2025-2026学年山西省人教版八年级下学期期末模拟卷（二）

**基本信息** 立足吕梁地方文化与生活实践，融合跨学科情境与项目化探究，全面考查八年级数学核心知识与关键能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、多边形内角和、统计（箱线图）、勾股定理|以山西临县文塔为背景考查八边形内角和（文化传承），结合晶体熔化实验数据考查熔点（跨学科）| |填空题|5/15|圆柱侧面最短路径、图形剪拼、函数图像|圆柱形储罐电缆线最短长度计算（实际应用），U型管引流高度变化（生活情境）| |解答题|8/75|函数建模、几何综合、项目化探究|电商仓储运费函数关系（模型意识），长方体容积最大值探究（实践操作），直角三角形动点四边形形状判定（推理能力）|

2026年山西省吕梁市人教版八年级期末模拟卷（二） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 2．如图山西临县文塔，位于吕梁市临县城南安业乡东榆村。市级文物保护单位。建于清乾隆二年（1737），塔八角九级，高四十三米，每级四个窗口，十字对开，可谓八面来风。从上面看文塔，得到的平面图形是八边形，八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 3．．学习小组的同学用如图1所示的装置探究某种晶体熔化时温度的变化规律，初始温度为，待温度升高到开始，每隔记录一次温度计的示数，根据记录的数据得到如图2所示的图象，则该晶体的熔点是（   ）． ◇小贴士晶体从开始熔化到熔化结束的过程中温度保持不变，这一温度称为晶体的熔点 A． B． C． D． 4．已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲队身高数据比乙队更集中 B．甲队身高的下四分位数是 C．乙队身高超过的人数占 D．乙队身高的中位数比甲队大 5．小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第（   ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形． A．16 B．17 C．18 D．19 6．已知在的范围内最大值为11，则k的值是（　　） A．2 B．7 C．14 D．2或14 7．如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 8．如图，在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地出发前往B地，到达B地后休息1小时，然后按原路原速返回A地；乙骑电动车从B地出发前往A地，到达A地后停止．甲、乙两人同时出发，设甲、乙两人之间的距离为y（km），甲行驶的时间为x（h），y与x之间的函数关系如图所示．下列说法：①A、B两地之间的距离是；②乙骑电动车的速度是；③甲骑自行车的速度是；④甲从B地返回A地一共用了．中，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 10．小明将由四条长为10的木条组成的菱形沿向右推至四边形的位置，如图所示，当，且菱形与四边形的大小完全一致时，的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．计算：______． 12．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是_____．（π取3） 13．如图，将左边矩形纸片沿虚线剪开并拼接成了右边正方形，则___________．    14．如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 15．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算：． （2）．一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式． 17．（8分）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 18．（8分）为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据调查信息，回答下列问题： (1)_____； (2)设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图； (3)在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____； (4)若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数． 19．（7分）如图，在平行四边形中，点是的中点． (1)尺规作图：作的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、．求证：线段和线段互相平分． 20．(8分)春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面． 请结合图象解答下列问题： (1)求两架无人机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度． (2)求甲无人机第一次表演的时长． 21．（9分）阅读与思考 下面是项目化学习的内容，请认真阅读，并完成相应任务． 项目主题：优化电商仓储配送方案 项目背景：某电商平台需从中心仓向华北、华东、西北三地配送商品．为平衡时效与成本，需科学规划配送方案．物流团队以优化运输成本为主题开展数据分析． 驱动任务：探究配送数量与总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集中心仓每月配送商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1：每月需配送2000件商品，其中西北地区需求量为华北地区需求量的2倍； 信息2：运费受距离与交通条件的影响，具体如下： 运送地点 华北 华东 西北 运费（单位：元/件） 30 35 50 任务： (1)设运往华北地区的商品数量为（单位：件），总运费为（单位：元），试写出与的函数解析式．（不需要写自变量的取值范围） (2)若当月物流预算的总运费不超过80000元，华北地区最多能配送多少件商品？ 22（12分）．综合与实践： 手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求的最大值． 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究． （1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象． 【解决问题】 （4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数） ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数） 23．（13分）综合与实践探究：动点形成的四边形形状探究 任务背景：在数学综合实践课上，老师带领同学们开展了以“直角三角形中的动点问题”为主题的探究活动．如图，在Rt中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接．同学们围绕动点运动过程中形成的线段关系、特殊四边形形状、特殊三角形形状等问题展开探究，请你结合所学知识完成以下任务． 任务一：基础探究——证明线段相等 (1)在下列横线上填空．求证：． 证明：，， ， 是含的直角三角形． _____， _____， 又， ． 任务二：拓展探究——特殊四边形的判定 (2)探究四边形的形状变化： 求证：四边形是平行四边形； 当为何值时，四边形是菱形？ 任务三：深化探究——特殊三角形的判定 (3)探究的形状变化： 若为直角三角形，请直接写出的值． 试卷第2页，共24页 试卷第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省吕梁市人教版八年级期末模拟卷（二）(解析版) （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，根据题意逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵是整数， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．如图山西临县文塔，位于吕梁市临县城南安业乡东榆村。市级文物保护单位。建于清乾隆二年（1737），塔八角九级，高四十三米，每级四个窗口，十字对开，可谓八面来风。从上面看文塔，得到的平面图形是八边形，八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，根据内角和公式计算即可． 【详解】∵内角和公式， ∴八边形的内角和为． 3．学习小组的同学用如图1所示的装置探究某种晶体熔化时温度的变化规律，初始温度为，待温度升高到开始，每隔记录一次温度计的示数，根据记录的数据得到如图2所示的图象，则该晶体的熔点是（   ）． ◇小贴士晶体从开始熔化到熔化结束的过程中温度保持不变，这一温度称为晶体的熔点 A． B． C． D． 【答案】．B 【分析】从温度和时间图像中，找到温度保持不变的水平线段对应的温度值即为晶体的熔点． 【详解】解：由图象和小贴士可知，时，温度保持在不变，说明此时晶体正在熔化，这一阶段的温度就是熔点，所以该晶体的熔点为． 4．已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲队身高数据比乙队更集中 B．甲队身高的下四分位数是 C．乙队身高超过的人数占 D．乙队身高的中位数比甲队大 【答案】B 【分析】本题考查箱线图的应用，涉及四分位数、中位数、数据集中程度的判断等知识点．关键是明确箱线图中各统计量的含义． 【详解】解：A选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的最大值与最小值的差大于乙队， ∴乙队身高数据比甲队更集中，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，甲队身高的下四分位数是，故B选项正确； C选项：乙队身高的上四分位数是，即的队员身高不超过， ∴超过的人数占，故C选项错误； D选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的中位数大于乙队， ∴乙队身高的中位数比甲队小，故D选项错误； 故选：B． 5．小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第（   ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，根据勾股数5，12，13即可解决问题． 【详解】解：小淇拉住第6个结，意味着小淇和小惠之间有5个单位的长度，勾股数5，12，13，刚好，所以小婷与小淇之间有13个单位长度，，而两个结一个长度，三个结两个长度，又得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形，所以是第19个结， 所以，小婷同学应该拉住第19个结， 如图， 故选：D． 6．已知在的范围内最大值为11，则k的值是（　　） A．2 B．7 C．14 D．2或14 【答案】A 【分析】分两种情况分析：当时，当时，分别根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，y随x增大而减小， ∵在的范围内最大值为11， ∴当时，取得最大值11，即， 解得，不符合题意； 当时，y随x增大而增大， ∵在的范围内最大值为11， ∴当时，取得最大值11，即， 解得，符合题意； ∴， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一次函数的增减性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 7．如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 8．如图，在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地出发前往B地，到达B地后休息1小时，然后按原路原速返回A地；乙骑电动车从B地出发前往A地，到达A地后停止．甲、乙两人同时出发，设甲、乙两人之间的距离为y（km），甲行驶的时间为x（h），y与x之间的函数关系如图所示．下列说法：①A、B两地之间的距离是；②乙骑电动车的速度是；③甲骑自行车的速度是；④甲从B地返回A地一共用了．中，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，直接观察函数图象可判断①，由最后一段可知甲从B地返回A地一共用了，即可判断④，由此可得甲骑自行车的速度，即可判断③，再结合第一段函数图象求乙骑电动车的速度即可判断②． 【详解】时，，则A、B两地之间的距离是，故①正确； 由图可知，最后一段时，甲从B地返回A地一共用了，故④正确； 甲骑自行车的速度是，故③正确； 时，甲乙相遇，设乙骑电动车的速度为， ，解得， 乙骑电动车的速度是，故②正确； 综上，正确的个数为4． 故选：D． 9．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【详解】解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 10．小明将由四条长为10的木条组成的菱形沿向右推至四边形的位置，如图所示，当，且菱形与四边形的大小完全一致时，的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】连接，交于O，菱形与四边形的大小完全一致，得到，，根据勾股定理求出，得到，即可求得 【详解】解：连接，交于O， ∵菱形与四边形的大小完全一致， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．计算：______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 先进行无理数的乘方和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是_____．（π取3） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图以及勾股定理的应用，熟练掌握将圆柱侧面展开为矩形并利用勾股定理求解是解题的关键． 将圆柱侧面展开成矩形，把曲面问题转化为平面问题，利用勾股定理计算矩形中两点间的线段长度，此长度即为电缆线的最短长度． 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵ 圆柱底面半径为米，取， ∴ 底面圆的周长的一半米． ∵ 圆柱的高为米， ∴ 米． 在中，由勾股定理得米． 故答案为： 13．如图，将左边矩形纸片沿虚线剪开并拼接成了右边正方形，则___________．    【答案】5 【分析】本题考查矩形与折叠，设四个直角三角形的两条直角边的长为，根据折叠的性质，结合正方形的性质，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，大正方形由4个全等直角三角形和一个小正方形构成，小正方形的边长等于矩形纸片中的长，直角三角形的短直角边也等于矩形纸片中的长，设四个直角三角形的两条直角边的长为， 则：小正方形的边长， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：5． 14．如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 【答案】3 【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 15．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【答案】或 【分析】由矩形的长为、宽为，沿折叠使落在上的处，可证四边形为正方形，从而得，． 由及折叠性质可推出，从而得到核心结论． 为等腰直角三角形，其两条直角边、的中点分别记为、． 分两种情况讨论：当射线经过的中点时，与重合，在中利用勾股定理求，再由得解；当射线经过的中点时，连接，利用证明，得，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ，． 由沿折叠，点落在上的点处， ，，． ， 四边形是正方形， ，， ，． ， ， 由沿折叠知， ， ． 当射线经过的中点时， 与重合， ， ， ． 由折叠知，， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 当射线经过的中点时， 连接， ，， ， 由折叠知， ． ，在上， ， 又，且在射线上， ， 在和中： ， （）， ． 设， 由图形位置关系知点在线段上， ， 又，， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得． 综上所述，的长为或． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算：． 【答案】17+ 【分析】先化简各项，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： . （2）．一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式． 【答案】 【分析】设这个一次函数的关系式为，根据一次函数的图象与直线平行得到，进而将代入关系式求出即可． 【详解】解：设这个一次函数的关系式为， ∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵过点， ∴， 解得：， 即． 17．（8分）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 18．（8分）为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据调查信息，回答下列问题： (1)_____； (2)设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图； (3)在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____； (4)若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数． 【答案】(1)480 (2)120；见解析 (3)120，96 (4)估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人 【分析】（1）由条形统计图，可知选A类课程有人，由扇形统计图可知选A类课程占了名学生的，即可求； （2）把随机抽取的总人数减去选课程A、B、D、E的人数即可得出选C课程的人数； （3）根据众数和中位数的定义即可获得答案； （4）先算出选D课程的人数占随机抽取的人数的百分比，再把2400乘以这个百分比即可解决． 【详解】（1）解：， （2）解： ，条形图补充如下： （3）120出现次数最多，所以众数为120， 排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96 （4）， 答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人． 19．（7分）如图，在平行四边形中，点是的中点． (1)尺规作图：作的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、．求证：线段和线段互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到四边形是平行四边形，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线交于点F，点F即为所求； （2）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点E是的中点，点F是的中点 ，， ， 四边形是平行四边形， 和互相平分． 20．(8分)春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面． 请结合图象解答下列问题： (1)求两架无人机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度． (2)求甲无人机第一次表演的时长． 【答案】(1)米/秒 (2)10秒 【分析】（1）通过函数图象获取信息求解； （2）通过函数图象获取信息求解． 【详解】（1）解：由图可知，两架无人机联合表演时长：秒， 乙无人机上升时的飞行速度：米/秒； （2）解：甲无人机的速度：米/秒， 再上升40米需要时间：秒， 所以， 所以甲无人机第一次表演时长：秒． 21．（9分）阅读与思考 下面是项目化学习的内容，请认真阅读，并完成相应任务． 项目主题：优化电商仓储配送方案 项目背景：某电商平台需从中心仓向华北、华东、西北三地配送商品．为平衡时效与成本，需科学规划配送方案．物流团队以优化运输成本为主题开展数据分析． 驱动任务：探究配送数量与总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集中心仓每月配送商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1：每月需配送2000件商品，其中西北地区需求量为华北地区需求量的2倍； 信息2：运费受距离与交通条件的影响，具体如下： 运送地点 华北 华东 西北 运费（单位：元/件） 30 35 50 任务： (1)设运往华北地区的商品数量为（单位：件），总运费为（单位：元），试写出与的函数解析式．（不需要写自变量的取值范围） (2)若当月物流预算的总运费不超过80000元，华北地区最多能配送多少件商品？ 【答案】(1) (2)最多可运往华北地区的商品数量为400件 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）根据运费表列出函数关系式即可； （2）根据列出不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）由题意，可知运往西北地区的商品数量为件，则运往华东地区的商品数量为（2000-3x）件， 则． 答：与的函数解析式为； （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可运往华北地区的商品数量为400件． 22（12分）．综合与实践： 手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求的最大值． 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究． （1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象． 【解决问题】 （4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数） ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1）；（2）500；（3）见解析；（4）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）或 【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得的取值范围； （2）将代入计算即可得； （3）先描出其余各点，再顺次连接即可画出函数的大致图象； （4）①根据函数图象即可得； ②根据函数图象即可得． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）当时，，即， 故答案为：500． （3）画出函数的大致图象如下所示： （4）①由函数图象可知，长方体盒子的容积最大约为（答案不唯一）； ②由函数图象可知，当时，（答案不唯一）或． 23．（13分）综合与实践探究：动点形成的四边形形状探究 任务背景：在数学综合实践课上，老师带领同学们开展了以“直角三角形中的动点问题”为主题的探究活动．如图，在Rt中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接．同学们围绕动点运动过程中形成的线段关系、特殊四边形形状、特殊三角形形状等问题展开探究，请你结合所学知识完成以下任务． 任务一：基础探究——证明线段相等 (1)在下列横线上填空．求证：． 证明：，， ， 是含的直角三角形． _____， _____， 又， ． 任务二：拓展探究——特殊四边形的判定 (2)探究四边形的形状变化： 求证：四边形是平行四边形； 当为何值时，四边形是菱形？ 任务三：深化探究——特殊三角形的判定 (3)探究的形状变化： 若为直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②当时，四边形是菱形 (3)或 【分析】（1）根据所给过程补充完整即可； （2）①根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形可证结论成立； ②根据列式求解即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， 是含的直角三角形． ， ， 又， ． （2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形； ②，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （3）解：当时，如图①， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，如图②， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴，即， 解得， 综上所述，当或时，为直角三角形． 试卷第2页，共24页 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $