第03讲 数轴（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第03讲数轴 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1数轴的三要素及其画法 题型2用数轴上的点表示有理数 题型3数轴上两点之间的距离 题型4数轴上整点覆盖问题 题型5根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型6数轴上的动点问题 题型7数轴上的规律探究问题 04过关检测→练考点：强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，能正确画出数轴。 数轴、原点、正方向、 2.能用数轴上的点表示有理数，并能读出数轴上的点表示的数。 单位长度、三要素、数 3.理解数轴上点的位置与数的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小（右 形结合。 边的数总比左边大)。 4.体会数形结合的数学思想，感受数与形的对应统一。 学习重点：数轴的三要素及画法，用数轴上的点表示有理数。 学习难点：理解数轴上的点与有理数的对应关系（不是一对应，因为无理数以后才学），以及利用 数轴比较负数的大小（越向左越小）。 02 教材全解 知|识|框|架 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 原点正方向，单位长度不能忘数轴口诀 解题方法与口决 定义规定了原点、正方向和单位长度的直线 右大左小记心问比较口诀 数轴的概念 原点表示敌0 三要素缺失 三要素 正方向 通常向右为正 方向混清 高频易错点 单位长度 刻度问隔统 单位长度不一致 对应关系 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 数轴画法判断 数轴 数轴上的点与有理数 正数位置 原点右侧 点表示数 高频考点 负数位置原点左侧 数表示点 0的位置原点 大小比较 法则 数轴上右边的傲总比左边的数大 差的绝对值 两点问距离 利用数轴比较大小 正数大于0 数轴上的距离 绝对值的几何意义 点到原点距离 应用 负数小于0 正数大于负数 知|识1精1讲 知识点01数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 【易错提醒】 数轴定义易错警示：数轴需同时具备*原点、正方向、单位长度*三要素。缺一不可。单位长度应均匀， 正方向一旦选定不能更改，原点位置可任意，但必须标出。 即时即练1.以下数轴画法正确的是( A.-2-1012 B. -2-10→ C.3-20123 D. 223 知识点02 数轴的性质 对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【易错提醒】 数轴性质易错警示：数轴上右边的数总比左边大；每个实数都有唯一对应点。注意：点与数一对应，但 单位长度不均匀或未标原点时无法比较大小。勿默认整点即整数。 5 即时即练1.把下列各数用数轴上的点表示出来，并用<”号把它们连接起来：-3.5,2,0，之，4， 42012345→ 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点03数轴的应用 应用：(1)比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 (2)求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【易错提醒】 数轴应用易错警示：求两点距离用-bl,勿忘绝对值。动点问题注意起点、方向和速度，列方程时考虑多 种情况。比较数的大小时，先判断点在原点左侧还是右侧。 即时即练1.如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D,其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分 别为-4、-2、1. A D -4 ()请在图中标出点B、C的位置： (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E,求点E对应的数. 03 题型突破 题型1数轴的三要素及其画法 【例1】下面是几名同学画的数轴，正确的是() A.-2-1012 B.-1 012→ C. -2-112 D.-2-1012 【例2】下列数轴表示正确的是() A.21012→ B.23401→ C. -2-1123→ D.-9-630369→ 【技巧归纳】 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线，定原点(O),标正方向(（一般为右箭头)，选取等长 单位刻度。注意单位长度一致，正负数均匀分布，原点位置根据数值范围调整。 【变式1-1】下列数轴表示正确的是() A.-2-1012→ B.-123401→ c.之十十23→ D.9630369> 【变式3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是() 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. 12345→ B.-2-1012 C. -1-2012→ D.-2-1012→ 题型2用数轴上的点表示有理数 【例3】先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接 35,22-0.5,-2,0,号 9 【例4】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来。 025,3-2,+5,月 【技巧归纳】 将有理数标在数轴上：先确定正负，正数在原点的右边，负数在左边。根据数值大小找到对应刻度位置。分数或 小数需估算大致位置，可用等分线段法精确标记。0就是原点本身。注意点的密渡随单位长度变化。 变试】已斑一数：0,325，多 (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： -5-4-3-2-1012345→ (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“<”连接）：一 【变式1】给出下列9个有理数，按下列要求解答： 6543-2-101234> 3,4 ’0,1,045,-5，-77,-2.5,0.3 2 (1)把上面的9个数用“<”排列起来； 2把数3,0,1号，-5，-2.5表示在数轴上. 题型3数轴上两点之间的距离 【例5】如图，数轴上点A表示的数是-1，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 A B -2-101234 【例6】点A、B在数轴上的位置如图所示，则A、B两点的距离AB= A B 2013→ 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 数轴上两点间距离等于它们坐标之差的绝对值，即a-b。计算时，无论两点位置，直接用大坐标减小坐标得正数。 若已知距离和一点坐标，求另一点时需考虑左右两个可能位置（除中点外）。 【变式1-1】已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为-1，点B在数轴的负半轴上，若AB=3,则点B表示 的数为」 【变式3】已知数轴上点A表示的数为-1，点B与点A的距离为5，则点B表示的数为」 题型4数轴上整点覆盖问题 【例7】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是() △012→ A.-1 B.0 C.-3 D.2.5 【例8】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有() -4 2345→ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【技巧归纳】 数轴整点问题：☒间端点是否为整数影响计数。闭☒间含端点，开区间不含。求整点个数时，先确定左右边界整 数值，计算差值后加1（闭区间）。注意区☒间长度与整数间距的关系，避负遗漏边界点。 【变式1-1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 -0.8 1.6 【变式3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ -6.2 0 4356 题型5根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b的大小关系为ab.(填“>”或“<”) a 0 b 【例10】有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，由图可知a,b,c,0的大小关系是」 (用 “>连接) b a 【技巧归纳】 根据点在数轴位置确定其正负，原点右侧为正，左侧伪负。再结合加减运算：大减小为正，小减大为负。两数相 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 乘除，同号得正，异号得负。多个式子组合时，分别判断每个因子符号再整体运算 【变式1-1】有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则c-b0.(填“>”或“<”) p C 3.(24-25七年级上江苏徐州期中)已知a,b在数轴上的位置如图所示，则a-b(用“>”或“<” 填空) e 题型6数轴上的动点问题 【例11】如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是() 2101→ A.-5 B.-1 C.0 D.1 【例12】如图，将点P向右平移2个单位，对应的数是() P -2 0 A.-1 B.O C.1 D.2 【技巧归纳】 动点问题：设动点坐标为起点±速度×时间，方向决定加减。利用两点距离公式列绝对值方程，分左右情况讨论。 注意相遇、追及时刻相等关系，常需分类解方程，最后检翩验解是否在运动范围内。 【变式1-1】在数轴上点A如图所示，将点A在数轴上右移7个单位到达点B,则点B所表示的数为() -5 0 A.7 B.2 C.-7 D.-2 【变式3】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B,如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是() A.1 B.1或-1 C.5或-5 D.4或6 题型7数轴上的规律探究问题 【例13】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A,B,C,D,先将圆周上 的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的-2023所对 应的点将与圆周上字母（)所对应的点重合 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A -3-2-1012 345→ A.A B.B C.C D.D 【例14】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1.若正方形ABCD绕着顶 点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025 所对应的点是() B D -4-3-2-101 2 34→ A.点A B.点B C.点C D.点D 【技巧归纳】 数轴规律题：观察点坐标随序号变化的递增模式（等差、等比或周期），写出通项公式。注意起点位置和步长符 号。常见跳跃或往返运动，需分奇数项、偶数项讨论，可用坐标绝对值或模运算找周期。 【变式1-1】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A,B,C,D,E,F,点A落在1的位置. 如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上-2024的点是点() -4-3-2-101 234 A.B B.C C.D D.E 【变式3】如图，等边三角形ABC的边AC在数轴上，现将等边三角形ABC沿着数轴向右翻滚（无滑动）， 第1次翻滚后点B到点B位置.若点A表示的数为-1，等边三角形ABC的边长为2，则翻滚2024次后点 A在数轴上对应的数为() 第一次第二次 。。。 B A”文 A.2024 B.4047 C.4049 D.6071 04 过关检测 一、单选题 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.下列图形中是数轴的是() A.-10123 B. 4 上 C.-1012 D.-1-20123 2.对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是() M 4-2-101234 A.与3相比，点M表示的数离0更接近B.2.1和点M表示的数之间有5个整数 C.点M表示的数在-3与-2之间 D.点M表示的数和0之间有3个负数 3.点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是-3，若AB=4,则B点表示的数为() A.-7 B.-7或-1 C.-7或1 D.1 4.如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示-1的点重合.圆沿着数轴向右滚动一周，此时点 A表示的数是() A 54-3-2012345→ A.-1+2π B.1-π C.1-2π D.-1+π 5.在数轴上，把原点记作O,表示数2的点记作A,对于数轴上任意一点P(不与点O,A重合)，将线 段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值”，记作P,即P=PO PA 已知数轴上两点M,N, M=1,N=4,则线段MN最长为() c D. 8 二、填空题 6.在下图中，点A表示的数是 ，A十十 -1 0 7.数轴上A,B两点对应的数分别是-1.3和了，则A,B之间的整数有 个. 8.如图，点O,A,B,C在同一条数轴上，其中点O,A,C表示的数分别为0，-2,5且A0=B0,则 BC= A 6 -2 0 5 9,如图，数轴上的点A、B、C刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10.该数轴的原点为O,向右 为正方向，若点A,C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A ⊙ Wm一→ 0 2 3 4 5 6 8910 10.如图，点A,B,C在同一条数轴上，其中点A,B表示的数分别为-2,1，若AC=2BC,则点C表示的数 为 A B -5-4-3-2-1012345 三、解答题 11.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“<”连接起来： 4,-2,-45,月，0 12.如图，数轴的单位长度为1，点A表示的数是-4. B (1)在数轴上用0标出原点： (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点C,使它与点B的距离为1.5个单位长度，那么点C表示什么数？ 13.如图，在数轴上有三个点A、B、C,请回答下列问题. A B C 54-3克1012；45→ (I)A、B、C三点分别表示-、-、-； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是_： (3)将点A平移mm>0)个单位长度，点A所表示的数是_ 14.如图，在数轴上有A、B、C三点. (1)点B表示的数是； (2)点D与点C到A点的距离相等且两点不重合，则点D表示的数是： ③)请在数轴上描出)，用点E表示，将点C、D、E三个点表示的数用“<”连接 15.“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示 方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体 的形有机的联系起来.完成下列问题： (1)填空：规定了 和 的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数3+x和3-x分别对应的点B和C: 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A02 (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是α、b 、c、d,且满足d=a+b+c,求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O. 分 16.如图，数轴上点A表示的有理数为-5，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长 度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到 点B后停止运动.设点P运动的时间为s. A -65-4-3-201234567890 (I)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当t=6时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是-3时，求1的值 10/10 第03讲 数轴 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3 数轴上两点之间的距离 题型4 数轴上整点覆盖问题 题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型6 数轴上的动点问题 题型7 数轴上的规律探究问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴、原点、正方向、单位长度、三要素、数形结合。 1. 掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，能正确画出数轴。 2. 能用数轴上的点表示有理数，并能读出数轴上的点表示的数。 3. 理解数轴上点的位置与数的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小（右边的数总比左边大）。 4. 体会数形结合的数学思想，感受数与形的对应统一。 学习重点：数轴的三要素及画法，用数轴上的点表示有理数。 学习难点：理解数轴上的点与有理数的对应关系（不是一一对应，因为无理数以后才学），以及利用数轴比较负数的大小（越向左越小）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 【易错提醒】 数轴定义易错警示：数轴需同时具备**原点、正方向、单位长度**三要素。缺一不可。单位长度应均匀，正方向一旦选定不能更改，原点位置可任意，但必须标出。 即时即练1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 知识点02 数轴的性质 对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【易错提醒】 数轴性质易错警示：数轴上右边的数总比左边大；每个实数都有唯一对应点。注意：点与数一一对应，但单位长度不均匀或未标原点时无法比较大小。勿默认整点即整数。 即时即练1．把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”号把它们连接起来：，2，0，，4． 【答案】，图见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】在数轴上表示各个数，再比较即可． 本题考查了数轴和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：用数轴上的点表示如图所示， 由数轴可知：． 知识点03 数轴的应用 应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【易错提醒】 数轴应用易错警示：求两点距离用 |a-b|，勿忘绝对值。动点问题注意起点、方向和速度，列方程时考虑多种情况。比较数的大小时，先判断点在原点左侧还是右侧。 即时即练1．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上点的特点． （1）根据、B、所对应的数，为原点，确定和B的位置即可； （2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点C为原点， ∴点C在点D左侧1个单位处， ∵点B表示的数为， ∴点B在点C的坐标2个单位处， 点B、C的位置，如图所示． （2）解：∵一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E， ∴点E表示的数为． 题型1 数轴的三要素及其画法 【例1】下面是几名同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴的画法，掌握数轴三要素的解题关键． 根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度，即可判断． 【详解】解：数轴三要素：原点、正方向、单位长度，则： A选项，满足三要素，符合题意； B选项，单位长度不一致，不符合题意； C选项，没有原点，不符合题意； D选项，没有正方向，不符合题意． 故选：A． 【例2】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A. 具备了三要素，但是单位长度不同， 该选项错误，不符合题意；     B. 具备了三要素，但是负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意；     C. 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D. 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线，定原点（0），标正方向（一般为右箭头），选取等长单位刻度。注意单位长度一致，正负数均匀分布，原点位置根据数值范围调整。 【变式1-1】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的“三要素”，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、数轴中的单位长度不一致，故A选项错误； B、数轴中的负数排列顺序错误，故B选项错误； C、数轴中没有原点，故C选项错误； D、的数轴是正确的数轴，故D选项正确． 故选：D． 【变式3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．该数轴无原点，故不正确； B．该数轴无正方向，故不正确； C．该数轴原点左边的数值标错，故不正确； D．该数轴具备数轴三要素，故正确； 故选D． 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例3】先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、数轴等知识点，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案，熟练掌握利用了数轴比较有理数的大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解∶如图， 按照小到大排列，并用“<”连接如下： ． 【例4】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接利用已知数在数轴上表示，进而由右边的数比左边的数大比较大小得出答案． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由数轴可知，用“”将它们连接起来为：． 【技巧归纳】 将有理数标在数轴上：先确定正负，正数在原点的右边，负数在左边。根据数值大小找到对应刻度位置。分数或小数需估算大致位置，可用等分线段法精确标记。0就是原点本身。注意点的密度随单位长度变化。 【变式1-1】已知一组数：0，3，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． （1）根据数轴的特点，在数轴上表示出各数即可； （2）数轴上左边的数小于右边的数，据此用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由数轴可得． 【变式1】给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 【答案】(1) (2)见详解； 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； 【详解】（1）解：将3，，0，，，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： 题型3 数轴上两点之间的距离 【例5】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴A，B两点间的距离是：， 故答案为：4． 【例6】点A、B在数轴上的位置如图所示，则A、B两点的距离 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握两点间的距离公式，解为右边的数减去左边的数，或者是两个数的差的绝对值．直接利用右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧归纳】 数轴上两点间距离等于它们坐标之差的绝对值，即|a-b|。计算时，无论两点位置，直接用大坐标减小坐标得正数。若已知距离和一点坐标，求另一点时需考虑左右两个可能位置（除中点外）。 【变式1-1】已知数轴上有两点，点表示的数为，点在数轴的负半轴上，若，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴； 根据点在数轴的负半轴上，且，直接列式计算即可． 【详解】解：∵点表示的数为，，点在数轴的负半轴上， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式3】已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键． 【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为或者， 故答案为：或． 题型4 数轴上整点覆盖问题 【例7】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D．2.5 【答案】A 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，墨渍遮挡住的点在0的左边且距离0一个单位，即可得出结论． 【详解】解：在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数为负数，可能是． 故选：A． 【例8】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【技巧归纳】 数轴整点问题：区间端点是否为整数影响计数。闭区间含端点，开区间不含。求整点个数时，先确定左右边界整数值，计算差值后加1（闭区间）。注意区间长度与整数间距的关系，避免遗漏边界点。 【变式1-1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 【变式3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论； 【详解】解：根据题意由数轴得：， ∴， 故答案为：； 【例10】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，由图可知a，b，c，0的大小关系是 （用“>”连接）．    【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，在原点左边离原点越近的点表示的数越大，在原点右边离原点越远的点表示的数越大． 【详解】解：由图可知，． 故答案为：． 【技巧归纳】 根据点在数轴位置确定其正负，原点右侧为正，左侧为负。再结合加减运算：大减小为正，小减大为负。两数相乘除，同号得正，异号得负。多个式子组合时，分别判断每个因子符号再整体运算。 【变式1-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，由此可解． 【详解】解：由图可知，数轴上c在b的右侧， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 【答案】< 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】先比较出的大小，然后在进行移项可得到问题的答案．此题考查了数轴以及有理数的大小比较，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：且， 如图所示： ． 故答案为：． 题型6 数轴上的动点问题 【例11】如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：D． 【例12】如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 【技巧归纳】 动点问题：设动点坐标为起点±速度×时间，方向决定加减。利用两点距离公式列绝对值方程，分左右情况讨论。注意相遇、追及时刻相等关系，常需分类解方程，最后检验解是否在运动范围内。 【变式1-1】在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【变式3】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 题型7 数轴上的规律探究问题 【例13】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【例14】正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 【技巧归纳】 数轴规律题：观察点坐标随序号变化的递增模式（等差、等比或周期），写出通项公式。注意起点位置和步长符号。常见跳跃或往返运动，需分奇数项、偶数项讨论，可用坐标绝对值或模运算找周期。 【变式1-1】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 【变式3】如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 一、单选题 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴． 【详解】解：A、符合所有条件，是数轴，该选项符合题意； B、没有原点，该选项不符合题意； C、单位长度不一样长，该选项不符合题意； D、原点左边数据标错，该选项不符合题意． 2．对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【答案】D 【详解】解：A、与3相比，点M表示的数离0更接近，说法正确，该选项不符合题意； B、2.1和点M表示的数之间有5个整数，说法正确，该选项不符合题意； C、点M表示的数在与之间，说法正确，该选项不符合题意； D、点M表示的数和0之间有无数个负数，原说法错误，该选项符合题意． 3．点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，需考虑点B在点A左右两侧两种情况． 【详解】解：设点B表示的数为 ∵点A表示的数是，， ∴根据数轴上两点间距离公式，得，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 4．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 5．在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 二、填空题 6．在下图中，点A表示的数是_______． 【答案】 / 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是. 7．数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 【答案】5 【分析】本题考查了数轴上的数，确定数轴上从到之间的所有整数，并计数即可． 【详解】解：A、B之间的整数有，，，，，共5个． 故答案为5． 8．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 9．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 10．如图，点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，1，若，则点表示的数为___________． 【答案】0或4 【分析】本题考查数轴上线段的长度，通过确定点的不同位置，结合线段和差关系计算． 【详解】解：∵点、表示的数为、， ∴． 当点在线段上时： ∵，且， ∴，解得， ∴点表示的数为； 当点在线段的延长线上时： ∵，且， ∴，即， ∴点表示的数为； 当点在线段的延长线上时： 此时，与矛盾，故此情况不成立； 综上，点表示的数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【详解】略． 12．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 13．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 14．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 15．“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2)见解析 (3)B点表示的数为4，见解析 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求， （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 如图，在数轴上标出原点O． 16．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $