课时规范练69 二项分布、超几何分布（Word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

**基本信息** 聚焦二项分布与超几何分布，通过基础到综合的梯度训练，系统构建“分布识别-公式应用-实际建模”的解题方法体系，强化概率模型的数学思维与逻辑联系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题（含解答题）|分布识别（有放回/无放回）、期望方差公式直接应用、分布列构建|从概念生成（二项分布vs超几何分布特征）到原理推导（公式应用），覆盖基础计算| |综合提升练|6题（含解答题）|比赛制分类讨论、图表数据概率转化、多变量方差比较|通过实际情境（如投篮比赛、运动达标）拓展应用，强化模型观念与逻辑推理|

课时规范练69　二项分布、超几何分布 (分值:98分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.某班级准备进行抽奖活动,福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖,其余情况不获奖.若有5名同学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是(　　) A. B. C. D. 2.已知随机变量X~B(n,),若D(X)=2,则E(X)=(　　) A. B.1 C.2 D.4 3.一包装箱内有12件产品,其中有10件合格品.现从中随机取出4件,设取出的4件产品中有X件合格品,则E(X)=(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则(　　) A.X~B(4,) B.P(X=2)= C.E(X)= D.D(X)= 5.(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是(　　) A.答对0题和答对3题的概率相同,都为 B.答对1题的概率为 C.答对2题的概率为 D.合格的概率为 6.(2025·陕西西安模拟)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则在这场“五局三胜制”的排球比赛中,甲队获胜的概率为　　　　.  7.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,恰好全为黑球的概率为,则黑球的个数为　　　.若记取出3个球中黑球的个数为X,则D(X)=　　　.  8.(17分)(2026·北京西城高三期中)甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下: 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率; (2)在前5场比赛中任选两场,设X表示乙获胜的场数,求X的分布列和数学期望E(X); (3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用频率估计概率.甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛,设Y1为甲获胜的场数,Y2为乙获胜的场数,Y3为丙获胜的场数,写出方差D(Y1),D(Y2),D(Y3)的大小关系. 综合提升练 9.(多选题)(2025·辽宁名校联盟模拟)随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),其概率分布可用下图直观地表示,则(　　) A.n=5 B.p= C.b= D.D(X)= 10.(2025·陕西西安模拟)盲盒中有大小相同的3个红球,2个黑球,随机有放回地摸两次球,记X为摸到黑球的个数,随机无放回地摸两次球,记Y为摸到黑球的个数,则(　　) A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 11.(多选题)如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则(　　) A.小球从起点到第③个格子一共跳6次 B.小球从起点到第③个格子一共跳7次 C.小球落在第③个格子的概率为 D.小球落在第③个格子的概率为 12.(2025·天津,13)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4. (1)该同学一周跑11圈的概率为　　　　;  (2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)=　　　　.  13.(2025·河南驻马店模拟)已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=6,D(X)=2,则当k=　　　　时,P(X=k)取得最大值.  14.(17分)(2025·甘肃白银模拟)某校高一学生周末参加社区实践活动,现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加. (1)求在有女学生参加活动的条件下,恰有1名女学生参加活动的概率; (2)记参加活动的女学生的人数为X,求X的分布列及期望E(X); (3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目,每名女学生可从中选择1项或2项参加,且选择参加1项或2项的可能性均为,每名男学生至少从中选择2项参加,且选择参加2项或3项的可能性也均为,每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分,选择参加几项活动彼此互不影响,记随机选取的两人的积分之和为Y,求Y的期望E(Y). 参考答案 课时规范练69　二项分布、超几何分布 1.C　解析 每次抽奖中,共有=10种情况,获奖的情况有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5) 4种,所以获奖的概率P=.设5人中获奖人数为X,则X~B(5,),所以P(X=3)=×()3×()2=. 2.D　解析 由题意可得,D(X)=n×(1-)=2,解得n=8,所以E(X)=8×=4.故选D. 3.D　解析 由题可得X服从超几何分布,且n=4,N=12,M=10,所以E(X)=.故选D. 4.ACD　解析 从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布,即X~B(4,),故A正确;P(X=2)=×()2×()2=,故B错误;因为X~B(4,),所以E(X)=4×,故C正确;D(X)=4×,故D正确. 5.CD　解析 设此人答对题目的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,则答对0题和答对3题的概率相同,都为,故A错误;答对1题的概率为,故B错误;答对2题的概率为,故C正确;合格的概率P=P(ξ=2)+P(ξ=3)=,故D正确. 6.　解析 若甲队3局内获胜,则P1=()3=;若甲队4局内获胜,则P2=×()3=;若甲队5局内获胜,则P3=×()2×()3=. 故甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=. 7.3　　解析 设袋中黑球有n个,则从袋中随机取出3个球,恰好全为黑球的概率为P=,可得n=3. 该事件服从超几何分布,由题可知,取出3个球中黑球的个数X的可能取值为1,2,3, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 则X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)=×1+×2+×3=, D(X)=×(1-)2+×(2-)2+×(3-)2=. 8.解 (1)根据三人投篮得分统计数据,在10场比赛中,甲共获胜3场,分别是第3场,第8场,第10场.设A表示“从10场比赛中随机选择一场,甲获胜”,则P(A)=. (2)在前5场比赛中,乙共获胜3场,分别是第2场,第4场,第5场. 则X的值为0,1,2, P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 则X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×. (3)由题意知,每场比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,丙获胜的概率为. 若又进行6场比赛,甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布,即Y1~B(6,),Y2~B(6,),Y3~B(6,), 所以D(Y1)=6×0.3×(1-0.3)=1.26,D(Y2)=6×0.5×(1-0.5)=1.5, D(Y3)=6×0.2×(1-0.2)=0.96,故D(Y2)>D(Y1)>D(Y3). 9.BCD　解析 对于A,由图可得X的取值可以为0,1,2,3,4,所以n=4,故A错误;对于B,由P(X=4)=p4=,所以p=,故B正确;对于C,P(X=1)=p(1-p)3=4××()3=,所以b=,故C正确;对于D,D(X)=np(1-p)=4×,故D正确.故选BCD. 10.B　解析 由题意可知,X~B(2,),则E(X)=2×,D(X)=2××(1-)=.Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 可得E(Y)=0×+1×+2×,D(Y)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×,所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y).故选B. 11.BC　解析 小球在下落的过程中,向左与向右的概率相同,各为,小球落在第③个格子一共跳7次,需要向左5次,向右2次,向右的次数服从二项分布,故小球落在第③个格子的概率P=×()2×()5=.故选BC. 12.(1)0.6　(2)3.2　解析 (1)该同学一周跑11圈的概率为0.5×0.6+0.5×0.6=0.6. (2)该同学一周跑12圈的概率为0.5×0.4=0.2,故该同学运动量达标的概率为0.6+0.2=0.8,∴X~B(4,0.8),则E(X)=4×0.8=3.2. 13.6　解析 由随机变量X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=2, 可得解得即X~B(9,), 则P(X=k)=)k(1-)9-k,可得×2, 当>1时,概率递增;当<1时,概率递减. 令×2>1,解得k<,所以当k≤5且k∈N时,P(X=k+1)>P(X=k); 当k≥6且k∈N时,P(X=k+1)<P(X=k),所以当k=6时,概率取得最大值. 14.解 (1)设“有女学生参加活动”为事件A,“恰有一名女学生参加活动”为事件B, ∵P(AB)=,P(A)=, ∴P(B|A)=. (2)由题意知,X服从超几何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2), ∵P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×. (3)设一名女学生参加活动可获得的积分为X1,一名男学生参加活动可获得的积分为X2,则X1的所有可能取值为3,6,X2的所有可能取值为6,9, P(X1=3)=P(X1=6)=,E(X1)=3×+6×; P(X2=6)=P(X2=9)=,E(X2)=6×+9×. ∵有X名女学生参加活动,则有2-X名男学生参加活动,Y=X+(2-X)=15-3X, ∴E(Y)=E(15-3X)=15-3E(X)=15-3×=13, ∴两个学生的积分之和的期望为13. 8 学科网（北京）股份有限公司 $