精品解析：广东省广州十七中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025学年第二学期阶段性检测题 高二级 数学（问卷） 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的导数求解即可. 【详解】由已知，又， 所以，解得. 2. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 所以函数的单调减区间为. 3. 已知函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为， ， 令，得，解得. 因为为增函数， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 4. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得. 【详解】由题，可得展开式的通项为， ，则，解得. 故选：B. 5. 学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先从物理和历史中选一科，再从剩下4科中选一科，进而用分布计数原理得到答案. 【详解】从物理和历史中任选1科，有种，然后从其他4科中任选2科，有种， 共有种. 故选：B. 6. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（ ） A. 16 B. 17 C. 15 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值. 【详解】设数列公差为，由题设可得. 即，结合,可得 7. 若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有四个极值点 B. C. 有一个极小值点 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 8. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角恒等变换化简导函数，讨论导函数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值. 【详解】已知函数， 所以. 因为，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 所以在上为单调递增，在为单调递减， 故在上的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. (多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ） A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD. 10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】对于A：由， 由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确； 对于B：由上可知：，所以本选项不正确； 对于C：，所以本选项正确； 对于D：因为常数 ， 所以数列不是等差数列，因此本选项不正确， 故选：AC 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 函数有三个零点 D. 点为函数的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，通过求导即可分析单调性与极值；B选项，利用单调性即可比较函数值大小；C选项，利用零点定义即可求出函数的零点；D选项，利用即可验证对称中心. 【详解】对于A：因为， 由，得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 对于B：因为当时，单调递增， 而当时，，所以，故B错误； 对于C：令，得或，所以函数有两个不同的零点，故C错误； 对于D：因为，即， 所以点为函数的对称中心，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由递推公式直接计算． 【详解】由已知，． 故答案为：． 14. 在的展开式中，含有项的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的计算性质，即可求解. 【详解】由的展开式中， 可得项的系数 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）求在区间的最值． 【答案】（1） ， （2） 最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，然后可求极值； （2）比较函数极值与区间端点处函数值的大小关系，据此可得函数最值. 【小问1详解】 ，，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 从而，； 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增. 则， 16. 记为等比数列的前项和．已知，． （1）求的通项公式； （2）证明：，，成等差数列 【答案】（1） （2）证明：根据（1）可得，. 则，，. 因此，，即， 因此成等差数列. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，列方程求出公比，再由等比数列的通项公式计算即得. （2）根据等比数列前项和求出，再根据等差数列的定义证明即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，首项为. 由题意得，且前两项和. 则，即，解得，所以. 因此的通项公式为. 【小问2详解】 略 17. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值点； （2）求出方程的解的个数． 【答案】（1）在单调递减，在单调递增；极小值点为，无极大值点. （2）当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可. （2）将方程有解的问题转化为与的交点个数问题，结合导数与单调性及最值的关系，分析判断即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 . 令，解得； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极小值，即是的极小值点，无极大值点. 综上，在上单调递减，在上单调递增；是的极小值点，无极大值点. 【小问2详解】 方程的解的个数等价于的图像与直线的交点个数. 由（1）知，. 当时，；当时，. 函数的简图如下： 结合图象可知，当时，的图像与直线无交点； 当或时，的图像与直线有1个交点； 当时，的图像与直线有2个交点； 综上，当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1）证明见解析 （2）99 【解析】 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【小问1详解】 由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 若，即，因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为． 19. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）在上是减函数；在上是增函数 （2）当，时，，则， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当时，取得最小值. 由得，则 故. 【解析】 【小问1详解】 依题意，，由是的极值点，得，解得， 则， 当时，，则；当时，，则， 所以是的极值点，，且在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段性检测题 高二级 数学（问卷） 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 120 6. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（ ） A. 16 B. 17 C. 15 D. 14 7. 若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有四个极值点 B. C. 有一个极小值点 D. 8. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. (多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ） A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 函数有三个零点 D. 点为函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 已知数列满足，则等于__________． 14. 在的展开式中，含有项的系数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）求在区间的最值． 16. 记为等比数列的前项和．已知，． （1）求的通项公式； （2）证明：，，成等差数列 17. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值点； （2）求出方程的解的个数． 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 19. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $