第03讲 三角形的中线、角平分线、高（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第03讲 三角形的中线、角平分线、高（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 三角形的中线、角平分线、高 在把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C．观察移动过程中形成的无数条线段 (AD，AE， AF，AG，···)中有没有特殊位置的线段? 你认为有哪些特殊位置? 通过上图想必你心中一定有自己的答案了，那它们各自又发挥了什么作用呢? 【知识点1 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点2 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点3 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【题型1 判断三角形中的中线、角平分线、高】 【例1】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【变式1-1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、高线、角平分线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【变式1-2】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 【题型2 利用三角形的中线求线段的长度】 【例2】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【变式2-1】已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【变式2-2】如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【变式2-3】在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【题型3 利用三角形的中线求面积】 【例3】如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【题型4 画三角形的高】 【例4】如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【变式4-1】如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 【变式4-2】作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【变式4-3】一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 【题型5 与三角形高有关的计算问题】 【例5】已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【变式5-1】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【变式5-2】如图，已知的面积为2，点D、E分别在边上，满足，，则的面积为________． 【变式5-3】如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 模块三 课后作业 1．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 2．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 3．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 4．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 5．如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是 ．    6．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 7．已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 8．已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 9．如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． 10．如图．在中，，点，分别在边，上，且，， ，垂足分别为．若，求的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角形的中线、角平分线、高（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 三角形的中线、角平分线、高 在把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C．观察移动过程中形成的无数条线段 (AD，AE， AF，AG，···)中有没有特殊位置的线段? 你认为有哪些特殊位置? 通过上图想必你心中一定有自己的答案了，那它们各自又发挥了什么作用呢? 【知识点1 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点2 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点3 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【题型1 判断三角形中的中线、角平分线、高】 【例1】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 【变式1-1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、高线、角平分线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：B． 【变式1-2】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 【变式1-3】如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线、高线、角平分线的判断，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是的角平分线 故选：C． 【题型2 利用三角形的中线求线段的长度】 【例2】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 【变式2-2】如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 【变式2-3】在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 【题型3 利用三角形的中线求面积】 【例3】如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 【变式3-2】如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴． 【变式3-3】如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形的面积． 连接，可知，，，进而得到，，即，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵、是的中线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【题型4 画三角形的高】 【例4】如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 【变式4-1】如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 【答案】C 【分析】本题主要考查了作三角形的高，熟练掌握三角形高线的作法，是解题的关键．根据三角形高线的作法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．找到边中点，连接，则是中线，故A不符合题意； B．作的平分线与边交于点，是角平分线，故B不符合题意； C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高，故C符合题意； D．因为，所以不是边上的高，故D不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 【变式4-3】一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 【答案】(1)能画出边上的高所在的直线， 如图所示： ①分别过点、点作三角形的高线、，与相交于点， ②过点作，垂足为， ③即为边上的高所在的直线． 理由：、是三角形的高线，三角形的三条高线（或其延长线）相交于一点（垂心）， 点在边的高线上， 过点有且只有一条直线与垂直， 为边上的高所在的直线； (2)他说得不对，三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【题型5 与三角形高有关的计算问题】 【例5】已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 【变式5-1】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 【变式5-2】如图，已知的面积为2，点D、E分别在边上，满足，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据的面积为2，得到由于，得到，设，则，列方程组即可得到结论. 【详解】解：∵的面积2，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， 解得， ∴的面积为 故答案为： 【变式5-3】如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 模块三 课后作业 1．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 3．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 4．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 5．如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了中线平分面积的知识，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 根据是的中点，的面积是，得到，根据是的中点，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8 ． 6．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 7．已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图，是边上的中线， ， ， ， 即 ． 8．已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【答案】 10 【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得，再分两种情况分别列出方程，求出解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可． 【详解】解：如图所示， ∵是边上的中线， ∴． 当时，即， 解得； 当时，即， 解得，则， ∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 所以腰长为10． 9．如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析； (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点A到的距离是线段的长． （2）解：如图，即为所求． （3）解：∵， ∴点E到的距离与点F到的距离相等， ∴， 即与面积相等的三角形是． 10．如图．在中，，点，分别在边，上，且，， ，垂足分别为．若，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $