专题04 二元一次方程组（暑假复习讲义）新八年级数学新教材人教版

专题04 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 判断二元一次方程（组） 题型2 检验方程（组）的解 题型3 已知解求参数 题型4 求二元一次方程的整数解 题型5 代入消元法解方程组 题型6 加减消元法解方程组 题型7 方程组同解问题 题型8 看错系数（错解）问题 题型9 和差倍分问题 题型10 配套问题 题型11 行程问题 题型12 工程问题 题型13 利润、销售问题 题型14 年龄、数字问题 题型15 表格、图像类应用题 题型16 三元一次方程组求解 题型17 方程组与几何综合题 题型18 方程组与不等式、新定义、规律综合题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 模块一 二元一次方程组基础概念 1. 二元一次方程、二元一次方程组的定义 2. 二元一次方程（组）的解的判定 3. 根据方程（组）的解求参数 4. 二元一次方程整数解问题 模块二 二元一次方程组的解法 1. 代入消元法 2. 加减消元法 3. 灵活选择解法解方程组 4. 含参数方程组求解、错解问题 模块三 二元一次方程组的实际应用 1. 和差倍分、配套问题 2. 行程、工程、利润问题 3. 数字、年龄、古代数学问题 4. 表格、图像类应用题 模块四 拓展综合 1. 三元一次方程组基础解法 2. 方程组与一元一次不等式综合 3. 方程组与几何图形结合 4. 规律、新定义题型 模块一 二元一次方程组基础概念 选择、填空必考基础题，整体难度低。命题高频设置概念陷阱：混淆一元、二元方程，误判未知数次数、整式方程；常结合解的定义考查参数计算，整数解是小型拔高考点，侧重概念辨析。 模块二 二元一次方程组的解法 单元核心计算考点，选择、填空、解答全覆盖。消元思想是核心，两类解法分工明确；含参数方程组、看错系数类错解题型是高频易错点，侧重计算能力与逻辑分析，属于中档题型。 模块三 二元一次方程组的实际应用 期末压轴必考解答题，本单元重难点。核心考查数学建模思想，需要从题干提取等量关系列方程组；题型场景丰富，等量关系隐蔽是主要难点，分值占比高，区分学生能力。 模块四 拓展综合 单元拔高题型，多作为压轴小题或大题第二问。延续消元思想，实现知识迁移；跨模块综合题融合代数、几何、不等式，考查知识综合运用能力，难度偏高。 考情解码： 1. 基础必考：二元一次方程（组）概念判断、解的验证、基础方程组求解，全地区必考，属于送分题。 2. 核心重难点：二元一次方程组应用题、含参数方程组、错解分析、跨模块综合题，是主要拉分点，侧重建模、计算与综合应用能力。 3. 高频易错考情：判断方程时忽略 “整式、次数为 1、两个未知数” 三大条件；解方程组时计算失误；应用题找错等量关系、设元不规范；错解问题不会利用 “错解满足对应方程” 解题。 知识点一 二元一次方程相关概念 1. 二元一次方程定义: 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 2. 三大判定条件（缺一不可）： （1）2个未知数； （2） 含未知数的项次数为 1； （3） 分母、根号内不含未知数（整式）。 3. 一般形式：ax+by=c（a≠0，b≠0）。 4. 二元一次方程的解： 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值。 特点：二元一次方程有无数组解；整数解需结合限制条件逐一列举。 书写格式：成对书写。 【易错提醒】 1.判断二元一次方程，要同时满足：两个未知数、含未知数的项次数为1、是整式方程。 2.分母、根号内含有未知数的式子，不属于整式，一定不是二元一次方程。 3.xy、x2这类项次数不为1，不符合二元一次方程要求。 4.二元一次方程有无数组解，方程组的解必须同时满足所有方程。 5.已知解求参数，直接将数值代入方程计算即可。 即时即练已知是方程的解，则k的值为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，方程的解满足方程，将给定的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入方程得， 解得， 因此的值为. 知识点二 二元一次方程组及解 1. 二元一次方程组定义：方程组中一共含有两个未知数，每个方程都是二元一次整式方程。 2. 二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，即这组数值必须同时满足方程组里每一个方程。 3. 解的检验方法：将未知数的值依次代入方程组的每一个方程，左右两边都相等，才是方程组的解。 【易错警示】 1.二元一次方程组需整体只有两个未知数，每个方程都为二元一次整式方程。 2.方程组的解是公共解，必须同时满足组内所有方程。 3.检验解时，要逐一代入每一个方程验证，不能只代入其中一个。 4.方程组的解成对书写，务必使用大括号规范格式。 5.已知方程组的解求参数，直接将解代入原方程组列式计算。 即时即练满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 知识点三 解二元一次方程组（消元思想） 总思路：消元，把二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程求解。 方法1：代入消元法 适用场景：方程组中有未知数系数为1或\(-1\)。 解题步骤： 1.变形：选简易方程，用一个未知数表示另一个未知数（如\(y=ax+b\)）； 2.代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数； 4.回代：把结果代入变形后的式子，求出另一个未知数； 5.联立：用大括号写出方程组的解。 方法2：加减消元法 适用场景：同一未知数的系数相等或互为相反数；系数成倍数关系也优先使用。 解题步骤： 1. 化系数：若系数不相等/相反，给方程整体乘适当数，统一未知数系数； 2. 加减：系数相反相加，系数相等相减，消元得一元一次方程； 3. 求解、回代、联立，得出方程组的解。 【易错警示】 1.代入消元：替换时要整体代入，不要漏括号、算错符号。 2.加减消元：方程同乘一个数时，常数项也要同步相乘，切勿漏乘。 3.系数为负数时，加减运算注意符号，避免正负混淆。 4.求出一个未知数后，必须回代求另一个，不要只算一半。 5.最终解要用大括号成对规范书写。 即时即练解方程组：． 【答案】 【分析】使用加减消元法即可求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 知识点四 含参数与错解问题 1.已知方程组的解，求参数：把解代入原方程组，得到关于参数的新方程组，求解即可。 2.看错系数类错解：看错系数的解，仅满足未看错的方程，以此列方程求参数。 【易错警示】 1.已知方程组的解求参数，直接将解整体代入方程组列式计算。 2.同解问题：先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数方程求解。 3.看错系数题型：错解只满足未出错的方程，不可代入错误方程。 4.计算含参数方程时，注意符号变化，避免移项、合并同类项出错。 5.求出参数后，建议回代验算，防止计算失误。 即时即练甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了中的m，解得，乙解题时看错中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】甲看错了方程中的，说明他没有看错方程，因此，甲的解满足方程，将该解代入方程，可得到一个关于，的方程；乙看错了方程中的，说明他没有看错方程，因此，乙的解满足方程，将该解代入方程，可得到另一个关于，的方程；联立上述两个关于，的方程，组成一个新的二元一次方程组，解出和的值，将求得的，值代回原方程组，得到具体的方程组，最后解出原方程组的正确解． 【详解】解：甲看错了方程中的，说明他看对了方程， 因此，解满足方程 将代入方程中，得： 整理得 乙看错了方程中的，说明他看对了方程， 因此，解满足方程， 将代入方程中，得： ， 整理得 联立和： 解得：，， 将代入原方程组： 得： ， 解得： 将代入得： 解得： 原方程组的解为． 知识点五 二元一次方程组实际应用 1.通用六步解题法： 审（审题，找两个等量关系）→设（设两个未知数，一般直接设元）→列（根据等量关系列方程组）→解（解方程组）→验（检验解是否符合实际意义）→答（规范作答）。 2.常见题型等量关系梳理 和差倍分：根据 “和、差、倍数” 直接列式； 配套问题：配套物品数量成固定比例； 行程问题：路程 = 速度 × 时间（相遇、追及、航行）； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 利润问题：利润 = 售价\(-\)进价，总利润 = 单件利润 × 数量。 【易错警示】 1.审题找准两组等量关系，避免漏条件、曲解题意。 2.设元表述要规范，分清直接设元与间接设元，单位书写完整。 3.列方程时统一单位，等式两边数量意义保持一致。 4.解出结果后，必须检验是否符合生活实际。 5.答题语言简洁规范，做到有问必答。 即时即练幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】根据题意列方程组，根据整体思想分别求出，进而得到关于b的一元一次方程，解出b，即可得解． 【详解】解：如图所示，设中间的数字为a，第三行第一个数字为b， 由题意得， 由得， 由得， ， 解得， ． 知识点六 三元一次方程组 基本思路：多次消元，先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再继续求解。 判定规则和二元一次方程一致：三个未知数，含未知数项次数为 1，整式方程。 【易错警示】 1.两次消元要消同一个未知数，不能先后消不同元。 2.方程整体扩倍时，常数项切勿漏乘。 3.回代求值时注意符号，负数运算多加留意。 4.求出全部未知数后，建议代入原方程检验。 5.解必须用大括号成对联立书写，格式规范。 即时即练已知是三元一次方程组的解，那么的值为__________． 【答案】 【分析】由已知条件把，，的值代入关于，，的三元一次方程组，利用这个方程组可得到的值． 【详解】解：是三元一次方程组的解， ， 得， ． 题型1 判断二元一次方程（组） 例1．下列方程组一定属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：所有方程都是整式方程，方程组总共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、方程不是整式方程，该方程组不符合定义； 、方程中未知数的次数为，该方程组不符合定义； 、方程组中含有个未知数，该方程组不符合定义； 、两个方程都是整式方程，方程组共含、两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，该方程组符合定义． 【技巧总结】 紧扣三大判定条件：①共 2 个未知数；②含未知数的项次数为 1；③整式方程（分母、根号不含未知数）。三个条件同时满足才符合要求。 【变式训练1-1】老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵二元一次方程组需同时满足：方程组共含两个未知数，所有方程均为整式方程，所有未知数的最高次数为1， ① 符合所有条件，是二元一次方程组； ② 方程中的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组； ③ 方程组含三个未知数，不符合要求，不是二元一次方程组； ④ 符合所有条件，是二元一次方程组； ⑤ 符合所有条件，是二元一次方程组； ∴符合条件的二元一次方程组共3个. 【变式训练1-2】下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 题型2 检验方程（组）的解 例1．下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：A、将代入，则，该选项符合题意； B、将代入，则，该选项不符合题意； C、将代入，则，该选项不符合题意； D、将代入，则，该选项不符合题意． 【技巧总结】 将数值代入方程左右两侧，两边相等即为解；方程组的解必须同时满足所有方程 【变式训练2-1】解为的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值，将代入验证， 代入得：，因此第一个方程应为，排除A， C； 再代入得：，因此第二个方程应为，排除B； 只有D的两个方程都满足． 【变式训练2-2】下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程中，左边右边，故是方程的解，符合题意； B．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； D．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意． 题型3 已知解求参数 例1．若方程组 的解满足， 则 _________． 【答案】2 【分析】根据方程组的解满足，先将代入，求出的值，再将的值代入第二个方程即可求解． 【详解】解：把代入，得： ， 解得， 将，代入 ，得： ， 解得：． 【技巧总结】 把已知的解代入原方程（组），得到关于参数的新方程（组），解出新方程即可求出参数。 【变式训练3-1】定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 【变式训练3-2】已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知的方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 题型4 求二元一次方程的整数解 例1．我们把含有两个未知数的方程称为二元方程，一般情况下二元方程有无数多组解．定义：如果一个二元方程有一组解中未知数的取值都是整数，则称这个二元方程为整数解方程．下面的四个二元方程：；；；，其中整数解方程个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据已知条件，运用特殊值法，得出方程有一组整数解即可说明这个方程有整数解． 【详解】解：， 当，， 正好符合要求，故符合题意； ， ，的系数为偶数，又因为它们是整数， 乘积一定也为偶数， 之和绝对不是奇数，故不符合题意； ， ，的系数为偶数， ，一定也为偶数， 与一定是奇数， 乘积绝对不是偶数，故不符合题意； ， 当，时，方程有整数解，故符合要求． 这个方程有整数解，故B正确． 故选：B． 【技巧总结】 1.用一个未知数表示另一个未知数； 2.根据整数、正整数等限制条件，枚举取值，求出对应解。 【变式训练4-1】关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 【答案】2 【分析】先求出方程的所有正整数解，再将正整数解代入方程，结合为整数的条件求出的值即可． 【详解】解：方程的解是正整数 ，可得 是正整数， 的可能取值为 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，是正整数，符合条件 ∴的正整数解为， 两个方程有相同的正整数解，将代入得 解得． 【变式训练4-2】要使方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】 【分析】先通过消元用含的代数式表示出，再根据方程组有正整数解的要求，得到为正整数，从而推出是的正约数，即可求出整数的值. 【详解】解：， 由②得 ， 把代入①得， 整理得 ， ∴， ∵方程组有正整数解，为整数，， 是正整数时，即可满足题意， ∴是的正约数， ∴， ∴. 题型5 代入消元法解方程组 例1．解二元一次方程组（用代入消元法）：． 【答案】 【详解】解：， 由①得③， 将③代入②得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为． 【技巧总结】 优先挑选含未知数系数为的方程变形，代入时整体替换，计算分步进行，减少失误。 【变式训练5-1】已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】通过移项，将的系数化为1，即可得到用含的代数式表示的结果． 【详解】解：移项，得：， 系数化为1，得：． 【变式训练5-2】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②，得 去括号、合并同类项：，即 解得： 将代入①，得 ∴ 方程组的解为 （2） 由②得： 将代入①，得 去括号、合并同类项：，即 解得： 将代入，得 ∴ 方程组的解为 题型6 加减消元法解方程组 例1．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解： ①②得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组化简，， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 【技巧总结】 1.系数相反用加法，系数相等用减法； 2.系数成倍数，给单个方程乘数字统一系数； 3.系数无倍数，两个方程分别乘数字，再加减； 4.牢记：方程整体乘系数，常数项必须一同相乘。 【变式训练6-1】解下列二元一次方程组； (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式训练6-2】用适当的方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， ， ，   把代入①，得， ， ∴这个方程组的解是； （2）解：， ①②，得， ， ， 把代入②，得， ， ∴这个方程组的解是． 题型7 方程组同解问题 例1．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组同解，说明它们的解相同，因此先联立两个不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程所组成的方程组中解答即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组同解， ∴同时满足两个方程组中的所有方程， 由，解得， 把代入，得， ①②，得， ∴． 【技巧总结】 两个方程组有相同解 → 把不含参数的两个方程联立，先求出公共解，再代入含参数的方程求参数。 【变式训练7-1】已知关于 ，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】， 【分析】两个方程组有相同的解，说明这组解同时满足四个方程，解题的关键是先通过不含参数的两个方程求出公共解，再将解代入含参数的方程，转化为关于参数的二元一次方程组，进而求出，的值． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴先解不含参数的方程组：， 解得：， 把代入，得， 解得：． 【变式训练7-2】若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，再联立含有、的两个方程，把、的值代入，两方程相加即可求得的值． 【详解】解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入，得， ，得， ∴． 题型8 看错系数（错解）问题 例1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）甲看错方程①中的，就把代入②式，乙看错了方程②中的，就把代入①式； （2）将代入用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：，解得； 将代入方程得：，解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 【技巧总结】 看错某一系数，说明该解满足另外未看错的方程，据此列方程计算参数，最后求解原方程组。 【变式训练8-1】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 【变式训练8-2】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 题型9 和差倍分问题 例1．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】 A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意得，解得； 答：A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元. 【技巧总结】 抓取关键词：和、一共、差、比…… 多 / 少、几倍，根据文字直接梳理两个等量关系，设元列方程组。 【变式训练9-1】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】 每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【详解】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 【变式训练9-2】某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车 (2)①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车，根据3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车； （2）解：设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，3，4时，，4，2， 即：①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人． 题型10 配套问题 例1．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 【技巧总结】 配套部件数量成固定比例，根据比例列等式，结合总数量列第二个方程。 【变式训练10-1】某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 【变式训练10-2】某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总工人人数和配套比例关系，列出对应方程组即可判断正确选项． 【详解】解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得；因此方程组为． 题型11 行程问题 例1．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 【答案】 【分析】设水速为、船速为，由题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水速为、船速为，则 ， 由①②得 解得． 【技巧总结】 区分相遇、追及、航行三类模型，套用公式：路程 = 速度 × 时间；航行问题额外区分顺水 / 逆水速度。 【变式训练11-1】某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 【变式训练11-2】小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【答案】出租车起步价为6元，超过后的里程费收费标准为每千米1.6元 【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后的里程费收费标准是元． 由题意得 解得 答：出租车的起步价是6元，超过后的里程费收费标准是1.6元． 题型12 工程问题 例1．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 【技巧总结】 一般将工作总量看作单位 “1”，利用 “总工作量 = 各部分工作量之和” 列等量关系。 【变式训练12-1】22名工人按定额完成了3400件产品，其中熟练工每人定额200件，学徒工每人定额150件．问：这22名工人中熟练工和学徒工各有多少名？ 【答案】学徒工有20名，熟练工有2名． 【分析】设学徒工有x名，熟练工有y名，根据“学徒工与熟练工共22人，且定额完成了3400件产品”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设学徒工有x名，熟练工有y名， 依题意，得：， 解得：．答：学徒工有20名，熟练工有2名 【变式训练12-2】某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 题型13 利润、销售问题 例1．七年级某班计划购买A、B两款笔记本作为期中奖品．若购买3本A款的笔记本和1本B款的笔记本需要22元；若购买2本A款的笔记本和3本B款的笔记本需要24元．每本A款的笔记本和每本B款笔记本各多少元？ 【答案】每本A款笔记本6元，每本B款笔记本4元． 【分析】先设出两种笔记本的单价，根据题干给出的两种购买方案的总费用列出方程组，再用代入消元法求解即可得到结果． 【详解】解：设每本A款笔记本的价格为元，每本B款笔记本的价格为元． 根据题意列方程组得 由第一个方程得 将代入第二个方程得 展开得 整理得 解得 把代入得 即 答：每本A款笔记本6元，每本B款笔记本4元． 【技巧总结】 牢记公式：单件利润 = 售价\(-\)进价，总利润 = 单件利润 × 销售数量，结合总价、总数量列方程组。 【变式训练13-1】请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需170元；若购买3袋A种食材和1袋B种食材共需190元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共800元，两种都要采购． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种食材每袋的单价分别是多少元？（用方程解决问题） (2)任务二：请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出采购方案． 【答案】(1)A种食材每袋的单价是50元，B种食材每袋的单价是40元 (2)共有3种采购方案，分别为：方案1：采购A种食材4袋，B种食材15袋；方案2：采购A种食材8袋，B种食材10袋；方案3：采购A种食材12袋，B种食材5袋． 【分析】（1）设A种食材每袋的单价是x元，B种食材每袋的单价是y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种食材m袋，购买B种食材n袋，根据采购这两种食材共800元建立方程，求出方程的正整数解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种食材每袋的单价是x元，B种食材每袋的单价是y元， 由题意得， 解得， 答：A种食材每袋的单价是50元，B种食材每袋的单价是40元； （2）解：设购买A种食材m袋，购买B种食材n袋， 由题意得，， ∴， ∵两种食材都要采购， ∴m、n都是正整数， ∴是正整数，且是正整数， ∴m一定是4的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴共有3种采购方案：方案1：采购A种食材4袋，B种食材15袋；方案2：采购A种食材8袋，B种食材10袋；方案3：采购A种食材12袋，B种食材5袋． 【变式训练13-2】张老师前后三次在同一文具店购买商品A、B（每次A、B两种商品都购买，且A、B都是购买整数个），其中第一、第二次购物时均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如下表所示： 购买次数 A的数量（个） B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次 第二次 (1)求商品A、B的标价 (2)张老师第三次购物时，商品A、B同时打八折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有两种购买方案，方案一：购买10个商品A，4个商品B；方案二：购买5个商品A，8个商品B 【分析】（1）根据两次购买的数量和总费用，设未知数建立二元一次方程组，求解即可得到商品标价． （2）根据打折后总费用建立二元一次方程，结合A、B都需购买且数量为正整数的条件，找出方程所有符合要求的正整数解，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为元/个，商品B的标价为元/个， 根据题意得： 解得： 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买个商品A，个商品B， 根据题意得：， 整理得， ∴． ∵，都是正整数，要求两种商品都购买，因此为整数，即为4的倍数，且，， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合两种商品都购买的要求，舍去． 答：张老师共有两种购买方案，方案一：购买10个商品A，4个商品B；方案二：购买5个商品A，8个商品B． 题型14 年龄、数字问题 例1．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 【技巧总结】 年龄问题：两人年龄差永远不变；数字问题：设十位、个位数字为未知数，用代数式表示多位数。 【变式训练14-1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 【变式训练14-2】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 题型15 表格、图像类应用题 例1．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 【技巧总结】 从表格、图像中提取两组有效数据，转化为文字等量关系，再列方程组求解。 【变式训练15-1】如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为，由图可列出方程组，用加减消元法消去，求出与关系，即可得出结果． 【详解】解：设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为， 由图可得： 由得：， ∴， ∴，即一个苹果的重量是一根香蕉的重量的倍． 【变式训练15-2】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 题型16 三元一次方程组求解 例1．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 【技巧总结】 消元降阶，先消去出现次数最多或系数最简单的未知数，转化为二元一次方程组求解。 【变式训练16-1】某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 【答案】180 【详解】解：设1只鸡1只兔1只鸭的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得， ∴；即他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元. 【变式训练16-2】已知方程组，则________． 【答案】8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 题型17 方程组与几何综合题 例1．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 【答案】 【分析】设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是． 【技巧总结】 结合几何性质（线段和差、角度和差、周长面积公式）列出两个等量关系，联立方程组求解。 【变式训练17-1】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的长和宽． 【答案】小长方形纸片的长为30厘米，宽为10厘米 【分析】设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为40厘米，即可得出，再根据长方形的长可得，解方程组即可． 【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得：， 答：小长方形纸片的长为30厘米，宽为10厘米． 【变式训练17-2】用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 题型18 新定义、规律综合题 例1．定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 【技巧总结】 新定义严格按规则列式；规律题先计算前几组解，总结规律。 【变式训练18-1】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式训练18-2】【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 1．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程组的消元法，要得到，的恒有关系式，只需消去参数即可． 【详解】解：方程组， ∵得：， 两边消去，整理得：， ∴无论取何值，，恒有关系式． 2．若方程组的解满足，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将方程组两个方程相加，整理得到含的表达式，结合已知列方程，即可求解． 【详解】解： 将两个方程相加，得 整理得 解得． 3．已知是方程 的解，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题根据方程的解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴将代入方程得 ， 整理得， 解得． 4．已知关于的二次三项式（其中，，均为整数），当分别取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值对应是1，5，25，50．经验算，只有一个结果是错误的，则这个错误的结果是（     ） A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】C 【分析】根据题意四个函数值仅一个错误，通过假设三个值正确，推导系数是否为整数，即可判断错误结果，利用整数的性质推理即可． 【详解】解：将四个值分别代入二次三项式，得： ， ∵四个结果仅一个错误，分情况讨论： 若错误结果为时，即②③④正确： 得 ，左边是的倍数，右边不是的倍数，无整数解，排除； 若错误结果为时，即①③④正确： 得 ， 化简得， 为整数，左边为整数，右边不是，无整数解，排除； 若错误结果为时，即①②④正确： 得 ， 化简得，即， 代入①得 ， 将代入④得：， 化简得， 解得， 则，，均为整数，符合整系数要求； 验证得时，，符合仅一个错误的条件； 若错误结果为时，即①②③正确： 同上述步骤得，，代入③得，不是整数，排除； 综上，错误的结果是时． 5．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 6．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，可得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 关于的方程 是二元一次方程， ∴ ， 解方程，可得或， 即或， 又， ． 7．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，图②所示的算筹图表示的方程组为 ， 故选：D ． 8．已知，且，则_________ 【答案】 【分析】分别求出的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得：， 整理得：， 解得：， ∴， ∴． 9．某人的旅游团去花海观花，导游用元购买了张成人票和张儿童票，请你给小朋友小海计算一下，小海和他父母及爷爷一家四口需交______元的门票费． 【答案】 【分析】设成人票与儿童票的单价为未知数，根据题意列出等式，再分析所求门票的表达式，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：设每张成人票的价格为元，每张儿童票的价格为元， 根据题意，得， 等式两边同时除以，得， 因为小海一家四口为名成人，名儿童， 所以所需门票总费用为，因此总费用为元． 10．若是关于的二元一次方程的一个解，则的立方根为____________． 【答案】 【分析】将方程的解代入已知二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值，再根据立方根的定义计算结果即可． 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：， ， 的立方根为． 11．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 12．若是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的条件，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 解得：或， ∵， ∴． 13．已知关于x，y的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 【答案】 【分析】把可得，再根据，可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可． 【详解】解：， 得， ∵原方程组的解也是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 14．根据以下学习素材，完成下列两个任务． 学习素材 素材一 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，就完成了棉田的采摘． 素材二 大型采棉机 小型采棉机 每台大型采棉机完成棉田的采摘． 每台小型采棉机完成棉田的采摘． 问题解决： (1)任务一：这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ (2)任务二：现在有另一种棉大户也想同时租用这两种型号的采棉机完成棉田的采摘．问有哪几种租用方案？ 【答案】(1)租用大型采棉机2台，小型采棉机4台． (2)共有2种租用方案，分别是：方案1：租用大型采棉机1台，小型采棉机4台；方案2：租用大型采棉机2台，小型采棉机2台． 【分析】（1）根据采棉机总台数和1小时总采摘面积，设未知数列二元一次方程组求解即可； （2）根据1小时总采摘面积列二元一次方程，结合“同时租用两种型号”的要求，即两种采棉机的数量都为正整数，求出所有符合条件的整数解即可得到所有租用方案． 【详解】（1）解：设租用大型采棉机台，小型采棉机台． 根据题意可得， 解得． 答：这个种棉大户租用了大型采棉机2台，小型采棉机4台； （2）解：设租用大型采棉机台，小型采棉机台，其中均为正整数， 根据题意可得， 变形得． ∵要同时租用两种型号的采棉机， ∴均为正整数． 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求； 因此共有2种租用方案． 答：共有两种租用方案，分别是租用大型采棉机1台，小型采棉机4台；租用大型采棉机2台，小型采棉机2台． 15．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：， ∴， 当时，， 当时，， ∴的所有正整数解为， ； （2）解：由和得， ， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 16．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 【答案】(1) (2)购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个 【分析】（1）根据“购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元”，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 解得 经检验，符合题意． 答：购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 17．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 判断二元一次方程（组） 题型2 检验方程（组）的解 题型3 已知解求参数 题型4 求二元一次方程的整数解 题型5 代入消元法解方程组 题型6 加减消元法解方程组 题型7 方程组同解问题 题型8 看错系数（错解）问题 题型9 和差倍分问题 题型10 配套问题 题型11 行程问题 题型12 工程问题 题型13 利润、销售问题 题型14 年龄、数字问题 题型15 表格、图像类应用题 题型16 三元一次方程组求解 题型17 方程组与几何综合题 题型18 方程组与不等式、新定义、规律综合题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 模块一 二元一次方程组基础概念 1. 二元一次方程、二元一次方程组的定义 2. 二元一次方程（组）的解的判定 3. 根据方程（组）的解求参数 4. 二元一次方程整数解问题 模块二 二元一次方程组的解法 1. 代入消元法 2. 加减消元法 3. 灵活选择解法解方程组 4. 含参数方程组求解、错解问题 模块三 二元一次方程组的实际应用 1. 和差倍分、配套问题 2. 行程、工程、利润问题 3. 数字、年龄、古代数学问题 4. 表格、图像类应用题 模块四 拓展综合 1. 三元一次方程组基础解法 2. 方程组与一元一次不等式综合 3. 方程组与几何图形结合 4. 规律、新定义题型 模块一 二元一次方程组基础概念 选择、填空必考基础题，整体难度低。命题高频设置概念陷阱：混淆一元、二元方程，误判未知数次数、整式方程；常结合解的定义考查参数计算，整数解是小型拔高考点，侧重概念辨析。 模块二 二元一次方程组的解法 单元核心计算考点，选择、填空、解答全覆盖。消元思想是核心，两类解法分工明确；含参数方程组、看错系数类错解题型是高频易错点，侧重计算能力与逻辑分析，属于中档题型。 模块三 二元一次方程组的实际应用 期末压轴必考解答题，本单元重难点。核心考查数学建模思想，需要从题干提取等量关系列方程组；题型场景丰富，等量关系隐蔽是主要难点，分值占比高，区分学生能力。 模块四 拓展综合 单元拔高题型，多作为压轴小题或大题第二问。延续消元思想，实现知识迁移；跨模块综合题融合代数、几何、不等式，考查知识综合运用能力，难度偏高。 考情解码： 1. 基础必考：二元一次方程（组）概念判断、解的验证、基础方程组求解，全地区必考，属于送分题。 2. 核心重难点：二元一次方程组应用题、含参数方程组、错解分析、跨模块综合题，是主要拉分点，侧重建模、计算与综合应用能力。 3. 高频易错考情：判断方程时忽略 “整式、次数为 1、两个未知数” 三大条件；解方程组时计算失误；应用题找错等量关系、设元不规范；错解问题不会利用 “错解满足对应方程” 解题。 知识点一 二元一次方程相关概念 1. 二元一次方程定义: 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 2. 三大判定条件（缺一不可）： （1）2个未知数； （2） 含未知数的项次数为 1； （3） 分母、根号内不含未知数（整式）。 3. 一般形式：ax+by=c（a≠0，b≠0）。 4. 二元一次方程的解： 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值。 特点：二元一次方程有无数组解；整数解需结合限制条件逐一列举。 书写格式：成对书写。 【易错提醒】 1.判断二元一次方程，要同时满足：两个未知数、含未知数的项次数为1、是整式方程。 2.分母、根号内含有未知数的式子，不属于整式，一定不是二元一次方程。 3.xy、x2这类项次数不为1，不符合二元一次方程要求。 4.二元一次方程有无数组解，方程组的解必须同时满足所有方程。 5.已知解求参数，直接将数值代入方程计算即可。 即时即练已知是方程的解，则k的值为（     ） A． B．1 C．3 D． 知识点二 二元一次方程组及解 1. 二元一次方程组定义：方程组中一共含有两个未知数，每个方程都是二元一次整式方程。 2. 二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，即这组数值必须同时满足方程组里每一个方程。 3. 解的检验方法：将未知数的值依次代入方程组的每一个方程，左右两边都相等，才是方程组的解。 【易错警示】 1.二元一次方程组需整体只有两个未知数，每个方程都为二元一次整式方程。 2.方程组的解是公共解，必须同时满足组内所有方程。 3.检验解时，要逐一代入每一个方程验证，不能只代入其中一个。 4.方程组的解成对书写，务必使用大括号规范格式。 5.已知方程组的解求参数，直接将解代入原方程组列式计算。 即时即练满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 知识点三 解二元一次方程组（消元思想） 总思路：消元，把二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程求解。 方法1：代入消元法 适用场景：方程组中有未知数系数为1或\(-1\)。 解题步骤： 1.变形：选简易方程，用一个未知数表示另一个未知数（如\(y=ax+b\)）； 2.代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数； 4.回代：把结果代入变形后的式子，求出另一个未知数； 5.联立：用大括号写出方程组的解。 方法2：加减消元法 适用场景：同一未知数的系数相等或互为相反数；系数成倍数关系也优先使用。 解题步骤： 1. 化系数：若系数不相等/相反，给方程整体乘适当数，统一未知数系数； 2. 加减：系数相反相加，系数相等相减，消元得一元一次方程； 3. 求解、回代、联立，得出方程组的解。 【易错警示】 1.代入消元：替换时要整体代入，不要漏括号、算错符号。 2.加减消元：方程同乘一个数时，常数项也要同步相乘，切勿漏乘。 3.系数为负数时，加减运算注意符号，避免正负混淆。 4.求出一个未知数后，必须回代求另一个，不要只算一半。 5.最终解要用大括号成对规范书写。 即时即练解方程组：． 知识点四 含参数与错解问题 1.已知方程组的解，求参数：把解代入原方程组，得到关于参数的新方程组，求解即可。 2.看错系数类错解：看错系数的解，仅满足未看错的方程，以此列方程求参数。 【易错警示】 1.已知方程组的解求参数，直接将解整体代入方程组列式计算。 2.同解问题：先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数方程求解。 3.看错系数题型：错解只满足未出错的方程，不可代入错误方程。 4.计算含参数方程时，注意符号变化，避免移项、合并同类项出错。 5.求出参数后，建议回代验算，防止计算失误。 即时即练甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了中的m，解得，乙解题时看错中的n，解得，试求原方程组的解． 知识点五 二元一次方程组实际应用 1.通用六步解题法： 审（审题，找两个等量关系）→设（设两个未知数，一般直接设元）→列（根据等量关系列方程组）→解（解方程组）→验（检验解是否符合实际意义）→答（规范作答）。 2.常见题型等量关系梳理 和差倍分：根据 “和、差、倍数” 直接列式； 配套问题：配套物品数量成固定比例； 行程问题：路程 = 速度 × 时间（相遇、追及、航行）； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 利润问题：利润 = 售价\(-\)进价，总利润 = 单件利润 × 数量。 【易错警示】 1.审题找准两组等量关系，避免漏条件、曲解题意。 2.设元表述要规范，分清直接设元与间接设元，单位书写完整。 3.列方程时统一单位，等式两边数量意义保持一致。 4.解出结果后，必须检验是否符合生活实际。 5.答题语言简洁规范，做到有问必答。 即时即练幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 知识点六 三元一次方程组 基本思路：多次消元，先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再继续求解。 判定规则和二元一次方程一致：三个未知数，含未知数项次数为 1，整式方程。 【易错警示】 1.两次消元要消同一个未知数，不能先后消不同元。 2.方程整体扩倍时，常数项切勿漏乘。 3.回代求值时注意符号，负数运算多加留意。 4.求出全部未知数后，建议代入原方程检验。 5.解必须用大括号成对联立书写，格式规范。 即时即练已知是三元一次方程组的解，那么的值为__________． 题型1 判断二元一次方程（组） 例1．下列方程组一定属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 紧扣三大判定条件：①共 2 个未知数；②含未知数的项次数为 1；③整式方程（分母、根号不含未知数）。三个条件同时满足才符合要求。 【变式训练1-1】老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练1-2】下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 检验方程（组）的解 例1．下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 将数值代入方程左右两侧，两边相等即为解；方程组的解必须同时满足所有方程 【变式训练2-1】解为的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 题型3 已知解求参数 例1．若方程组 的解满足， 则 _________． 【技巧总结】 把已知的解代入原方程（组），得到关于参数的新方程（组），解出新方程即可求出参数。 【变式训练3-1】定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 题型4 求二元一次方程的整数解 例1．我们把含有两个未知数的方程称为二元方程，一般情况下二元方程有无数多组解．定义：如果一个二元方程有一组解中未知数的取值都是整数，则称这个二元方程为整数解方程．下面的四个二元方程：；；；，其中整数解方程个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【技巧总结】 1.用一个未知数表示另一个未知数； 2.根据整数、正整数等限制条件，枚举取值，求出对应解。 【变式训练4-1】关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 【变式训练4-2】要使方程组有正整数解，求整数的值． 题型5 代入消元法解方程组 例1．解二元一次方程组（用代入消元法）：． 【技巧总结】 优先挑选含未知数系数为的方程变形，代入时整体替换，计算分步进行，减少失误。 【变式训练5-1】已知方程，用含的代数式表示，则______． 【变式训练5-2】解下列方程组： (1) (2) 题型6 加减消元法解方程组 例1．解方程组： (1)； (2)． 【技巧总结】 1.系数相反用加法，系数相等用减法； 2.系数成倍数，给单个方程乘数字统一系数； 3.系数无倍数，两个方程分别乘数字，再加减； 4.牢记：方程整体乘系数，常数项必须一同相乘。 【变式训练6-1】解下列二元一次方程组； (1)； (2)． 【变式训练6-2】用适当的方法解方程组： (1) (2) 题型7 方程组同解问题 例1．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 两个方程组有相同解 → 把不含参数的两个方程联立，先求出公共解，再代入含参数的方程求参数。 【变式训练7-1】已知关于 ，的方程组与有相同的解，求、的值． 【变式训练7-2】若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 题型8 看错系数（错解）问题 例1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【技巧总结】 看错某一系数，说明该解满足另外未看错的方程，据此列方程计算参数，最后求解原方程组。 【变式训练8-1】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式训练8-2】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 题型9 和差倍分问题 例1．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【技巧总结】 抓取关键词：和、一共、差、比…… 多 / 少、几倍，根据文字直接梳理两个等量关系，设元列方程组。 【变式训练9-1】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【变式训练9-2】某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 题型10 配套问题 例1．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【技巧总结】 配套部件数量成固定比例，根据比例列等式，结合总数量列第二个方程。 【变式训练10-1】某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【变式训练10-2】某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 行程问题 例1．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 【技巧总结】 区分相遇、追及、航行三类模型，套用公式：路程 = 速度 × 时间；航行问题额外区分顺水 / 逆水速度。 【变式训练11-1】某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【变式训练11-2】小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 题型12 工程问题 例1．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【技巧总结】 一般将工作总量看作单位 “1”，利用 “总工作量 = 各部分工作量之和” 列等量关系。 【变式训练12-1】22名工人按定额完成了3400件产品，其中熟练工每人定额200件，学徒工每人定额150件．问：这22名工人中熟练工和学徒工各有多少名？ 【变式训练12-2】某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 题型13 利润、销售问题 例1．七年级某班计划购买A、B两款笔记本作为期中奖品．若购买3本A款的笔记本和1本B款的笔记本需要22元；若购买2本A款的笔记本和3本B款的笔记本需要24元．每本A款的笔记本和每本B款笔记本各多少元？ 【技巧总结】 牢记公式：单件利润 = 售价\(-\)进价，总利润 = 单件利润 × 销售数量，结合总价、总数量列方程组。 【变式训练13-1】请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需170元；若购买3袋A种食材和1袋B种食材共需190元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共800元，两种都要采购． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种食材每袋的单价分别是多少元？（用方程解决问题） (2)任务二：请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出采购方案． 【变式训练13-2】张老师前后三次在同一文具店购买商品A、B（每次A、B两种商品都购买，且A、B都是购买整数个），其中第一、第二次购物时均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如下表所示： 购买次数 A的数量（个） B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次 第二次 (1)求商品A、B的标价 (2)张老师第三次购物时，商品A、B同时打八折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 题型14 年龄、数字问题 例1．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【技巧总结】 年龄问题：两人年龄差永远不变；数字问题：设十位、个位数字为未知数，用代数式表示多位数。 【变式训练14-1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【变式训练14-2】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 题型15 表格、图像类应用题 例1．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【技巧总结】 从表格、图像中提取两组有效数据，转化为文字等量关系，再列方程组求解。 【变式训练15-1】如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【变式训练15-2】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 题型16 三元一次方程组求解 例1．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【技巧总结】 消元降阶，先消去出现次数最多或系数最简单的未知数，转化为二元一次方程组求解。 【变式训练16-1】某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 【变式训练16-2】已知方程组，则________． 题型17 方程组与几何综合题 例1．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 【技巧总结】 结合几何性质（线段和差、角度和差、周长面积公式）列出两个等量关系，联立方程组求解。 【变式训练17-1】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的长和宽． 【变式训练17-2】用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 题型18 新定义、规律综合题 例1．定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【技巧总结】 新定义严格按规则列式；规律题先计算前几组解，总结规律。 【变式训练18-1】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【变式训练18-2】【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 1．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（     ） A． B． C． D． 2．若方程组的解满足，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 3．已知是方程 的解，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于的二次三项式（其中，，均为整数），当分别取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值对应是1，5，25，50．经验算，只有一个结果是错误的，则这个错误的结果是（     ） A．时， B．时， C．时， D．时， 5．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 6．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 7．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 8．已知，且，则_________ 9．某人的旅游团去花海观花，导游用元购买了张成人票和张儿童票，请你给小朋友小海计算一下，小海和他父母及爷爷一家四口需交______元的门票费． 10．若是关于的二元一次方程的一个解，则的立方根为____________． 11．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 12．若是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 13．已知关于x，y的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 14．根据以下学习素材，完成下列两个任务． 学习素材 素材一 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，就完成了棉田的采摘． 素材二 大型采棉机 小型采棉机 每台大型采棉机完成棉田的采摘． 每台小型采棉机完成棉田的采摘． 问题解决： (1)任务一：这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ (2)任务二：现在有另一种棉大户也想同时租用这两种型号的采棉机完成棉田的采摘．问有哪几种租用方案？ 15．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 16．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 17．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $