精品解析：浙江省金华市义乌市义亭镇初级中学2025-2026学年下学期数学期中作业检测

2025学年下学期期中作业检测八年级（数学学科） 一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校八年级男生米长跑其中 名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这 名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这 名学生最优分组的序号是（ ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，在平行四边形 中， 与 相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. ， 6. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为 步，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于 的方程的两实数根为，，若，则 的值为( )． A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，平面直角坐标系中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上运动，以 为对角线作平行四边形，使得边 在 轴上，点 在 的右侧，且 ，连接 交 于点 ，当时，若，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P、Q是平行四边形 的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到 的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是_________. 12. 某班的八个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，6，9，7，6，9，则这组数据的众数是________． 13. 已知关于 的一元二次方程的常数项为0，则 的值为__________． 14. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 15. 如图，已知 的面积为 ，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为________． 16. 如图， ， ， ，， ，射线 交边 于点 ，点 为射线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ， （1）当点 与点 重合时，则 的值为____； （2）在点 的运动过程中，则 的最小值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 用合适方法解下列方程： （1）； （2）． 19. 某市射击队为了从 ， 两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对 ， 两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将 ， 两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了 、 两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手 射击成绩的中位数___________选手 射击成绩的中位数（填或 ）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从 ， 两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 20. 如图所示，在 中，对角线 与 相交于点O，过点O作一条直线分别交 ， 于点E，F．     （1）求证： ； （2）若， ，，求四边形 的周长． 21. 已知关于 的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）若 的两边 、 的长是方程的两根，第三边 的长为 ，当 为何值时， 是直角三角形，并求出 的面积． 22. 某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． （1）求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； （2）从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 23. 定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点 在 轴正半轴上．以为边构造，点 关于直线 的对称点为 ．连接，线段 与 轴的交点为 ． （1）求证： ； （2）当时，求． （3）若 点坐标为，直接写出当 是等腰三角形时 点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年下学期期中作业检测八年级（数学学科） 一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明 ，当 时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有 ， 两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、==，被开方数含能开得尽方的因数 ，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的合并规则与二次根式乘法法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：只有同类二次根式才可以合并，与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误； 同类二次根式合并时，系数相加，被开方数不变，，故C选项错误； 根据二次根式乘法法则，，故D选项正确． 4. 某校八年级男生米长跑其中 名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这 名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这 名学生最优分组的序号是（ ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，同组水平越接近，组内离差平方和越小，因此只需比较四个分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可得到答案． 【详解】解：根据题意，最优分组满足组内水平接近，对应组内离差平方和最小． 比较四个分组的组内离差平方和得： ∵ ， ∴ 序号3的组内离差平方和最小，是最优分组，对应选项为B． 5. 如图，在平行四边形 中， 与 相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 观察四个选项可知，结论不一定成立的是选项A， 故选：A． 6. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为 步，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为 步，则宽为步，利用面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 8. 关于 的方程的两实数根为，，若，则 的值为( )． A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与积，代入条件方程求解 ，再根据一元二次方程根的判别式，确定 的值，即可． 【详解】解：∵关于 x 的方程 的两实数根为 ， ， 又 方程 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ， 由根与系数的关系：得，． ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ 或 ． 又∵ 方程有两实数根， ∴， 即． ∴． 故选：A． 9. 如图，平面直角坐标系中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上运动，以 为对角线作平行四边形，使得边 在 轴上，点 在 的右侧，且 ，连接 交 于点 ，当时，若，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 连接 ，设，证得，结合平行四边形的性质得、、 、，通过勾股定理，构建方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 设，则，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 在 中，， ， ， 整理，得：， 解得：（负值舍去）， ， 点 的坐标为． 故选：D． 10. 如图，点P、Q是平行四边形 的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到 的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到 的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形 是平行四边形，且点P、Q是平行四边形 的边上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到 的距离为， 故选：D． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是_________. 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】由题意得x-4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12. 某班的八个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，6，9，7，6，9，则这组数据的众数是________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据解答即可． 【详解】解：在所给数据中，9出现的3次，出现次数最多， ∴众数是9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查众数，理解众数的概念是解答的关键． 13. 已知关于 的一元二次方程的常数项为0，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为 ，求解即可得到 的值． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 14. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【答案】9或10或11 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为 ，根据题意得： 又 截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 15. 如图，已知 的面积为 ，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，过 作 交 的延长线于 ，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和 的面积相等， 的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可． 【详解】解：连接 ，过 作 交 的延长线于 ， 如图所示： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 边 上的高和 的边 上的高相同， 的面积和 的面积相等， 同理： 的面积和的面积相等， 阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半， 设上的高为 ， 平行四边形的面积 ， ， 的面积是 ， ， ， 阴影部分的面积是． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的计算，主要考查学生的推理能力和转化能力． 16. 如图， ， ， ，， ，射线 交边 于点 ，点 为射线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ， （1）当点 与点 重合时，则 的值为____； （2）在点 的运动过程中，则 的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质证明，再对 运用勾股定理求解 ；延长 到T，使得 ，连接 ，过点A作 于点M，可得四边形 是平行四边形，根据直角三角形的性质以及勾股定理求解，则，根据平行得到 ，则点F在射线 上运动，当点F与M重合时， 的值最小，再对 运用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； 如图，延长 到T，使得 ，连接 ，过点A作 于点M． ∵四边形 是平行四边形， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴点F在射线 上运动，当点F与M重合时， 的值最小， 在 中，， ， ∴， ∴ ∴ 的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算、二次根式性质以及乘法和加法的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先根据二次根式性质进行化简，再运算乘法，即可作答． 【小问1详解】 解： = = 【小问2详解】 解： 18. 用合适方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴ 或 ∴． 19. 某市射击队为了从 ， 两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对 ， 两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将 ， 两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了 、 两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手 射击成绩的中位数___________选手 射击成绩的中位数（填或 ）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从 ， 两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9， ；（2），9，，=；（3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求众数，求中位数，根据方差判断稳定性，求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴． 故答案为：9， ； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴下四分位数为 ，即； 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，． 故答案为： ，9，，=； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 20. 如图所示，在 中，对角线 与 相交于点O，过点O作一条直线分别交 ， 于点E，F．     （1）求证： ； （2）若， ，，求四边形 的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形 的周长为15 【解析】 【分析】（1）已知四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得 ， ，即可得，，证明，由全等三角形的性质可得 ； （2）由，根据全等三角形的性质可得，从而得出，又因，即可得四边形 的周长． 【小问1详解】 证明：在 中， ∵ 与 相交于点O， ∴ ， ， ∴，， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形 的周长 ． 21. 已知关于 的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）若 的两边 、 的长是方程的两根，第三边 的长为 ，当 为何值时， 是直角三角形，并求出 的面积． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根． （2）当 为2时， 是直角三角形， 的面积为6，当 为11时， 是直角三角形， 的面积为30 【解析】 【分析】（1）求出判别式与0的关系即可判断； （2）利用因式分解法求出方程的两根，，，不妨设，，再分两种情况，利用勾股定理求出k的值即可解答． 【小问1详解】 解： 在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 不妨设，， ①当 为斜边时，有，即， 解得：，（舍去）．此时 则直角三角形的面积为：； ②当为斜边时，有，即 解得：，此时， 则直角三角形的面积为：． 22. 某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． （1）求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； （2）从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）2750元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为 ，根据1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，三月份的销售量达到了288台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每台洗衣机的售价降低y元，则每台洗衣机的售价应为元，根据以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为 ， 由题意，得， 解得，（舍）， 答：二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为 ； 【小问2详解】 解：设每台电器降了 元，由题意， 得， 整理得，， 解得，， ， 答：每台电器的售价应为2750元． 23. 定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）是 （2）5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出 的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得 ，且 ，然后分两种情况：① 和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：∵、是关于 的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上， 的值为5． 【小问3详解】 解：， ， 解得 或 ， ∵关于 的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式， ，且 ， 解得 ，且 ， ①当 时，则， ∵关于 的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于 的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上， 的取值范围为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点 在 轴正半轴上．以为边构造，点 关于直线 的对称点为 ．连接，线段 与 轴的交点为 ． （1）求证： ； （2）当时，求． （3）若 点坐标为，直接写出当 是等腰三角形时 点的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由点的对称性得到，等量代换后，由等腰三角形性质即可得证； （2）过点 作轴于点 ，如图所示，结合平行四边形性质，从而判定，确定，设 点坐标，表示出相关线段长度，即可得到答案； （3）过点 作轴于点 ，如图所示，设，，则，由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当 是等腰三角形时，分三种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点 关于直线 的对称点为 ， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：过点 作轴于点 ，如图所示： 在中，，，则， ，轴， ， ， 则， 在中，，， ∵， ∴， 设 点坐标， ∴，， ∵ ， ∴，，，，， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：过点 作轴于点 ，如图所示： 设，，则， 由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当 是等腰三角形时，分三种情况讨论如下： ①当时，，，， ∵ ， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得，（舍去）， ∴； ②当时， ∵， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴； ③当时， ， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得（舍去），， ∴； 综上所述， 点坐标，，． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记一次函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $