山西省吕梁市2025--2026学年人教版八年级下册数学期末模拟卷（三）

**基本信息** 2026年山西吕梁人教版八年级数学期末模拟卷，以《周髀算经》勾股数、曹冲称象浮力秤等文化与现实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖二次根式、函数、几何等核心知识，突出推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、函数图象、平行四边形判定|第4题结合《周髀算经》考勾股数，渗透文化传承| |填空题|5/15|正六边形与正方形计算、折叠问题、箱线图|第14题箱线图分析数据匀称性，培养数据意识| |解答题|8/75|统计分析、几何证明、手推车应用、浮力秤建模、正方形探究|22题浮力秤数据拟合考模型意识，23题正方形动态探究发展推理能力|

2026年山西省吕梁市人教版八年级期末模拟卷（三）（解析版） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A：，代数式不含分母，且不能分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含有能开得尽方的因式，不符合条件，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合条件，不是最简二次根式． 2．函数的图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于函数，，， ∴函数的图象为 3．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：由题意已有，还差或； A、，一边平行，另一边相等，不能判定四边形是平行四边形； B、，不能判定四边形是平行四边形； C、由可得，不能判定四边形是平行四边形； D、，则，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可求解． 【详解】解：根据勾股数定义，三个数必须是正整数，选项A中不是正整数，因此排除A；对剩余选项逐一验证： 选项B：∵ ，，，即， ∴B不是勾股数，不符合题意； 选项C：∵ ，，，即， ∴C不是勾股数，不符合题意； 选项D：∵ ，，即，且三个数均为正整数， ∴D是勾股数，符合题意． 5．使有意义的的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，分别求解不等式后取交集即可得到结果； 【详解】要使有意义，需同时满足两个条件， 且， 解不等式，移项得，即， 解，得， 的取值范围是且． 6．学校图书馆举办6次阅读素养闯关活动，甲、乙两同学6次闯关成绩如图所示（百分制），其闯关成绩的方差分别记作、，则、的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可． 【详解】解：∵图可知甲的成绩波动程度比乙的成绩的波动程度小， ∴． 7．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到． 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 8．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹．若，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由作图可知：线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，的平分线交的延长线于点，连接．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得出，即可求出，，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出，，根据平行线的性质，结合等角对等边求出，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，和等高， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，的平分线交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 10．如图1，在矩形中，，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由题图可知，当点P运动到点A时，，；此时，，设，，其中，则，，结合矩形的性质求出，即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，当点P运动到点A时，，； ，． 设，，其中，则，， ，（不合题意的m，n值均已舍）， ． 四边形是矩形， ． 由题图可知． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．______． 【答案】 【详解】解：根据平方差公式计算得，原式． 12．如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 【答案】/150度 【分析】根据正多边形的性质求出，，然后求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． 13．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为______． 【答案】 【分析】首先求出，然后由折叠设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：是的中点， ， 是等腰直角三角形，且， ， 由翻折的性质可知， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴线段的长为5． 14．甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是___仪仗队．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据图中四分位数及身高范围进行判断即可． 【详解】解：从箱线图数据可知，甲、乙两支仪仗队队员身高的四分位数相同，但乙队队员的身高范围更大，甲队队员的身高波动比乙队小，身高较为匀称． 15．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接分别交于点O，G．若，则的长为________． 【答案】 【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图，求出直线的解析式为，直线的解析式为：；求出两条直线交点坐标，再求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 设的解析式为：， 代入，得， 解得， 所以，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入得， 解得：， 所以，直线的解析式为：； 联立方程组， 解得， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算性质，先算乘除，后算加减即可得到结果． 【详解】原式 ． （2）．数学课上，老师要求同学们画函数的图象，小红联想绝对值的性质得或，于是她很快作出了该函数的图象（如图），和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象． 【答案】不对；图像见解析 【分析】本题考查了函数的图像和绝对值的性质．熟练掌握函数的图像和绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质理解函数的图像并画出图像即可． 【详解】解：函数的定义是：当时，；：当时，． 小红错误地将时的表达式写为，实际上当时，， 和在处都有，所以正确的分段应该时，， 故小红的作法不对． 正确的图像作法如下： 17．（8分）常熟某中学为落实“书香校园”建设，了解本校学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读总时长（单位：）进行调查，将调查结果分为四个等级： A级：时长不足；级：；级：；级：时长不低于根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合信息回答下列问题： (1)请把条形统计图补充完整（画图后标上相应数据）； (2)扇形统计图中等级B对应的圆心角的度数为__________°，调查所得数据的中位数落在__________组（填组别）： (3)若该校共有1800名学生，请估计该校一周课外阅读时长不低于4h的学生共有多少人？ 【答案】(1)D级人数为10人，图见解析； (2)108，C； (3)1080 【分析】（1） 先根据A级的圆心角和人数求出样本总人数，再用总人数减去A、B、C三级人数得到D级人数． （2）利用B级人数占总人数的比例乘以求出对应圆心角；根据中位数的定义确定第25、26个数据所在组别． （3）用样本中阅读时长不低于4h的学生所占比例估计总体人数． 【详解】（1）解：级对应的圆心角为，A级人数为5人， 样本总人数为人， D级人数为人． 补充条形图如图： （2）解：等级B对应的圆心角为， 样本总人数为50人， 中位数为第25、26个数据的平均数， A级有5人，B级有15人，累计20人， 又C级有20人，累计40人， 第25、26个数据均落在C组， 中位数落在C组． （3）解：样本中一周课外阅读时长不低于4h的学生人数为人， 所占比例为， 估计该校1800名学生中一周课外阅读时长不低于4h的学生共有人． 18．（7分）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 19．（8分）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)该车符合安全标准，理由见详解 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 20．（8分）已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) 甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元 (2) 共有3种进货方案，分别是：方案一：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；方案二：购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；方案三：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个 (3) 购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润为1450元 【分析】（1）根据售价关系和总售价，设未知数后列二元一次方程组求解即可； （2）设甲款玩偶进货数量，根据总进价限制和甲款数量要求列不等式组，结合数量为正整数，得到所有可行的进货方案； （3）先表示总利润和甲款进货数量的函数关系，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元， 根据题意得： 解得 答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元； （2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个， 根据题意得： 解得， 因为为正整数， 所以可取88，89，90，对应为112，111，110， 答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个； （3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)， 则， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)， 此时乙款玩偶数量为(个)， 答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元． 21．（9分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小明在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小明的思路作答： (1)若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小明思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是菱形．请说明理由； (3)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】(1)四边形还是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据中位线定理，可得，，，，从而，，再根据平行四边形的判定，即可说明； （2）根据中位线定理，易得，，从而，再根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可说明； （3）根据中位线定理，易得，，从而且，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可说明． 【详解】（1）解：四边形还是平行四边形，理由如下： 如图，连接， E，F分别是，的中点， ，， 同理可得，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， G，F分别是，的中点， ， ，， ， 四边形是菱形； （3）解：当且时，四边形是正方形．理由如下： 由（2）可知，四边形是菱形， G，F分别是，的中点， ， ，， ，即， 四边形是正方形． 22．（12分）综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm      问题解决： (1)根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． (2)根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． (3)当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． (4)若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 【答案】(1)解：如图所示， (2)能，这个一次函数的解析式为 (3) (4)不能 【分析】（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出点，然后用直线连接即可； （2）利用待定系数法，将两个点代入求解； （3）先换算单位，再将代入求解； （4）将代入求出的值，再将的值换算单位后与进行比较大小即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：能， 由图像可知，该函数图像是一条直线， ∴设该函数解析式为， 将点分别代入中， 得，解得， ∴该函数的解析式为． （3）解：∵， 将代入中，解得， ∴杯子浸入水中的深度为． （4）解：将代入中，解得， ∵， ∴此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 23．（13分）综合与探究 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与、重合），其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请在备用图中画出图形并直接写出的度数． 【答案】(1)= (2)的结论不变，见解析 (3)见解析，或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，连接，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 又∵平分，， ∴． （2）的结论不变，理由如下： 证明：过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：①当点在点的右下方时，如图，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，连接， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ②当点在点的左下方时，如图，过点H作于点J，作于点K， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 试卷第2页，共24页 试卷第3页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省吕梁市人教版八年级期末模拟卷（三） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．函数的图象为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（     ） A． B． C． D． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．4，5，6 D．5，12，13 5．使有意义的的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 6．学校图书馆举办6次阅读素养闯关活动，甲、乙两同学6次闯关成绩如图所示（百分制），其闯关成绩的方差分别记作、，则、的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 7．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹．若，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 9．如图，在中，的平分线交的延长线于点，连接．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10．如图1，在矩形中，，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．______． 12．如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 13．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为______． 14．甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是___仪仗队．（填“甲”或“乙”） 15．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接分别交于点O，G．若，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． （2）．数学课上，老师要求同学们画函数的图象，小红联想绝对值的性质得或，于是她很快作出了该函数的图象（如图），和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象． 17．（8分）常熟某中学为落实“书香校园”建设，了解本校学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读总时长（单位：）进行调查，将调查结果分为四个等级： A级：时长不足；级：；级：；级：时长不低于根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合信息回答下列问题： (1)请把条形统计图补充完整（画图后标上相应数据）； (2)扇形统计图中等级B对应的圆心角的度数为__________°，调查所得数据的中位数落在__________组（填组别）： (3)若该校共有1800名学生，请估计该校一周课外阅读时长不低于4h的学生共有多少人？ 18．（7分）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 19．（8分）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 20．（8分）已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 21．（9分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小明在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小明的思路作答： (1)若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小明思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是菱形．请说明理由； (3)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 22．（12分）综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm      问题解决： (1)根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． (2)根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． (3)当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． (4)若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 23．（13分）综合与探究 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与、重合），其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请在备用图中画出图形并直接写出的度数 试卷第20页，共24页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $