专题03 平面直角坐标系（暑假复习讲义）新八年级数学新教材人教版

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03平面直角坐标系 了内容导航 01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1有序数对的理解与生活应用 题型2判断点所在象限、坐标轴 题型3根据点所在象限，求字母参数取值范围 题型4求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标 题型5平行坐标轴、象限角平分线上点的计算 题型6根据坐标描点、连线绘制平面图形 题型7利用坐标求线段长度、图形周长 题型8网格多边形求面积（期末高频解答） 题型9实际场景建立坐标系，用坐标表示地点 题型10用方向角+距离描述物体位置 题型11根据文字方位描述，作图确定点位置 题型12求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移） 题型13给出平移方式，直接计算点坐标 题型14己知平移前后两点坐标，判断完整平移方式 题型15已知图形整体平移，求各顶点对应坐标 题型16已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标 题型17坐标系平移综合、平移动点问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 1/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 复习目标 常考考点 命题风向 模块一平面直角坐标系的概念 模块一平面直角坐标系的概念 1.有序数对的概念与生活应用 单元入门基础，选择、填空必考，难度偏低。命题常 2.坐标系组成：横轴X、纵轴y、原点、四象 结合教室座位、棋盘、地图等生活场景考有序数对； 限 高频概念陷阱：横纵坐标书写顺序颠倒、坐标轴上点 3.四大象限、坐标轴上点的坐标符号特征 误归象限、混淆象限正负符号；网格识图、简单找点 4.已知点描点、根据位置写出对应坐标 是主要出题形式，属于基础送分板块。 模块二用坐标描述简单几何图形 模块二用坐标描述简单几何图形 1.网格中根据坐标描点、顺次连线画图形 期中期末中档简答必考，数形结合基础题型。常给网 2.利用坐标求平行坐标轴线段长度 格顶点坐标，求三角形、四边形面积；易错点：分不 3.网格多边形周长、面积计算（割补法） 清图形底和高、不会使用割补法；是衔接代数计算与 模块三用坐标表示地理位置 平面几何的核心内容。 1.实际场景中建立坐标系，用有序数对表示地 模块三用坐标表示地理位置 点位置 应用题高频考点，选择、简答均会出现。分两类考法 2.用方向角+距离两个条件确定物体位置 ①地图建坐标定位；②航海/观测方位定位；核心 3.根据文字方位描述，作图确定目标点位置 陷阱：描述方位漏写观测点、只写角度不写距离，答 模块四用坐标表示平移 题要素不全丢分。 1.求点沿x轴、y轴平移后的新坐标 模块四用坐标表示平移 2.给出平移方向距离，直接计算点坐标 全题型覆盖，单元拉分核心，也是一次函数图像平移 3.已知平移前后坐标，反向判断平移路线 铺垫基础。正向平移、逆向还原平移、图形平移三大 4.图形整体平移，求顶点对应坐标 考法；高频易错：平移左右、上下对应的加减记反； 5.已知平移后坐标，逆向求原始点坐标 动点大题常结合面积、距离综合命题，区分度高。 6.坐标系平移综合、平移动点问题 考情解码： 1.基础必拿分：判断点所在象限、有序数对读写、基础单点平移、方位简单判断，试卷前几道小题必 考。 2.核心心拉分点：网格图形面积计算、平移正反互推、方位坐标综合、坐标系动点解答题。 3.高频易错汇总：横纵坐标顺序颠倒、距离忘记加绝对值、平移加减符号记反、方位描述缺少观测点 /距离、求面积底高不垂直、逆向平移运算不变号。 2/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02 知识重构 脉|络1重构 有序数对定义：有固定先后顺序的一组数(，b),前数为横坐标（水 平)，后数为纵坐标（竖直） 坐标系构成：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴 四象限符号（逆时针划分）：第一象限(+，+；第二象限(，+)：第三象 限(，；第四象限(+，) x轴上点：纵坐标y=0,格式仪，O) 平面直 坐标轴上点特征 角坐标 y轴上点：横坐标x=0,格式(O,y) 系的概 念 点Pxy:到x轴距离=M 点到坐标轴距离公式 点Pk,y):到y轴距离= 平行x轴直线：线上全部点纵坐标相等 平行y轴直线：线上全部点横坐标相等 特殊直线坐标规律 一、 三象限角平分线：X=y 二 四象限角平分线：X=y 网格作图步骤：建立坐标系→根据坐标逐个描顶点→按顺序连线，得到平面图形 平面直角坐标系 用坐标 Ax1,y1)、B(x2,y2),AB1Ix轴，长度x1-x2 平行坐标轴两点距离 描述简 ABI"y轴，长度y1-y2 单几何 图形 直角三角形、矩形：直接用坐标找垂直的底、高，套用公式 网格图形面积计算 不规则多边形：割补法（分割成多个规则图形相加/ 补成长方形减去多余三角形) 实际场景坐标定位四步法 用坐标表 方位定位双要素 (缺一不可) 观测点+方向角（北偏东/北偏西/南偏东/南偏西）+距离 示地理位 置 以观测点为中心画十字方位线一用量角器画出指定角 由方位找点作图流程 度射线一按单位长度截取对应距离，标记目标点 核心基础口决：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 正向单点平移（已知平移求新坐标） 逆向还原平移（已知平移后坐标求原坐标） 用坐标 表示平 对比平移前后坐标：横坐标变大→右移，变小→左 移 判断平移方式 移；纵坐标变大一上移，变小一→下移 图形平移规律 图形形状、大小不变，仅位置改变 平移综合与动点 3/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 重I点|梳I理 知识点一平面直角坐标系的概念 1.有序数对定义：有固定先后顺序的一组数(，b),前数为横坐标（水平)，后数为纵坐标（竖直）， (a,b)b,a)；用于座位、地图定位。 2.坐标系构成：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴：水平x轴（横轴，向右为正）；竖直y轴（纵轴， 向上为正)；两轴交点O0,0)为坐标原点。 3.四象限符号（逆时针划分)：第一象限(+，+)；第二象限(，+)；第三象限(，)；第四象限(+，) △坐标轴上所有点不属于任何象限 4.坐标轴上点特征： x轴上点：纵坐标y=O,格式&，0) y轴上点：横坐标x=0,格式(0，y)。 5.点到坐标轴距离公式： 点P&y):到x轴距离=y;到y轴距离=x(距离恒为非负数) 6.特殊直线坐标规律： 平行×轴直线：线上全部点纵坐标相等； 平行y轴直线：线上全部点横坐标相等； 一、三象限角平分线：xy: 二、四象限角平分线：x=y 【易错提醒】 1.有序数对顺序不能颠倒，(a,b)与b,a)表示不同位置。 2.坐标轴上的点不属于任何象限。 3熟记各象限坐标符号，避免混淆正负。 4.x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。 5.点到坐标轴的距离要取绝对值，距离一定为正数。 即时即练下列说法不正确的是() A.点1,2)在第一象限 B.点(-3,5)到y轴的距离为3 C.已知点M(5,2),点N(5,-2),则MW∥y轴D.若y=0,则点(x,)一定在x轴上 知识点二用坐标描述简单几何图形 1.网格作图步骤：建立坐标系→根据坐标逐个描顶点→按顺序连线，得到平面图形 2.平行坐标轴两点距离： 4/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A(X1,y1)、B&2,y2),AB∥x轴，长度X1-X2l；AB∥y轴，长度y1-y2l 3.网格图形面积计算： (1)直角三角形、矩形：直接用坐标找垂直的底、高，套用公式； (2)不规则多边形：割补法（分割成多个规则图形相加/补成长方形减去多余三角形） 【易错警示】 1.描点连线务必按顶点顺序，防止图形变形。 2.计算线段长度记得取绝对值，结果为正数。 3.求面积时底和必须垂直，三角形面积勿忘乘 。 4.不规则图形用割补法，分割、补全不重不漏。 5.平移、对称后的图形，周长和面积保持不变。 即时即练如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用(-2，-1)表示A点的位置，用(2,0)表示B点的位置，则 点E的坐标为（) B A.(0,2) B.(2,2) c.(0,3) D.(2,3) 知识点三用坐标表示地理位置 1.实际场景坐标定位四步法： (1)选定参照物作为坐标原点； (2)规定x轴向东、y轴向北为正方向： (3)设定网格单位长度； (4)写出每个地点的有序数对。 2.方位定位双要素（缺一不可)： 观测点+方向角（北偏东/北偏西/南偏东/南偏西）+距离；仅角度无法确定位置。 3.由方位找点作图流程： 以观测点为中心画十字方位线→用量角器画出指定角度射线→按单位长度截取对应距离，标记目标点。 【易错警示】 1建立坐标系时，看清原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2有序数对牢记先横后纵，切勿颠倒顺序。 5/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.方位描述必须包含观测点、方向角、距离三要素，少一项就出错。 4描述方位统一规范：优先说北/南，再说东/西，如北偏东，不说东偏北。 5同一场景下，全程保持坐标系规则不变，前后坐标不混用。 即时即练2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器入能像人类一样理解空间关 系、距离和方位，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动：指令1：向北移动 4米到点A;指令2：右转90°，向东移动3米到点B;指令3：右转90°，向南移动2米到点C;指令4： 右转90°，向西移动5米到点D,判断下列结论中不正确的是（) 精确转动路位 A,直线OA与直线CD垂直 B.直线AB与直线CD平行 C.点D位于点0的北偏东45°方向 D,点O与点C之间的距离大于3米 知识点四用坐标表示平移 核心基础口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，设原始点P心，y) 1.正向单点平移（已知平移求新坐标)： 右移a个单位：(x+a,y): 左移a个单位：&-a,y) 上移b个单位：（心y+b): 下移b个单位：(&y-b) 2.逆向还原平移（已知平移后坐标求原坐标)： 运算反向颠倒：向右平移得到的点，求原点向左平移；向上平移得到的点，求原点向下平移，加变减、减 变加。 3.判断平移方式： 对比平移前后坐标：横坐标变大→右移，变小→左移；纵坐标变大→上移，变小→下移。 4.图形平移规律： 图形形状、大小不变，仅位置改变；全部顶点执行完全相同的平移规则，平移顶点后重新连线。 5.平移综合与动点： 设运动时间，用含t代数式表达动点坐标；结合线段距离、图形面积列方程求解，分区间讨论动点位置。 6/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【易错警示】 1.牢记平移口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，切勿记反加减规则。 2.图形平移时，所有顶点遵循同一变化规律，不可单独改变个别点坐标。 3.已知平移后坐标求原坐标，运算要反向，加变减、减变加。 4平移只改变图形位置，形状、大小、周长、面积均保持不变。 5.区分平移方向，左右只改横坐标，上下只改纵坐标，不混淆两类坐标。 即时即练已知点A(1,3),点B(2,-1),将线段AB平移至AB,若点A(a,1),点B,(3,b),则a+b的值为 () A.-5 B.-1 C.1 D.5 03 题型突破 题型1有序数对的理解与生活应用 例1.下列说法正确的是（) A,坐标轴上的点可以用一个实数表示 B.坐标平面内的点(a,b)和(b,a)表示同一个点 C.坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定 D.纵坐标为a,横坐标为b的点的坐标可表示成(a,b) 【技巧总结】 1.书写规则：先写水平横坐标，后写竖直纵坐标，顺序不可逆； 2.生活场景统一规则：座位（列，行）、地图（东，北）。 避坑：(2,5)和(5,2)是两个完全不同的位置。 【变式训练1-1】如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，-1)表示，黑棋②的 位置用有序数对(-3,0)表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为() A.（2,1) B.（-1,2) C.（-2,1) D.(1,-2) 7/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式训练1-2】数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi(a,b为 实数)的数叫做复数，用z=a+bi表示，任何一个复数z=a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Za,b) 表示，如：z=1+2i表示为Z1,2),则z=2-i可表示为() A.Z2,-1)B.Z-2,1) C.Z八2,1) D.Z-1,2) 题型2判断点所在象限、坐标轴 例1.点P(x,y)的坐标满足y>0,且x+y<0,则点P在() A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D,第四象限 【技巧总结】 1观察横、纵坐标正负，对照四象限符号快速判断； 2y=0在x轴，x=0在y轴，坐标轴点不属于任何象限。 【变式训练2-1】小渝将“科”“技"“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的 坐标分别为(-2,0)，(0,0)，则“科"在() 新 A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D,第四象限 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，点P(m,n)在第二象限，则点Q(-m,n)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D,第四象限 题型3根据点所在象限，求字母参数取值范围 例1.若点P(4-a,a-5)在y轴上，则a的值是() A.5 B.-5 C.4 D.-4 【技巧总结】 1.依据象限符号列出一元一次不等式组； 2.解不等式组，得到字母取值区间。 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，点P(a-2,b+2)在x轴上，点Q(a-1,b+1)在y轴上，则a+b的值 为() A.-1 B.-3 C.1 D.3 【变式训练3-2】已知点P(0,a在y轴的负半轴上，则点M(a,1)在() A.第一象限B,第二象限 C.第三象限 D,第四象限 8/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型4求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标 例1.若A(m-1,n)在第四象限，且点A到x轴的距离为7，到y轴的距离为4，则点A的坐标为() A.(4,-7) B.(5,-7) C.(7,-4) D.(7,-5) 【技巧总结】 1距离等于坐标绝对值，结果一定是正数； 2.己知距离求坐标，横、纵坐标分正负讨论，存在多组解，不要漏写。 【变式训练4-1】平面直角坐标系中，第二象限内的点P(a-3,a+5)到y轴的距离是5，则a的值为() A.-2 B.8 C.-7 D.3 【变式训练4-2】已知点P(2m+3,m-2),若点P到两坐标轴的距离相等，则m的值为() A.5或3 日.5减月 C.5或3 D.5或3 题型5平行坐标轴、象限角平分线上点的计算 例1.已知点M(-4,6),点N(2,2a),且MN∥x轴，则a的值为() A.3 B.2 C.6 D.-3 【技巧总结】 1.AB∥x轴台yAyB;AB∥y轴台XAXB 2.一、三平分线：xy;二、四平分线：x=y,直接列方程求参数。 【变式训练5-1】已知A点坐标为(3,5)，线段AB平行于x轴，且AB=5,则点B的坐标为() A.（-2,5)或(8,5B.(2,5)或(3,10) C.(3,0)或(3,10) D.(3,0)或(8,5) 【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点A(3,-2),B(-1,m),且AB平行于x轴，则m的值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 题型6根据坐标描点、连线绘制平面图形 例1.图中标明了李同学家附近的一些地方.某日早晨，李同学从家里出发，沿(0，-100)， (-100,-200),(200,-200),(200,100),(100,0),(-100,200)的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他 经过的地方，你得到的图形是() 9/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个y/m 400 300 书掂 ◆200 消防 电影院 ---100 家 公交车站 -400-300-200-100 0100200300400x/m 邮扃 +100姥姥家 街心花园 200 宠物店 消防站 二300 ------- A,心形 B.鱼 C,帆船 D,箭头 【技巧总结】 网格内先找到横坐标对应竖线、纵坐标对应横线，标记顶点后顺次连接，不打乱顶点顺序。 【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(4,3),B(3,0), C(1,2). A (1)在图中画出三角形ABC; (2)将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形 A,B,C1,并写出点A,B的坐标 【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(-4,4),B(-3,1), C(0,2). 10/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)在图中作出三角形ABC; (2)把三角形ABC向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，作出三角形ABC平移后的三角形A'B'C', 并写出点A'的坐标. 题型7利用坐标求线段长度、图形周长 例1.如图，在平面直角坐标系中，点B(0,-1),C(4,4),E(0,4),BC=5,点A在x轴正半轴上，线段AB 与线段CE交于点D,若△EBD与△ACD面积相等，则A到直线BC的距离是 D 【技巧总结】 平行坐标轴线段直接坐标作差取绝对值；倾斜线段利用网格直角三角形勾股定理计算。 【变式训练7-1】【问题情境】 在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x,y)和点B(x,y),小亮在学习中发现，若x=x2,则AB∥y 轴，且线段AB的长度为以-；若乃=y,则AB∥x轴，且线段AB的长度为x-: 【知识应用】 (1)若点A(-3,2),B(9,2),则AB的长度为 (2)已知点C(1,3),若CD∥y轴，且CD=5,求点D的坐标. 11/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式训练7-2】已知点M(3,1),N(a,a+3),若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为 题型8网格多边形求面积（期末高频解答） 例1.阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴分别交于A(4,0),B(Qm两点，点C(2,3,P2”在 5 直线AB上，求点B的坐标， VA P A 【问题探究】 (1)请阅读并填空： 第一步：过点C作CN⊥x轴于点N,由A,C两点的坐标，可直接得出三角形AOC的面积为 第二步：过点C作CQ1y轴于点Q,三角形40B的面积01.0B-2m,三角形B0C的面积为 三角形AOC的面积=三角形AOB的面积+三角形BOC的面积， 可得关于m的一元一次方程为 解这个方程，可得点B的坐标为 【问题迁移】 (2)连接OP,请仿照(1)中的方法，求点P的坐标. 【问题拓展】 (3)若点H(k,h)在直线AB上，且在y轴的左侧，三角形BOH的面积为5，请直接写出点H的坐标 【技巧总结】 1.规则直角图形：直接读取底和高计算； 2.不规则图形固定方法：割补法，分割求和或补大减多余。 【变式训练8-1】综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A坐标为(0，m),点B坐标为(n,0),点C坐标为(c,m) (1)求△ABC的面积. 12/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解决问题】 (2)若m=3,n=-2,c=-4,求四边形AOBC的面积. 【深入探究】 (3)在(2)的条件下，过OB中点M作直线MN∥y轴交AB于点N,求点N的坐标. 【拓展延伸】 (4)在(2)的条件下，点P的坐标为(-1，-1)，在x轴上是否存在点M,使三角形ABM的面积等于四边形 OPBA面积的3倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由、 【变式训练8-2】在如图所示的平面直角坐标系中，点A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2). D A B (1)求四边形ABCD的面积； (2)在y轴上找一点P,使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求点P的坐标， 题型9实际场景建立坐标系，用坐标表示地点 例1.如图，已知棋子“车”的坐标为(-2，-1)，棋子“马"”的坐标为(1，-1)，则棋子“炮”的坐标为() 楚河 汉界 车 炮 A.(-2,3) B.(3,1) C.(3,-2) D.（-1,2) 【技巧总结】 固定四步模板：定原点→定正负方向→定单位长度→书写各地点有序数对。 【变式训练9-1】如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代 表1个单位长度.已知学校的坐标为(-3，-1)，体育馆的坐标为(6,1) 超市 电影院 体育馆 学校 13/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)请在图中画出这个平面直角坐标系： (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标. 【变式训练9-2】瓮安欢乐谷坐落于草塘石林公园处，周末小星和小丽相约到欢乐谷游玩，游玩结束后，他 们绘制了欢乐谷部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为(2,1)，大摆锤的坐标(-1,2). 大摆锤 碰碰车 海盗船 (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中海盗船的坐标； (3)若在欢乐谷新建一个游客中心E(-3,-1),请你在图中画出游客中心的位置E. 题型10用方向角+距离描述物体位置 例1.如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距15m的B处与琪琪会合.请你用方向和距离描述 佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是() A.佳佳在琪琪的北偏东50°，15m处 B.佳佳在琪琪的北偏东40°，15m处 c.佳佳在琪琪的南偏西40°，10m处 D.佳佳在琪琪的南偏西50°，10m处 【技巧总结】 标准完整描述句式：以X为观测点，北/南偏东西X°，距离X单位；三个要素缺一不可。 【变式训练10-1】如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm,实际A舰在C舰的 正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2c,请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实 际位置： 14/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式训练10-2】如图，货轮与灯塔相距40mile. 货轮 北 东 50 灯塔 (1)用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东 _°，40 nmile处； (2)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的南偏西40°方向，请你在图中标出客轮的位置. 题型11根据文字方位描述，作图确定点位置 例1，根据下列表述，其中能确定具体目标位置的是() A,某市人民路B.南偏西45° C,电影院1号厅第2排D.东经118°，北纬68° 【技巧总结】 十字方位定位中心→量角器画角度射线→截取对应长度标记目标点。 【变式训练11-1】小明从A处出发向北偏东40°走了30m,到达B处：小刚也从A处出发、向南偏东50°走 了40m,到达C处. (1)用1cm表示10m,画图表示A、B、C三处的位置； (2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置： (3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米. 【变式训练11-2】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区， 四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装.以下能准 确描述四子王旗位置的是() A,乌兰察布市的西北方向 B.距离包头249公里 C.北纬42°，东经11230 D.与武川县相邻 题型12求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移） 例1.将点A(-3,2)水平平移5个单位长度到达点B,则点B的坐标为 15/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【技巧总结】 直接套用口诀分步计算，横坐标只管左右，纵坐标只管上下，分开计算不跳步。 【变式训练12-1】将点A(a-3,a+2)向左平移3个单位长度后落在y轴上，则a的值为 【变式训练12-2】将点P(2,-3)向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是 () A.（-1,-1) B.(5,-5) c.(-1,-5) D.(5,-1) 题型13给出平移方式，直接计算点坐标 例1.在平面直角坐标系中，点P先向左移动5个单位，再向上移动7个单位，到达点(-8,8)，则原来P 点的坐标为 【技巧总结】 同上正向平移题型，分别修改横、纵坐标数值。 【变式训练13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,0),M为第三象限内一点 B (1)若点M(2-a,2a-10)到两坐标轴的距离相等 ①求点M的坐标； ②若MN∥AB且MN=AB,求点N的坐标， (2)若点M为(n,n),连接AM,BM将△AMB沿x轴方向向右平移得到△DEF(点A,M的对应点分别为点 D,E),若△AMB的周长为m,四边形AMEF的周长为m+4,求点E的坐标（用含n的式子表示). 【变式训练13-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A(-1,4),B(-4,3),C(-3,1),把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移4 个单位长度得到三角形A'B'C,点A,B,C的对应点分别是点A',B',C”,请你在平面直角坐标系中画出三角 形AB'C',并写出点A的坐标. 16/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 -5-4-3-2-10 12345x 2 3 题型14已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式 例1.如图，点A,B的坐标分别为(-3,1)，（-1，-2)，若将线段AB平移至A,B的位置，点A,B的坐标分 别为(a,4,(3,b),则2a+b的值为() A(a,4) B1(3,b) O B A 3 B.2 C.1 D.0 【技巧总结】 计算横坐标差值x后-x前，正数右移、负数左移；纵坐标差值y后y前，正数上移、负数下移，合并描述平移 路线。 【变式训练14-1】在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',位置如图所示. --3 -----2 4-1 B -4-3-2公 01 X 2.3.4x A -A2 4 (1)分别写出A,A的坐标：A_,A'-; 17/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到； (3)若M(m,4-n)是三角形ABC内部的一点，经过平移后，点M在三角形A'B'C中的对应点M'的坐标为 (2m-8,n-4),求m和n的值 【变式训练14-2】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(-2,3), C(-5,2).将三角形ABC平移，得到三角形A'B'C',其中任意一点P(x,,)平移后的对应点为 P'(x+7,6-4) VA 6 ◆P 6-5-4-3-2-19 1.2.34.5.6x 2 p' -4 5 6 (1)画出三角形A'B'C,并写出点C的坐标为一： (2)写出三角形ABC的一种沿坐标轴方向的平移方式 题型15已知图形整体平移，求各顶点对应坐标 例1.如图，A(-3,2),B(-1,-2),C(1,-1),将三角形ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单 位长度，得到三角形A,B,C,请你画出三角形AB,C,并写出A,B,C的坐标. 6 43-212.345 【技巧总结】 提取图形全部顶点，每个顶点统一使用同一平移规则计算新坐标，最后描点连线。 【变式训练15-1】已知三角形AB'C'是由三角形ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的 坐标如表所示： 18/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三角形ABC A(a,5) B(5,7) C(4,0) 三角形A'B'C A'(-2,3) B'(2,b) 9 8 6 5 1 -3-2-10123456789x (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ①a=」 ,b= 一； ②C''): (2)在平面直角坐标系中画出三角形A'B'C (3)若点P(m,n)是三角形ABC内部一点，则经过平移后得到的对应点M的坐标为(2m-7,2n-5),求m”的 平方根。 【变式训练15-2】如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度.请回答下列问 题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：A(,_)，B(,_)，C1(,-); (2)画出平移后三角形A,B,C,; (3)若平移后的三角形A,B,C,内部有任意一点P(a,b),则平移前对应点的坐标为：P(_,_)· 题型16已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标 例1.在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到线段AB,若点A(3,-2)的对应点为A,(5,-6),点B的对 19/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 应点为B,(0,-4),则点B的坐标为( ) A.(-2,0) B.(2,0) c.(2,-8) D.(0,-2) 【技巧总结】 平移操作全部反向，正向加则逆向减，正向减则逆向加。 【变式训练16-1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，已知三角形ABC的 顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),将三角形ABC平移得到三角形A,B,C,三角形ABC中任意一点 P(,)经平移后对应点为P(x。+3y。-2) VA 2 5 3 (1)画出三角形A,B,C,并写出顶点坐标：A-,B-,C1- (2)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1(3,1),则点M的坐标为_·连接线段MM1,PR, 则这两条线段之间的数量关系是_ 【变式训练16-2】小明和小亮在玩“你来说，我来猜"的游戏 ??2 平面上的点P到轴的距离 00 是3个单位长度，向右平移4 个单位后落在y轴上 小亮 小明 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是() A.(-3,4) B.（-4,3) C.(-3,4)或(-3，-4)D.（-4,3)或(-4，-3) 题型17坐标系平移综合、平移动点问题 例1.已知vb-5+b-c-8=0,d为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点A(a,b),B(a-d,b-3), C(c,0),且a>0. 20/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 环 M 图① 图② (1)直接写出b= C= ,d= (2)如图①，当点C在直线AB上时，连接AO,求三角形ACO的面积； (3)平移线段AB,使点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以 每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直 线P、MQ交于点D,设点P、Q运动的时间为t(秒). ①如图②，当1<t<2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标. 【技巧总结】 设运动时间t,写出动点含t的坐标代数式；根据距离、面积、象限条件列方程，分情况讨论动点在线段不 同区间的取值。 【变式训练17-1】如图1，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a,b满足 a+6+V2b-8=0,现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD,其中 点A对应点为C,点B对应点为D,连接AC,BD, y M B B 图1 图2 备用图 (1)直接写出A,B,C,D四个点的坐标. (2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD上的一个定点，连接MN,MO,当点M在线 段AC上移动时（不与A,C重合），探究∠DMM，,∠OMN,MOB之间的数量关系，并说明理由. (3)在y轴上存在点P,使△PBC的面积与△ABD的面积相等，直接写出点P的坐标， 【变式训练17-2】在平面直角坐标系中，已知长方形ACDB,其中点A(2,4),点D(6,-1). 21/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 图1 备用图 (1)填空：点B的坐标为，点C的坐标为一 (2)若点P是y轴上的动点，连接PD ①如图1，当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E,用等式表示三角形PEC的面积与三角 形ECD的面积之间的关系，并说明理由； ②当PD将四边形ACDB分成面积相等的两部分时，求点P的坐标. 04 综合通关 1.如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动， 每次移动2个单位长度，得到点A,(0,2),A(2,2),A(2,0),A(4,0),,按此规律移动下去，则点Ao26 的坐标为，() A A10 A13 414 A3 A11A12 A15 A.(2025,2) B.(2025,0) C.(2026,0) D.(2026,2) 2.在平面直角坐标系中，已知M(3,-2),N(-1,4),经过点M的直线1∥x轴，点P是直线1上的一个动点， 当线段P的长度最短时，则点P的坐标为() A.(3,4) B.（-1,-2) c.(3-2) D.(-1,4) 3.已知点M(-4,-3),N(2,-3)下列说法正确的是() A.点M到x轴的距离是4 B.点N在第二象限 C.MN∥y轴 D.N=6 4,若点P(x,y)满足尤=y,则点P在() A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C,第一象限或第三象限或原点上 D,第二象限或第四象限或原点上 5,在平面直角坐标系中，点Ma°+1,3在() 22/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.A,B两点的坐标分别为(2,4)，(6,0)，点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为8，则点P的坐标 为 7.已知点M的坐标为(3m-2,2m+1),且点M到x轴的距离为2，则m的值为 8.在平面直角坐标系中，若点A(3,0),点B(0,1),点P在y轴上，且三角形PAB的面积为6，则点P的坐 标为 9.2026年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着 永恒的光芒，如图是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为(-2,3)，表示湘江战役的点的坐标为 (0,-2),则表示瑞金的点的坐标是 吴起镇会师 会宁会师 过草地 爬雪山 一四渡赤水 气遵义会议 端金 湘江战没 10.如图，在平面直角坐标系中，点A(-1,2)B(3,4),三角形ABO经平移得到三角形AB,O,且点A、B、 O的对应点分别为A、B、O,已知P(a,b)是线段AB上一点，A(-2,5). 6 -p A -3-2-1Q 1 12.3456元 (1)画出三角形AB,O; (2)写出B,P的对应点B,P的坐标；B, P. (3)若点M(3,m),且三角形OMB的面积为9，直接写出满足条件的点M的坐标 11.如图所示，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a,b满足 a+2+b-4=0,点C的坐标为(0,3). 23/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y C(0,3) A (1)求a,b的值及SA8c; (2若点M在x轴上，且SSc,试求点M的坐标。 3 12.在平面直角坐标系中，A(m,6),B(n,0),其中m,n满足m-4+vn-8=0. B B 图1 图2 (1)如图1，已知点C(-2,-5),求△ABC的面积； (2)如图2，过点A向y轴作垂线，垂足为D,请问在x轴的上方是否存在点E,使△EAD与△EOB的面积相 等，且△EAB的面积是△OD面积的3倍？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由 13,如图①，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C 的坐标为(2,2)，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，AB⊥BC. 图① 图② 备用图 (1)求三角形ABC的面积； (2)如图②，过点B作AC的平行线交y轴于点M,作∠CAB和∠OMB的平分线相交于点N,求∠ANM的 度数 (3)若点P(m,n)是第二象限内一点，S△4Pc=20,求2n-m的值， 14,新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面 积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点P(4,4)分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成 长方形OAPB的周长与面积数值均为16，则点P是“优美点”. 24/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 衣 O 图1 图2 (1)判断点(2,2)是否是"优美点”？说明理由； (2)若点M(-4,m)是“优美点”，求m的值； (3)己知点P(a,3)是“优美点”，过点P作PB⊥y轴于点B,点E在线段PB上，且S△oB-S△oP=2,求点E 的坐标. 15.如图，在由小正方形组成的6×6的网格中，A,B,C均在格点（小正方形的顶点)上，请按下列要求完 成作图.（保留作图痕迹） A 图2 图2 (1)在图1中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(-1,1)，点B的坐标为(3，-1). (2)在图2中作线段CD,使CD平行于AB,且CD与AB不相等，D为格点. 05 错题留痕 25/26 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26/26 专题03 平面直角坐标系 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 有序数对的理解与生活应用 题型2 判断点所在象限、坐标轴 题型3 根据点所在象限，求字母参数取值范围 题型4 求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标 题型5 平行坐标轴、象限角平分线上点的计算 题型6 根据坐标描点、连线绘制平面图形 题型7 利用坐标求线段长度、图形周长 题型8 网格多边形求面积（期末高频解答） 题型9 实际场景建立坐标系，用坐标表示地点 题型10 用方向角+距离描述物体位置 题型11 根据文字方位描述，作图确定点位置 题型12 求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移） 题型13 给出平移方式，直接计算点坐标 题型14 已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式 题型15 已知图形整体平移，求各顶点对应坐标 题型16 已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标 题型17 坐标系平移综合、平移动点问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 模块一 平面直角坐标系的概念 1. 有序数对的概念与生活应用 2. 坐标系组成：横轴 x、纵轴 y、原点、四象限 3. 四大象限、坐标轴上点的坐标符号特征 4. 已知点描点、根据位置写出对应坐标 模块二 用坐标描述简单几何图形 1. 网格中根据坐标描点、顺次连线画图形 2. 利用坐标求平行坐标轴线段长度 3. 网格多边形周长、面积计算（割补法） 模块三 用坐标表示地理位置 1. 实际场景中建立坐标系，用有序数对表示地点位置 2. 用方向角+距离两个条件确定物体位置 3. 根据文字方位描述，作图确定目标点位置 模块四 用坐标表示平移 1. 求点沿 x 轴、y 轴平移后的新坐标 2. 给出平移方向距离，直接计算点坐标 3. 已知平移前后坐标，反向判断平移路线 4. 图形整体平移，求顶点对应坐标 5. 已知平移后坐标，逆向求原始点坐标 6. 坐标系平移综合、平移动点问题 模块一 平面直角坐标系的概念 单元入门基础，选择、填空必考，难度偏低。命题常结合教室座位、棋盘、地图等生活场景考有序数对；高频概念陷阱：横纵坐标书写顺序颠倒、坐标轴上点误归象限、混淆象限正负符号；网格识图、简单找点是主要出题形式，属于基础送分板块。 模块二 用坐标描述简单几何图形 期中期末中档简答必考，数形结合基础题型。常给网格顶点坐标，求三角形、四边形面积；易错点：分不清图形底和高、不会使用割补法；是衔接代数计算与平面几何的核心内容。 模块三 用坐标表示地理位置 应用题高频考点，选择、简答均会出现。分两类考法：①地图建坐标定位；②航海 / 观测方位定位；核心陷阱：描述方位漏写观测点、只写角度不写距离，答题要素不全丢分。 模块四 用坐标表示平移 全题型覆盖，单元拉分核心，也是一次函数图像平移铺垫基础。正向平移、逆向还原平移、图形平移三大考法；高频易错：平移左右、上下对应的加减记反；动点大题常结合面积、距离综合命题，区分度高。 考情解码： 1. 基础必拿分：判断点所在象限、有序数对读写、基础单点平移、方位简单判断，试卷前几道小题必考。 2. 核心拉分点：网格图形面积计算、平移正反互推、方位坐标综合、坐标系动点解答题。 3. 高频易错汇总：横纵坐标顺序颠倒、距离忘记加绝对值、平移加减符号记反、方位描述缺少观测点 /距离、求面积底高不垂直、逆向平移运算不变号。 知识点一 平面直角坐标系的概念 1. 有序数对定义：有固定先后顺序的一组数(a,b)，前数为横坐标（水平），后数为纵坐标（竖直），(a,b)≠(b,a)；用于座位、地图定位。 2. 坐标系构成：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴：水平x轴（横轴，向右为正）；竖直y轴（纵轴，向上为正）；两轴交点O(0,0)为坐标原点。 3. 四象限符号（逆时针划分）：第一象限((+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-) ⚠️ 坐标轴上所有点不属于任何象限 4. 坐标轴上点特征： x轴上点：纵坐标y=0，格式(x,0)； y轴上点：横坐标x=0，格式(0,y)。 5. 点到坐标轴距离公式： 点P(x,y)：到x轴距离=|y|；到y轴距离=|x|（距离恒为非负数） 6. 特殊直线坐标规律： 平行x轴直线：线上全部点纵坐标相等； 平行y轴直线：线上全部点横坐标相等； 1、 三象限角平分线：x=y； 二、四象限角平分线：x=-y 【易错提醒】 1.有序数对顺序不能颠倒，(a,b)与(b,a)表示不同位置。 2.坐标轴上的点不属于任何象限。 3.熟记各象限坐标符号，避免混淆正负。 4.x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。 5.点到坐标轴的距离要取绝对值，距离一定为正数。 即时即练下列说法不正确的是（） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为3 C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在x轴上 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，包括象限点的特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线的点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A对于点，横坐标，纵坐标， 该点在第一象限，说法正确，不符合题意； B点到轴的距离为，说法正确，不符合题意； C点和点的横坐标相同，轴，说法正确，不符合题意； D若，可得或，则点在轴上或轴上，不一定在轴上，说法错误，符合题意． 知识点二 用坐标描述简单几何图形 1. 网格作图步骤：建立坐标系→根据坐标逐个描顶点→按顺序连线，得到平面图形 2. 平行坐标轴两点距离： A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB∥x轴，长度|x1-x2|；AB∥y轴，长度|y1-y2| 3. 网格图形面积计算： （1） 直角三角形、矩形：直接用坐标找垂直的底、高，套用公式； （2） 不规则多边形：割补法（分割成多个规则图形相加 / 补成长方形减去多余三角形） 【易错警示】 1. 描点连线务必按顶点顺序，防止图形变形。 2. 计算线段长度记得取绝对值，结果为正数。 3. 求面积时底和必须垂直，三角形面积勿忘乘。 4. 不规则图形用割补法，分割、补全不重不漏。 5. 平移、对称后的图形，周长和面积保持不变。 即时即练如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系的概念是解答本题的关键．根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，由图可得点E的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为，B点为， ∴建立如图平面直角坐标系， ∴点E的坐标为． 故选：B． 知识点三 用坐标表示地理位置 1. 实际场景坐标定位四步法： （1） 选定参照物作为坐标原点； （2） 规定 x 轴向东、y 轴向北为正方向； （3） 设定网格单位长度； （4） 写出每个地点的有序数对。 2. 方位定位双要素（缺一不可）： 观测点+方向角（北偏东/北偏西/南偏东/南偏西）+距离；仅角度无法确定位置。 3. 由方位找点作图流程： 以观测点为中心画十字方位线→用量角器画出指定角度射线→按单位长度截取对应距离，标记目标点。 【易错警示】 1.建立坐标系时，看清原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.有序数对牢记先横后纵，切勿颠倒顺序。 3.方位描述必须包含观测点、方向角、距离三要素，少一项就出错。 4.描述方位统一规范：优先说北 / 南，再说东 / 西，如北偏东，不说东偏北。 5.同一场景下，全程保持坐标系规则不变，前后坐标不混用。 即时即练2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 知识点四 用坐标表示平移 核心基础口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，设原始点P(x,y) 1. 正向单点平移（已知平移求新坐标）： 右移a个单位：(x+a,y)； 左移a个单位：(x-a, y) 上移b个单位：(x, y+b)； 下移b个单位：(x, y-b) 2. 逆向还原平移（已知平移后坐标求原坐标）： 运算反向颠倒：向右平移得到的点，求原点向左平移；向上平移得到的点，求原点向下平移，加变减、减变加。 3. 判断平移方式： 对比平移前后坐标：横坐标变大→右移，变小→左移；纵坐标变大→上移，变小→下移。 4. 图形平移规律： 图形形状、大小不变，仅位置改变；全部顶点执行完全相同的平移规则，平移顶点后重新连线。 5. 平移综合与动点： 设运动时间t，用含t代数式表达动点坐标；结合线段距离、图形面积列方程求解，分区间讨论动点位置。 【易错警示】 1.牢记平移口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，切勿记反加减规则。 2.图形平移时，所有顶点遵循同一变化规律，不可单独改变个别点坐标。 3.已知平移后坐标求原坐标，运算要反向，加变减、减变加。 4.平移只改变图形位置，形状、大小、周长、面积均保持不变。 5.区分平移方向，左右只改横坐标，上下只改纵坐标，不混淆两类坐标。 即时即练已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移的性质可得，点到点的坐标变化规律与点到点的坐标变化规律相同，从而求出与的值． 【详解】解：∵，， ∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点， ∵线段由线段平移得到， ∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型1 有序数对的理解与生活应用 例1．下列说法正确的是（   ） A．坐标轴上的点可以用一个实数表示 B．坐标平面内的点和表示同一个点 C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定 D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示方法．根据平面直角坐标系中点的坐标表示方法逐一判断其正确性，即可． 【详解】解：选项A：坐标轴上的点（如x轴或y轴）需用形如或的坐标表示，包含两个实数，而非仅一个实数，故A错误． 选项B：点与仅在时表示同一位置，否则位置不同（如与），故B错误． 选项C：根据平面直角坐标系的定义，每个点由唯一的有序实数对确定，且每个有序实数对对应唯一的点，故C正确． 选项D：坐标的规范写法为“横坐标在前，纵坐标在后”，即横坐标为、纵坐标为时应写作，而非，故D错误． 故选：C． 【技巧总结】 1.书写规则：先写水平横坐标，后写竖直纵坐标，顺序不可逆； 2.生活场景统一规则：座位（列，行）、地图（东，北）。 避坑：(2,5)和(5,2)是两个完全不同的位置。 【变式训练1-1】如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知两点的坐标可以画出坐标轴，进而求出③的坐标． 【详解】解：根据已知两点的坐标画出坐标轴， ③的坐标为， 故选：C． 【变式训练1-2】数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi(a，b为实数)的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a，b)表示，如：z＝1+2i表示为Z(1，2)，则z＝2﹣i可表示为（    ） A．Z(2，﹣1) B．Z(﹣2，1) C．Z(2，1) D．Z(﹣1，2) 【答案】A 【分析】根据题目中的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得：z＝2﹣i可表示为Z（2，－1）， 故选A．   题型2 判断点所在象限、坐标轴 例1．点的坐标满足，且，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据判断和的符号关系，再结合确定、的正负，最后根据平面直角坐标系各象限的坐标特点判断点所在象限． 【详解】解：∵， ∴和同号，即同时为正或同时为负． 又∵， ∴，， ∵平面直角坐标系中，横纵坐标都为负的点在第三象限， ∴点在第三象限． 【技巧总结】 1.观察横、纵坐标正负，对照四象限符号快速判断； 2.y=0在x轴，x=0在y轴，坐标轴点不属于任何象限。 【变式训练2-1】小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在的象限，写出直角坐标系中点的坐标，解题关键是掌握上述知识点．先求出“科”的坐标，再根据坐标判断所在的象限． 【详解】解：因为“创”“新”的坐标分别为，， 所以可建立平面直角坐标系如图， 所以“科”的坐标为， 则“科”在第二象限， 故选： B． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，点在第二象限，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】四个象限坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，先根据点的位置判断的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可判断所在象限． 【详解】解：∵ 点在第二象限 ∴， ∴ ∴点的横纵坐标符号为，符合第一象限点的坐标特征 ∴点在第一象限． 题型3 根据点所在象限，求字母参数取值范围 例1．若点在轴上，则的值是（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，利用y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点 在轴上 ∴点的横坐标为 即 解得 ． 【技巧总结】 1.依据象限符号列出一元一次不等式组； 2.解不等式组，得到字母取值区间。 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，求出的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为，即， 解得； 又点在轴上， 点的横坐标为，即， 解得； ． 【变式训练3-2】已知点在y轴的负半轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据y轴负半轴上点的坐标特征判断a的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断点M的位置． 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 题型4 求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标 例1．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用性质求出横纵坐标即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标， ∵点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值， 又∵点A到x轴距离为7，到y轴距离为4， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点A的坐标为． 【技巧总结】 1.距离等于坐标绝对值，结果一定是正数； 2.已知距离求坐标，横、纵坐标分正负讨论，存在多组解，不要漏写。 【变式训练4-1】平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【分析】点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离是5， ∴，且， ∴， 解得， 此时，符合题意． 【变式训练4-2】已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（     ） A．5或 B．或 C．5或 D．或 【答案】B 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，得到点横、纵坐标的绝对值相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵点 到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： ①当 时， 即 ， 解得： ； ②当 时， 即 ， ， 解得 ； 综上，的值为或． 题型5 平行坐标轴、象限角平分线上点的计算 例1．已知点，点，且轴，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】利用平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等的性质求解即可． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴ 解得． 【技巧总结】 1.AB∥x轴⟺ yA=yB；AB∥y轴⟺ xA=xB 2.一、三平分线：x=y；二、四平分线：x=-y，直接列方程求参数。 【变式训练5-1】已知点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用平行于x轴的点的坐标特征，先确定B点的纵坐标，再根据线段长度分情况计算B点的横坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵线段平行于轴，， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点B的横坐标为或， ∴点的坐标为或． 【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可得解． 【详解】解：平行于轴，点，， ． 题型6 根据坐标描点、连线绘制平面图形 例1．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 【技巧总结】 网格内先找到横坐标对应竖线、纵坐标对应横线，标记顶点后顺次连接，不打乱顶点顺序。 【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出三角形； (2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标． 【答案】(1)如图：三角形即为所求， (2)如图：三角形，即为所求， ， 【分析】（1）先描点，再连线即可得出三角形； （2）根据平移的性质作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，作出三角形平移后的三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，先描点，再依次连接，即可画出三角形； （2）先根据平移的性质得出点，再依次连接，即可画出三角形，然后写出点的坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：如图，三角形即为所求，点的坐标为． 题型7 利用坐标求线段长度、图形周长 例1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 【技巧总结】 平行坐标轴线段直接坐标作差取绝对值；倾斜线段利用网格直角三角形勾股定理计算。 【变式训练7-1】【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 (1)若点，，则的长度为______． (2)已知点，若轴，且，求点D的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）由和可得轴，根据题意即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴轴， ∴． 故答案为：12． （2）解：∵，且轴， ∴点D的横坐标为． ∵， ∴或， ∴点D的坐标为或． 【变式训练7-2】已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】本题考查了点的坐标，掌握点坐标的特征是解题的关键． 根据点坐标的特征求得，即可求解． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， 则， 故， ∴线段的长为， 故答案为：5． 题型8 网格多边形求面积（期末高频解答） 例1．阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 【技巧总结】 1.规则直角图形：直接读取底和高计算； 2.不规则图形固定方法：割补法，分割求和或补大减多余。 【变式训练8-1】综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键． （1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案； （3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案； （4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为 ∴轴， ∵点坐标为， ∴点B到的距离为， ∴； （2）当，，时，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，点M是中点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点N的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于四边形面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 【变式训练8-2】在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 题型9 实际场景建立坐标系，用坐标表示地点 例1．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，可建立平面直角坐标系如下： ∴棋子“炮”的坐标为． 【技巧总结】 固定四步模板：定原点→定正负方向→定单位长度→书写各地点有序数对。 【变式训练9-1】如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 【答案】(1) (2)超市，电影院 【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据超市和电影院所在位置写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为． 【变式训练9-2】瓮安欢乐谷坐落于草塘石林公园处，周末小星和小丽相约到欢乐谷游玩，游玩结束后，他们绘制了欢乐谷部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中海盗船的坐标； (3)若在欢乐谷新建一个游客中心，请你在图中画出游客中心的位置． 【答案】(1)如图，平面直角坐标系即为所求； (2)海盗船的坐标为 (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）表示碰碰车的点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系； （2）观察表示海盗船的点的位置，可得其坐标； （3）在图上找出游客中心，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由图可得，海盗船的坐标为； （3）略 题型10 用方向角+距离描述物体位置 例1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 【答案】B 【详解】解：由题意可知：佳佳在琪琪的北偏东，处． 【技巧总结】 标准完整描述句式：以XX为观测点，北/南偏东/西XX°，距离XX单位；三个要素缺一不可。 【变式训练10-1】如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 【答案】北偏东方向，距离C舰20千米处 【分析】根据题意可得之间的距离为千米，且在的北偏东方向，求解即可． 【详解】解：根据已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处可得，代表的距离为千米， B舰到C舰的图上距离为2cm，则之间的距离为千米， 根据图形可得，在的北偏东方向， 则B舰相对于C舰的实际位置为北偏东方向，距离C舰20千米处． 【变式训练10-2】如图，货轮与灯塔相距． (1)用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东__________°，处； (2)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的南偏西方向，请你在图中标出客轮的位置． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）利用方位角解题即可； （2）根据方位角和距离画出图形即可． 【详解】（1）解：由图可知灯塔在货轮的南偏东，处； （2）解：如图即为客轮位置． 题型11 根据文字方位描述，作图确定点位置 例1．根据下列表述，其中能确定具体目标位置的是（    ） A．某市人民路 B．南偏西 C．电影院1号厅第2排 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A．某市人民路仅表示道路范围，无法确定具体位置，不符合题意； B．南偏西仅给出方向，缺少距离信息，无法确定具体位置，不符合题意； C．电影院号厅第排仅给出厅和排，缺少座位号信息，无法确定具体位置，不符合题意； D．东经，北纬给出两个确定的经纬度数据，可以确定唯一具体位置，符合题意． 【技巧总结】 十字方位定位中心→量角器画角度射线→截取对应长度标记目标点。 【变式训练11-1】小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处． (1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置； (2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置； (3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米． 【答案】(1)见解析 (2)A在C处北偏西方向，距离 (3)50米 【分析】（1）根据比例画图即可； （2）根据方位角的表示方法求解即可； （3）由图上测得距离约为，根据表示求解即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求； （2）解：∵小刚从A处出发、向南偏东走了，到达C处 ∴A在C处北偏西方向，距离； （3）解：由图上测得距离约为， ∵图上表示， ∴实际BC． 答：B、C实际相距约50米． 【变式训练11-2】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（   ） A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里 C．北纬，东经 D．与武川县相邻 【答案】C 【详解】解：A选项仅给出方向，缺少其他数据，无法确定准确位置； B选项仅给出距离，缺少其他数据，无法确定准确位置； C选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以准确确定四子王旗的位置； D选项仅说明相邻关系，无法确定准确位置． 题型12 求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移） 例1．将点水平平移5个单位长度到达点B，则点B的坐标为________ 【答案】 或 【分析】根据水平平移只改变点的横坐标，纵坐标不变，需分向右平移和向左平移两种情况讨论求解． 【详解】解：已知点的坐标为，将点水平平移个单位长度，平移后纵坐标不变， 分两种情况讨论： 当点向右平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为； 当点向左平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为， 所以点B的坐标为或． 【技巧总结】 直接套用口诀分步计算，横坐标只管左右，纵坐标只管上下，分开计算不跳步。 【变式训练12-1】将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的横坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程求解即可． 【详解】解：根据点平移的坐标规律，向左平移时横坐标减，纵坐标不变，可得平移后点的横坐标为， 因为平移后点落在轴上，轴上所有点的横坐标为，因此列方程得， 解得． 【变式训练12-2】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是，即． 题型13 给出平移方式，直接计算点坐标 例1．在平面直角坐标系中，点P先向左移动5个单位，再向上移动7个单位，到达点，则原来P点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，等式求解即可． 【详解】解：设原来点的坐标为． 根据点的平移规则，向左平移个单位后，横坐标变为，再向上平移个单位后，纵坐标变为，得到平移后坐标为 ． 由题意得平移后点的坐标为，因此： ， 解得，． 因此原来点的坐标为． 【技巧总结】 同上正向平移题型，分别修改横、纵坐标数值。 【变式训练13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等 ①求点的坐标；     ②若且，求点的坐标． (2)若点为，连接，将沿轴方向向右平移得到（点的对应点分别为点），若的周长为，四边形的周长为，求点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，据此列方程求解的值即可解答；②利用，可知平行于轴，从而确定点的纵坐标；利用确定线段长度，结合点的坐标，分点在点左侧和右侧两种情况讨论即可求解； （2）利用平移的性质（对应线段相等，对应点连线平行且相等）将四边形的周长转化为的周长与平移距离的关系，从而求出平移距离，最后根据平移规律即可写出点的坐标． 【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ， ， ； ②， ， 且，， 或； （2）沿轴方向向右平移得到， ，， 的周长为， ， 四边形的周长为， ， ， ， 点为， 点的坐标为． 【变式训练13-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，，．把三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】， 【分析】先根据平移作出点，依次连接即可得到三角形，根据所画的图形写出点的坐标即可解答． 【详解】解：如图，三角形即为所求，点的坐标为． 题型14 已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式 例1．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，然后再确定、的值，进而可得答案． 【详解】解：点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， 线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段， 点，的坐标分别为，， ，， ， 故选：A． 【技巧总结】 计算横坐标差值x后-x前，正数右移、负数左移；纵坐标差值y后-y前，正数上移、负数下移，合并描述平移路线。 【变式训练14-1】在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度 (3)， 【分析】（1）观察A，在坐标系中的位置即可； （2）根据A，的坐标可确定平移方式； （3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，； （2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点， 三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的； （3）解：平移后对应点的坐标为，即， 又的坐标为， ，， 解得，． 【变式训练14-2】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． 【答案】(1)三角形如图所示． (2)将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一） 【分析】（1）根据点P平移前后的坐标得出平移的方式，然后画出，然后写出直角坐标系中的坐标即可． （2）由（1）可写出答案（答案不唯一） 【详解】（1）解：任意一点平移后的对应点为． 则平移方式为：向右平移7个单位，向下平移4个单位． 则如下图所示： ∴ （2）解：如（1）将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一） 题型15 已知图形整体平移，求各顶点对应坐标 例1．如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标． 【答案】画图见解析， ，， 【详解】解：如图，三角形即为所求． ，， 【技巧总结】 提取图形全部顶点，每个顶点统一使用同一平移规则计算新坐标，最后描点连线。 【变式训练15-1】已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (__________) (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ①________，________； ②(__________)； (2)在平面直角坐标系中画出三角形 (3)若点是三角形ABC内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的平方根． 【答案】(1)①，；②，； (2)图见解析； (3)． 【分析】（1）①由题意可得三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形，进而可得的值；②根据平移的性质可得答案． （2）根据点的坐标描点再连线即可； （3）根据图形平移的性质即可解决问题． 【详解】（1）①∵，和，， ∴三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， ∴，， ②∵， ∴，即； （2）如图，三角形即为所求． （3）∵点是三角形ABC内部一点，经过平移后得到的对应点， 又∵由（1）得三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根为 【变式训练15-2】如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【详解】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 题型16 已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标 例1．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 【技巧总结】 平移操作全部反向，正向加则逆向减，正向减则逆向加。 【变式训练16-1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度．已知三角形的顶点，，，将三角形平移得到三角形，三角形中任意一点经平移后对应点为． (1)画出三角形，并写出顶点坐标： ， ， ． (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点的坐标为 ．连接线段，则这两条线段之间的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析，，， (2)， 【分析】（1）根据点P找出平移规律，进而画出三角形，根据平面直角坐标系可知顶点坐标； （2）根据平移规律得到点的坐标，根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵点经平移后对应点为， ∴平移规律为向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 三角形如图，可知，， （2）解：∵点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到， ∴ 连接线段，由平移规律可知． 【变式训练16-2】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度， ∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或， ∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 题型17 坐标系平移综合、平移动点问题 例1．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5，，2 (2) (3)①，理由见解析；②点D的坐标为或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，求出，，然后根据算术平方根的定义求出； （2）根据题意得到，然后三角形面积公式求解； （3）①首先表示出，由平移的性质得到，，表示出，，，，，，然后得到，进而求解即可； ②根据题意分三种情况讨论，分别判断求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵为4的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； （3）解：①，理由如下： ∵，， ∴， ∵平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，且， ∴平移方式为向下平移2个单位，向左平移a个单位， ∴，， ∴，， 由题意得，， ，， ， ， ， ， 即； ②当时，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴PQ可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图1，点D在三角形内部或和点O重合，此时，不符合题意； 当时，如图2，点D在第四象限，连接， 设，由①得， ， ， ， ， ， ，， ； 当时，如图3，点D在第二象限，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， 综上，点D的坐标为或． 【技巧总结】 设运动时间t，写出动点含t的坐标代数式；根据距离、面积、象限条件列方程，分情况讨论动点在线段不同区间的取值。 【变式训练17-1】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点，点，点，点 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）先由绝对值的非负性与算术平方根的非负性求解a，b的值，由此可得点A，B的坐标，再根据平移的性质可得点C，D的坐标． （2）添加辅助线，过点M作，由平行线的性质可得，再由平角的定义即可得． （3）先求解出的面积，再表示出的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴且，解得，， ∴点，点， ∵先将点A向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点C， ∴点，即点， ∵将点B向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点D， ∴点，即点． （2）解：，理由如下： 过点M作，如图， 则有， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即． （3）解：由（1）可知，点，点，点，点， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴，即， 则有， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 【变式训练17-2】在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 1．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动2个单位长度，得到点，，，，…，按此规律移动下去，则点的坐标为．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，，，，，，，，，…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4， ∵， ∴点纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 3．已知点，下列说法正确的是（    ） A．点M到x轴的距离是4 B．点N在第二象限 C．轴 D． 【答案】D 【分析】根据点的坐标特征，结合点到坐标轴的距离，象限的划分，平行坐标轴的直线的坐标特征，两点距离的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，∴点M到x轴的距离是，A错误． 对于选项B：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，∴点N在第四象限，B错误． 对于选项C：∵点M和点N的纵坐标相同，∴轴，C错误． 对于选项D：∵，，纵坐标相同，线段的长度为横坐标差的绝对值，∴，D正确． 4．若点满足，则点P在（     ） A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第一象限或第三象限或原点上 D．第二象限或第四象限或原点上 【答案】C 【分析】根据的条件分情况讨论，结合各象限点的坐标符号判断即可. 【详解】解：∵点满足， 分情况讨论： 当时，点P横纵坐标均为正，点P在第一象限； 当时，点P横纵坐标均为负，点P在第三象限； 当时，点P为坐标原点； ∴点在第一象限或第三象限或原点上. 5．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先判断点M横纵坐标的正负，即可确定点M所在象限． 【详解】解：∵ ， ∴， 又∵ 点的纵坐标， ∴ 点在第一象限． 6．A，B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为8，则点P的坐标为____． 【答案】或/或 【分析】设点坐标为．利用点的纵坐标可得三角形的高为．再根据三角形的面积为列含绝对值的方程，求解得到的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为． 点坐标为，点在轴上， 的长度为 ． 点坐标为， 三角形中，边上的高为点纵坐标的绝对值，即高为． 根据三角形面积公式可得：， 化简得． 即或． 解得或． 点坐标为或． 7．已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得：或． ∴的值为或． 8．在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为， 点在轴上，点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为，即中边上的高为， ， ， 整理得， 或， 解得或， 点的坐标为或． 9．2026年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒．如图是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：表示瑞金的点的坐标是. 10．如图，在平面直角坐标系中，点，三角形经平移得到三角形，且点、、的对应点分别为、、．已知是线段上一点，． (1)画出三角形； (2)写出的对应点的坐标；____________，____________； (3)若点，且三角形的面积为9，直接写出满足条件的点的坐标____________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据平移的性质解答，即可； （2）根据平移的性质解答，即可； （3）根据题意可得，再根据三角形的面积为9，即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：∵点，， ∴三角形向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到三角形， ∵点，， ∴点，； （3）解：∵点，， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， 解得：或10， ∴满足条件的点的坐标为或． 11．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b的值及； (2)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)点M的坐标为或 【分析】（1）由“”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ∴点，点． 又∵点， ，， ． （2）解：设点M的坐标为，则， 又， ， ， ， 即， 解得：或， 故点M的坐标为或． 12．在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 13．如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点C的坐标为，以及题意，求得的坐标，再利用三角形面积求解即可； （2）过点N作，利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，即可求解； （3）连接，根据题意可得，用表示出的面积，化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点N作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：如图③，连接， ， ∵点是第二象限内一点，， ∴， ∴，化简可得． 14．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点不是“优美点”，理由： 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为， ∵， ∴点不是“优美点”； (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果； （2）根据“优美点”的定义可得，求解即可； （3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是“优美点”， ∴， 整理可得， 解得或； （3）解：∵点是“优美点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时； 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时， 综上所述，点的坐标为或． 15．如图，在由小正方形组成的的网格中，均在格点（小正方形的顶点）上，请按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为． (2)在图2中作线段，使平行于，且与不相等，为格点． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）根据A、B的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）根据要求作即可． 【详解】（1）略． （2）略． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $