第04讲 三角形的内角（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第04讲 三角形的内角（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 三角形的内角 在我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的． 度量法： 剪拼法： 先把一个三角形的３个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成了一个什么角? 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【例1】【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式1-2】如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 【变式1-3】证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 【答案】(1)见解析 (2)可以 【分析】根据平行线的性质进行角的转换即可进行论证. 【详解】（1）选第一种： 证明：过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是； 选第二种： 过三角形内任取一点作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 即：三角形的内角和为：； 选第三种： 如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即：三角形的内角和为：； （2）可以，理由如下： 如图所示： 过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是. 【题型2 三角形的内角和定理与高、角平分线】 【例2】如图，在中，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的定义用表示出的度数，再根据三角形内角和定理用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式2-1】如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【答案】(1) ， 还可以求，，． (2)解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，． （2）略 【变式2-2】如图，在中，为边上的高，平分，分别交、于点、，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义计算出的度数即可； （2）先由是边上的高得出，在中求出的度数，再利用邻补角的性质求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵为边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点、、在同一直线上， ∴， ∴． 【变式2-3】如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数大小不变，理由： ∵平分， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先求出的度数，利用即可求出的度数； （2）先求出的度数，利用即可求出的度数； （3）利用平分，平分，求出即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3 三角形的内角和定理与双角平分线】 【例3】如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 【变式3-1】如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【变式3-2】如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 【变式3-3】探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据平分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ； （2）解：∵， ， ∵分别是的三等分线， ， ， ． （3）解：∵分别是的等分线， ∴，， ． 【题型4 画三角形的高】 【例4】如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角与周角的定义、折叠的性质，熟练掌握分类讨论的思想和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．本题需分两种情况讨论求解，当时，利用平行线的性质和折叠的性质，求出的度数．当时，利用平行线的性质、平角的定义及折叠的性质，求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ， 情况1：当时， ， ， 由折叠性质可知，， ， 在中， ， ， 情况2：当时， ， ， ， 由折叠性质可知， ， 故答案为：或． 【题型5 直角三角形的判定】 【例5】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【变式5-1】如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式5-2】如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【变式5-3】（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6 直角三角形的性质应用】 【例6】如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 【变式6-1】综合实践． 勤学组 （1）如图①，是的边上的高，图中有与相等的角吗？说明理由？ 思维组 （2）如图②，把图①中的向右平移，与交于点E，图中有与相等的角吗？说明理由？ 创新组 （3）如图③，把图①中的向左平移，交的延长线于点E，图中有与相等的角吗？说明理由？ 【答案】（1）有，见解析；（2）有，见解析；（3）有，见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质、直角三角形的性质等知识点． （1）由可得，根据可得，然后根据等量代换即可解答； （2）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论； （3）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论． 【详解】解：（1）有．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （2）有．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （3）有．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式6-2】如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 【答案】 【分析】用表示，再利用，求出，再表示出，发现其等于，进而在直角三角形中求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式6-3】如图1，线段于点A，平分，M为射线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F． (1)如图1，当M为线段上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由； (2)如图2，M为线段延长线上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用平行线的判定即可证明； （2）利用各角之间的关系，证明所在的直线与的夹角为即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ； （2）延长，交于点G， 在和中，，， ， 又、分别为和的平分线， ， 又， ， ， ． 模块三 课后作业 1．如图，与的数量关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理得，，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴． 2．一副直角三角板如图摆放，其中，，，若点是上一点，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 3．定义：若一个三角形的三个内角的度数是正整数，且满足最大角是最小角的两倍，则称这个三角形为“二倍角三角形”．在中，三个内角的度数是正整数，给出以下命题： ①若，则一定是“二倍角三角形”； ②若且，则一定是“二倍角三角形”； ③若最大角与最小角的差为40°，则一定是“二倍角三角形”； ④若三个内角的比为，则一定是“二倍角三角形”． 其中是真命题的是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】先明确“二倍角三角形”的定义：三个内角为正整数，且最大角是最小角的2倍，依次对四个命题通过计算验证或举反例判断即可． 【详解】解：根据定义，“二倍角三角形”要求三个内角为正整数，最大角是最小角的2倍，依次判断： ①若，举反例：令，，则，此时最小角为，最大角为，，不符合定义，故①是假命题． ②若，，则，，三个角从小到大是，最大角，符合定义，故②是真命题． ③若最大角与最小角差为，设最小角为，则最大角为，第三个角为，由得，取，则三个角为，最大角，存在反例，故③是假命题． ④若三个内角比为，总份数为，每份角度为，三个角为，最大角，符合定义，故④是真命题． 综上，真命题为②④． 4．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，即，再说明，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 5．如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再求出的度数即可得到答案； 【详解】解：，，， ， 故选：D． 6．如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，关键是要分两种情况讨论．当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 故选：C． 7．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 8．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 9．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由见解析. 【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差即可得； （2）先根据直角三角形的两锐角互余可得，再由题（1）的结论和推出，联立化简求解即可得. 【详解】（1）∵在中， 在中， ，即 ； （2），理由如下： 由题（1）知， . 10．直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 【答案】(1)见解析 (2)、和 【分析】本题主要考查直角三角形两个锐角互余和对顶角的知识， （1）由直角三角形两个锐角互余得出，且，则有结论成立． （2）根据题意可知，进一步得到，则有，即；由题意得，则；由题意得，结合，则有成立． 【详解】（1）证明：∵为的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； ∵为的高线，， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴， 故与相等的角有、和 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 三角形的内角（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 三角形的内角 在我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的． 度量法： 剪拼法： 先把一个三角形的３个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成了一个什么角? 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【例1】【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式1-2】如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【变式1-3】证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 【题型2 三角形的内角和定理与高、角平分线】 【例2】如图，在中，平分．若，求的度数． 【变式2-1】如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【变式2-2】如图，在中，为边上的高，平分，分别交、于点、，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式2-3】如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【题型3 三角形的内角和定理与双角平分线】 【例3】如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【变式3-1】如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【变式3-2】如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【变式3-3】探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【题型4 画三角形的高】 【例4】如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【变式4-1】如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【变式4-2】如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式4-3】如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 【题型5 直角三角形的判定】 【例5】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【变式5-1】如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式5-2】如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【变式5-3】（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【题型6 直角三角形的性质应用】 【例6】如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【变式6-1】综合实践． 勤学组 （1）如图①，是的边上的高，图中有与相等的角吗？说明理由？ 思维组 （2）如图②，把图①中的向右平移，与交于点E，图中有与相等的角吗？说明理由？ 创新组 （3）如图③，把图①中的向左平移，交的延长线于点E，图中有与相等的角吗？说明理由？ 【变式6-2】如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 【变式6-3】如图1，线段于点A，平分，M为射线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F． (1)如图1，当M为线段上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由； (2)如图2，M为线段延长线上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 模块三 课后作业 1．如图，与的数量关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．一副直角三角板如图摆放，其中，，，若点是上一点，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．定义：若一个三角形的三个内角的度数是正整数，且满足最大角是最小角的两倍，则称这个三角形为“二倍角三角形”．在中，三个内角的度数是正整数，给出以下命题： ①若，则一定是“二倍角三角形”； ②若且，则一定是“二倍角三角形”； ③若最大角与最小角的差为40°，则一定是“二倍角三角形”； ④若三个内角的比为，则一定是“二倍角三角形”． 其中是真命题的是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 7．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 8．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 9．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 10．直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $