[0,1,则() A.APs3 A B.当2=时，有且仅有一个点P,使得AP1平面4BD B C.当u=时，有且仅有一个点P,使得4P∥AB D.当A+以方时，三棱能P-48D的体积为定值 B 【答案】AD【详解】如图建立空间直角坐标系，则B1,0,0),B,1,0,1),C1,1,, 因为BP=BC+BB1,∈[0,1]u∈[0,1，所以(xp-1,p,5p)=A(0,1,0)+(0,0,1),所以P1,,), 对于选项A,则P(1,2,),A(0,0,0),所以AP=1,2,),AP=V1++u2, 因为元∈[0,1小u0,1],所以AP≤5，故A答案正确： 对于选项B,A(0,0,1),B1,0,0),D(0,1,0),AB=(1,0,-1),AD=(0,1,-1), 当号时，P0,吃)，严-0宁四，设面48D的法向量为n=(化y日， n:4B=0→x-z=0, n4D=0{-2=0令y=1,所以n=a,1, 则 若AP1平面4BD,则AP=am,QM=01,)无解，所以不存在点P,使得APL平面4BD,故B错： 对于选项c,当u=号时，PL分4=0名西=00. 若4P∥AB,则4P=m西，Q,元-为=m10,0),无解，所以不存在点P,使得4P∥AB,故C错误： 对选项D,M2D为边长为5的等边=角形，所S4ox-点 22 点P到鲜面48D的距离为风-+，当A+r时， n √3 点P到平面ABD的距离为定值，则三棱锥P-ABD的体积为定值，故D选项正确故选：AD, 高三数学试卷解析第3页，共10页 11.某市以“渤海湾畔、生态宜居”为发展理念，将生态渤海融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海 明珠”曲线C,其方程为x2+y2+2x-2y=0.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线C,则下列结论正 确的是() A.曲线C所围成的封闭区域面积等于2π-4 B.若直线y=x与曲线C有唯一公共点，则k取值范围为[-1,1] C.曲线C上恰好存在4个不同点到直线y=x+的距离为 2 D.曲线C上存在唯一的点P,使得点P到点(0,5)与到点(0，-5)的距离之差为4 【答案】ABD【详解】对于A,先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为√2， 所以暗形的圆心角为受所以第一象限部分的弓形的面积5=行（回宁(-吾1， 所以曲线C所围成的封闭区域面积等于4行-2-4，放A正确： 对于B,直线y=过原点，所以直线必和曲线C有一个交点， 再以第象限为例，圆心(1山到直线y-在的距窝d=大-之5，化简得化-50， V1+k2 即当k=1时直线与圆相切，且切点为(0,0)，同理可分析其他各个象限，由图象可知当k∈[-1，]时，直线 y=x与曲线C有唯一公共点，故B正确： 对于当直线+m与线的距离为时，，解得m或mB 2 2 数格好存有3个不闲点到直线y=x+5的距离为方c错误： 对于D,因为点P到点(0,5)与到点(0，-5)的距离之差为4， 所以点P在以(0,5)，(0，-5)为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上， 方程为二=1≤-2)，显然双曲线的一个实顶点(0，-2)在曲线C上且只有这一个点，所以D正确， 421 三、填空题 12.已知双曲线方程为：3y2-3x2=1,则离心率为 √6 【答案】万【详解】由愿点得云背6}则：-+8-写 1,16 ,故离心率e= 3 =V2」 a 3 13.把函数f(x)=√3sina+co an0<<2m)的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则 6 w的值为 若函数f(x)在区间[0，a]上存在最大值2，则实数a的取值范围为 高三数学试卷解析第4页，共10页 【答案】5 az 15 兀 【详解】由影设f儿)=5no+coa=2n(@+孕. 所以x+君)2snax+管+名为奇西数，则g+名ake2, 6 6 6 6 所以0=6k-1,k∈Z,又0<w<2元，故o=5, 所以e-2mi+君》若4小则sv+-[g+日 661 6 又函数f(,)在区间[0，ad]上存在最大值2，则5a+亚≥亚→a≥亚 62 15 14.等差数列{a}的公差d#0,a是a,a5的等比中项，已知数列a,a4,a,4,,4，为 等比数列，数列{kn}的前n项和记为，则2n十9 【答案】3+2+2n (a)"=aa 【详解】因为数列{a}是等差数列，且B是w,as5的等比中项，所以 (a+2d)=(a+d)(a+4d) 因为公差0，解得4=0，公比g-二-33，所以a,=4,31=d3 a d 由{a}是等差数列可知a=a+(k-1)d=(k-1)d,所以d.3=(飞，-1)d,所以k,=3+1 所以=3+3+…31+3+3+1xn-30-3）+n×3 +n 1-3 2 2 所以2T+9=2× x3.9+n 2+n+9=3++2n 2 2 四、解答题 15.如图，在长方体ABCD-ABCD1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,E,F分别为CC1, D AA,的中点。 (1)求证：DF∥平面BDE: (2)求直线DF与平面BDE之间的距离. 答案】正明见解祈2)6：32的 D 3 【详解】解：(1)，在长方体ABCD-ABCD1中，底面ABCD是边长为1的正方形， AA1=2,E,F分别为CC1,AA1的中点..D1F∥BE, ,DFt平面BDE,BEC平面BDE,.DF∥平面BDE; (2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则D1(0,0,2),F(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),E(0,1,1), 高三数学试卷解析第5页，共10页 DD=(0,0,2),DB=(1,1,0),DE=(0,1,1), 设平面DBE的法向量=(，，z),则 m.DB=x+y=0 m.DE=y+二=0' 取x=1,得=(1，-1,1)， → DD:m ,DF∥平面BDE,∴.直线DF与平面BDE之间的距离为：d= 223 33 16.已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O,AC=10, AD=14,cos∠ACD=- (1)求sin∠ACO的值；(2)求CO的长；(3)若BC=BD,求△ABD的面积. 【答案1)5②c0-16i0 3)26 5 9 【详解】1)因为cos∠4CD-号对角线CB为纯角∠ACD的平分线， 所以cs∠ACD=1-2sin∠Ac0,解得n∠4C0-5或n∠4C0-5(舍)， 5 5 所以sin∠Aco=sin∠DCO=5； (2)在△ACD中由余弦定理可得AD=AC2+CD2-2AC.CD.c0S∠ACD, 1 即14=10+CD-2x10xCDX)整理可得CD+4CD-6=0,解得CD=8或-12（舍去)， 因为os∠ACD-专所以m∠AcD=-ACD-25, 5 又因为S.Am=S.aco+Sa,所以)CACD-sin∠ACD=c4,c0.sin∠4c0+cD.COsin.∠Dc0, 即片x10×8x26_×10xc0x正+×8xCox5,解得c0-16而 52 52 9 8》在aCn由E弦定物ancm0)商nm29c站6，所以c.26 10 14 AD 5 因为∠ACD为钝角，所以cos∠ADC=M-sin'ZADC= 7 因为BD=BC,所以∠BDC=∠BCD, 所以sin∠BDC=sin∠BCD=5,所以cos∠BDC--r∠BDc-0 5 在△BCD中由余弦定理可得cos∠BDC=10_CD+BD-BCCD4 ,解得BD=BC=210, 5 2CD·BD 2BD BD 因为sin ADB=-sn(BDC-∠ADC)-sn∠BDC-ADC-cos∠BDC∠AC-5x:x2W6_i5 5757 35 所以S△ABD= AD-DBsn∠ADB=x14x210×-2V6. 2 35 高三数学试卷解析第6页，共10页 17.某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究 乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）： (2)记乘客等待时间为X,随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为P(x≤x)=1-e(x≥0)， 其中e是自然对数的底数， (i)证明：对于任意的s,t>0,有P(X>s+tX>S)=P(X>t): ()如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y(单位：分钟).他利用人工智能辅 助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元）；若y>10,则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】()7.7分钟②))证明见解析()2+完 【详解】1)平均时间了-625×20+75x14+125x10+175x6)=7, (2)(i)证明：由题意知，P(x>)=1-P(x≤)=e, 分别记已经等待s分钟和己经等待5+t分钟为事件A和事件B, s+t 则PK>9+K>P®A P(AB)P(X>s+t>s)P(X>s+t)c P(X>s) P(X>s) g=e而=P(x>t) e 10 所以对于任意的s,t>0,有P(X>s+tX>s)=P(X>t) (i)由(i)知，P(Y>10)=P(X>5+10X>5)=P(X>10)=1-P(X≤10)=e1, P(0≤Y≤10)=1-PY>10)=1-e-1, 所以费用的期望是2×1-e+20×c=2+18(元). 18已花酒C号是-1a6:0的离率为5，直B在精枫C上 2 (1)求椭圆C的方程： (2)M,N是椭圆C上异于点A的两动点，直线AM、AN的斜率互为相反数， (i)求证：直线MN的斜率为定值： (ii)求△AN外接圆在点A处的切线l的方程. 答案)山3+戈」②)证明见解析：)1+2少-40 高三数学试卷解析第7页，共10页 【样1由圆c号若-a6s0的心凉为5。月匠8 2 ,则d=42, 2 由点4在C上，得+-1，解得a2=8,6=2,所以椭圆c的方程是5+二-1. 82 (2)(i)显然直线MN不垂直于y轴，设其方程为x=y+t,M(:,y),Nx2,y2), 「x2y2 由8+2=1消去x得：4+my2+2咖+-8=0. x=ny+t m+4当乃8 △=4m-4m+4-8>0,即2m2+8>r,5+⅓=-2 m2+4 线，W的斜事分别为如号如=号 3-21 则4+kaw=+当-↓--2+-出-2）0. x1-2'x2-2 (1-2)(x2-2) 即(y-1)2-2)+(y2-10(1-2)=24y2+t--2)+)-2t-2) -8+-m-2)-(2)-2t-2）=G,整理得m2-4m+4+m-21=0, =21. m+4 m2+4 即(-2)(m-2+t)=0,解得=2或t=2-, 当t=2-时，直线MN:x=y+2-m,即x-2=m0-1),过点A(2,1),不符合题意， 因此m=2,直线MN:x=2y+t,其斜率为号，所以直线MN的斜率为定值子. (ii)设△AMN外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 由点A(2,1)在该圆上，得F=-5-2D-E,圆方程化为：x2+y2+Dx+Ey-2D-E-5=0, 将直线MN方程x=2y+t代入得：(2y+)2+y2+D(2y+t)+Ey-2D-E-5=0, 整理得：犷+(20++产4m-20-B-5=0,则%+男=+20-五5=m-20-日5 5 5 鱼①得：y+妙8，由号±0迟，得1=D+ 2 5 3 由，8.+Dt-2D-B-5,得3+8DE-16D-8B-0, 8 5 联立消去t得：3.4(2D+B+8D-(2D+E)-16D-8B=0, 整理得E2-4D2-12D-6E=0,即(E+2D)(E-2D-)=0,解得E=-2D或E=2D+6, 当E=-2D时，t=0,此时直线MN:x=2y,过点A(2,1)不符合题意： E +22+B=2, 1+ 当E2D+6时，△M4MN外接圆圆心（号，与点A)确定直线的斜率D4+D 2+ 2 所以外接圆的切线方程为y-1=x-2),即x+2y-4=0。 高三数学试卷解析第8页，共10页 l9.对于定义域为R的函数f(x)与实数，定义集合S()={a>0叫f(,+a-f()f(-)-f(6)<} (1)若f(x)=x2,求S(1): (2)若f(x)=k(:3-x),且对任意实数x均有S(x)=(O,+o),求k的取值范围： (3)是否存在定义域为R的连续函数f(x),使得S(0)=S(I)=(0,1)？若存在，给出一个满足要求的函数： 若不存在，请给出证明。 【答案1a05)②-5<<5 B)不存在，理由见解析 3 3 【详解】(1)已知函数f(x)=x2,x=1,S0)={a>0l(f1+-f)(f1-a-f0)<2) 首先计算：f(1)=12-1,f0+a)-f0)=1+)2-1=1+2a+a2-1=2a+a2=a(2+a, f1-a)-f0)=1-a-1=1-2a+d-1=d-2a=a(a-2) 代入不等式：[a(2+a][a(a-2】<a2 因为a>0,两边同除以a2得：(2+a(a-2)<1. 利用平方差公式：(2+(a-2)=a2-4, 所以：d2-4<1→a2<5. 又a>0,故：0<a<5n因此，s)=(0,⑤). (2)a>0,x∈R,k2(3x+3x,a+2-1(-3x+3xa-a2+1)<1 Va>0.VxoER.k2(3xG-1)+a(xo+a)a exo-a)-1)<1 a>0,eR,d(9-d)-2t(3G-)(3f-s va>O.VxER&a(-1)a(-a'}-1)<1 a0a小官牙w a>0,x∈R,2 1 故y有最大值2- 1，故站1，即-9k 3 高三数学试卷解析第9页，共10页 (3)假设存在连续函数f(x),使得S(0)=S(1)=(0,1), s(0)={a>olfa)-f0)(a上f0)火a2}0,1), 由于f(x)连续，则F(x)=（f(x)-∫(O)f(←x)f0)》x2也连续， 即F(1)=（f(1)-f(0)(f(-)-f0)-1=C, 否则，由保号性可知与S(0)=(0,1)矛盾， 同理，由S)={a>0lf1+a)-f4)f-af4)火a}0,1), 可知(f(2)-f)f(0)fA)》1=0, 即 1 当f(1)>f(0)时，可得f(-1)>f(0),f(2)<f(1): a>1,(f(a-fo)(f(--f0)≥a, 因为f(-1)>f(0),由连续函数保号性， 可得f(-a)>f(0)且f(a>f(0), 同理a>1(f(a+1)f)f-a）f)a2, 因为(2)<f(1),由连续函数保号性， 可得f(a+1)<f(1)且f1-a)<f(1), 即a>1,f(0)<f(a)水f1), a>2,f(0)<f(d<f(), 即a>2(f(a-fo(f(-d-0)()-9), 但始终a∈(2，+∞)，使得ad>(f(但)-f(0), 此时有aeS(0),这与S(0)=(0,1)矛盾 当f(1)<f(0)时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数∫(x)使之成立 高三数学试卷解析第10页，共10页本卷改编自2026年新高考I卷 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第17周 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D A B A B BC AD ABD 一、单选题 1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B【详解】从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16. 2．已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，存在，使得， 因不共线，则有，解得.故选：D. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】集合,所以.故选：C. 4．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，又因为， 所以的图象在处的切线方程为，即. 5．若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A【详解】抛物线的焦点为， 又椭圆在长轴上的顶点为和，所以，解得，所以抛物线，则抛物线的准线方程为，所以上一点到的焦点的距离为.故选：A 6．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以，则. 7．2019年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为（ ） A．10 B．12 C．21 D．60 【答案】A【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：，，，， 根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，，总共的项数为， 所有项数的和为，， 当时，成立，N=15； 当时，成立, N=55 ,,所以多出的6项符合． 综上所述，，故满足条件的N可表示为，共10个，选A. 8．已知，则（    ） A．1000 B．1150 C．1300 D．1350 【答案】B【详解】因为，所以，. 所以.因为对二项分布，有， 所以，所以， 所以. 二、多选题 9．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（   ） A． B． C．的虚部为1 D．的共轭复数为 【答案】BC 【详解】，，，，的虚部为1． 10．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（    ） A． B．当时，有且仅有一个点，使得平面 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【详解】如图建立空间直角坐标系，则 因为，，所以，所以， 对于选项A，则，所以， 因为，所以，故A答案正确； 对于选项B， 当时，，,设面的法向量为， 则，令，所以， 若平面，则，无解，所以不存在点，使得平面,故B错； 对于选项C，当时，, 若，则，，无解，所以不存在点，使得，故C错误； 对于选项D，为边长为的等边三角形，所以, 点P到平面的距离为，当时， 点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，故D选项正确.故选：AD. 11．某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线所围成的封闭区域面积等于 B．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C．曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 【答案】ABD 【详解】对于A，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故A正确； 对于B，直线过原点，所以直线必和曲线有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离，化简得， 即当时直线与圆相切，且切点为，同理可分析其他各个象限，由图象可知当时，直线与曲线有唯一公共点，故B正确； 对于C.当直线与切线的距离为时，则，解得或； 故恰好存在3个不同点到直线的距离为C错误； 对于D，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上， 方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以D正确. 三、填空题 12．已知双曲线方程为：，则离心率为______． 【答案】【详解】由题意得，，则，故离心率. 13．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为____________. 【答案】 5 【详解】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 14．等差数列的公差d≠0，a3是a2，a5的等比中项，已知数列a2，a4，，，……，，……为等比数列，数列的前n项和记为Tn，则2Tn＋9=_______ 【答案】 【详解】因为数列是等差数列，且a3是a2，a5的等比中项，所以 因为公差d≠0，解得，公比 ，所以 由是等差数列可知，所以，所以 所以 所以 四、解答题 15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点． （1）求证：D1F∥平面BDE； （2）求直线D1F与平面BDE之间的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形， AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．∴D1F∥BE， ∵D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴D1F∥平面BDE； （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1）， （0，0，2），（1，1，0），（0，1，1）， 设平面DBE的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，﹣1，1）， ∵D1F∥平面BDE，∴直线D1F与平面BDE之间的距离为：d． 16．已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值；(2)求的长；(3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线， 所以，解得或（舍）， 所以； （2）在中由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为，所以， 即，解得； （3）在中，由正弦定理可得，即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中由余弦定理可得，解得， 因为， 所以. 17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车(费用2元)；若，则打车(费用20元).求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2)（i）证明见解析（ii）元 【详解】（1）平均时间. （2）（i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则. 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知，， ， 所以费用的期望是（元）. 18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)，是椭圆上异于点的两动点，直线､的斜率互为相反数. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求外接圆在点处的切线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由点在上，得，解得，所以椭圆的方程是. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得：， ，即，， 直线､的斜率分别为， 则， 即 ，整理得， 即，解得或， 当时，直线，即，过点，不符合题意， 因此，直线，其斜率为，所以直线的斜率为定值. （ii）设外接圆方程为， 由点在该圆上，得，圆方程化为：， 将直线方程代入得：， 整理得：，则， 由（i）得：，由，得， 由，得， 联立消去得：， 整理得，即，解得或， 当时，，此时直线，过点不符合题意； 当时，外接圆圆心与点确定直线的斜率 ， 所以外接圆的切线方程为，即. 19．对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】(1) (2)；(3)不存在，理由见解析 【详解】（1）已知函数，， 首先计算： 代入不等式： 因为，两边同除以得： 利用平方差公式： 所以： 又，故：.因此，. （2） 即，设，对称轴， 故有最大值，故，即. （3）假设存在连续函数，使得， ， 由于连续，则也连续， 即， 否则，由保号性可知与矛盾. 同理，由， 可知， 即. 当时，可得，. ， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 同理， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 即， ， 即， 使得， 此时有，这与矛盾. 当时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数使之成立. 高三数学试卷解析 第1页，共3页 高三数学试卷解析 第1页 共3页 高三数学试卷解析 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $