第15讲 实际问题与反比例函数（5类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第15讲实际问题与反比例函数 了内容号航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破一→析考点· 破方法：典型题型深度拆解 题型1一次函数与反比例函数图象综合判断 题型2一次函数与反比例函数的交点问题 题型3一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型4反比例函数的实际应用 题型5一次函数与反比例函数的实际应用 04过关检测→练考点· 强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.能根据实际问题中的反比例关系，建立反比例函数模型心y=奈，0)。 2.掌握利用反比例函数的图象和性质解决实际问题，如面积、体积、工程、 反比例函数、建模、k 行程等问题。 0、自变量范围、图象、 3.能根据实际问题背景确定自变量的取值范围，并分析函数值的变化趋势。 变化趋势、检验。 4.经历“问题一建模一求解一检验”的过程，体会数学建模思想，培养应用 意识。 学习重点：建立反比例函数模型解决实际问题，利用反比例函数的性质分析问题中的变量关系。 学习难点：准确找出实际问题中的反比例关系（如乘积为定值），以及根据实际意义确定自变量的取 值范围，并能结合图象解释问题的解。 02 教材全解 知1识1框|架 1/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 乘积一定成反比关系判断口快 行程问题路程一定时速度与时问成反比 审膜建模列解析 解题方法与口诀 工程问题工作总显一定时效率与时铜成反比 代入求k用性质 解题思路 矩形面积一定时长与充成反比 结合实际再作答 常见模型 面积体积问 体积一定时底面积与高成反比 反比例关系判断错误 杠杆问题 力与力臂城诚反比 白变量取值范围请漏 高频易错点 压力压强问题 压力一定时压强与受力面积成反比 单位换算忽略 电学问题 电压一定时电流与电阻成反比 实际章义检验缺失 找出已知与未知量 反比制关系识别 实际问题与反比例函数 审题建模 确定反比刷关系 解析试求法 设自变量与因变量 高频考点 实标问第综合应用 根据等量关系列y=k/X 列解析式 图表信息题 解题步骤 注意白变量取值范围 长度时向速度非负 代入已知点求k 实乐皇义约束 利用性质求解 人数件数取空数 根据增减性判断 自变量取值范围 限定范国 验证是否符合实际 题目条件限制 特殊要求 检验作答 检查取值范围 写出最终答案 知|识|精|讲 知识点01一次函数与反比例函数的交点坐标 (1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定 ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。 (2)从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【易错提醒】 一次函数与反比例函数交点坐标易错警示：联立解析式得方程，解出x后需代回验算，确保分母不为0且 满足两方程。注意：交点个数由判别式或图象判断，可能无交点、一个或两个。勿漏解。 即时即练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=:+b的图象与反比例函数y=严的图象交于 点A(-1,-2),B(2,n两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： {2)观察图象，请直接写出不等式：+b≤”的解集； (3)若P是x轴上一点，且满足aPAB的面积是6，直接写出点P的坐标. 2/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02利用反比例函数解决实的题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问 题. 2.一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示 (2)由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数 (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题， 【易错提醒】 利用反比例函数解实际问题易错警示：正确建立y=模型，注意自变量范围（如数量、时间>0）。求函数 值时勿忘单位统一，结果需符合实际意义（如人数取整数）。注意图象是两支，但实际问题通常只有一支。 即时即练1.如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降.经调查发现，近视眼镜的度数y(度) 与镜片的焦距x(米)是反比例函数关系，图象如图所示： y/度 500 00.2 x/米 (1)写出这一函数表达式： (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调 整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 知识点03反比例函数在其他学虫的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数： 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数 【易错提醒】 反比例函数跨学科应用易错警示：物理（压强与面积、电压与电阻）、化学（气体体积与压强）中，注意 变量是否为反比关系，同时单位要统一。利用yk计算时，勿混淆变量对应关系，且k为常数。 即时即练1，我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最大电阻为72 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆时，电流1为12安培. 361(安培) 30 24 18 6 可4812162024R(欧姆) (1)求电流I(安培)关于电阻R(欧姆)的函数表达式： (2)若4≤R≤72，求电流I的变化范围， 03 题型突破 题型1一次函数与反比例函数图象综合判断 【例1】在同一直角坐标系中，函数y=和y=:-4的图象大致是（) 【例2】函数y=《与y=-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是() 【技巧归纳】 4/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 先分别根据已知条件确定各自系数符号，再检验它们是否在同一直角坐标系中相符（如一次函数增减性与反比例 所在象限)。常用假设法：假设一个成立，推导参数范围，验证另一个是否矛盾。也可通过交点代入联立验证。 【变式1】如图，在同一个平面直角坐标系中，函数y=b 与y=ax+b的图象可能是() ·衣头 【变式1-2】函数y=(a≠0)与y=ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是() 题型2一次函数与反比例函数的交点问题 【例3】已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=6-2x的图象的一个交点的横坐标为4，则k的值为() A.-6 B.-2 C.-8 D.4 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y=《(k≠0)交于点A-2,3),B(3,-1) 则满足不等式ar+b>◆的x的取值范围是() X A.0<x<3 B.-1<x<0或x>3 C.-2<x<0或x>3 D.x<-2或0<x<3 【技巧归纳】 联立方程：令一次函数y=1x+b与反比例y=红x相等，得k1x2+bx-k2=O。判别式△决定交点个数，△>0 两交点，△-0相切，△<0无交点。求交点坐标即解方程。注意反比例定义域x≠0。 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】已知直线y=-x+4与双曲线y=x>0)只有一个交点，将直线y=-x+4向上平移1个单位后与 双曲线y=x>0)相交于A,B两点，如图，则A点的坐标为() B A.(1,4 B.(1,5 C.2,3 D.（2,4) 2 【变式2-2】如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数片=二的图象交于A、B两点，过点A作AC1x轴 于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的有() ①A和点B关于原点对称；②当x<1时，片>y2;③S。4oc=SABOD;④当x>0时，、y2都随x的增大而 增大. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型3一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例5】如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=m与直线y=-2x+2交于点A-1,a). (1)求a,m的值； (2)设直线y=-2x+2与x轴交点为C,连接A0,求△A0C的面积. 6/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例6)如图，直线y= x+3与y轴交于A,与双曲线y=(x>0)交于B(m,4).将直线AB平移，与x轴交 于C,与双曲线交于D. B (1)求双曲线的解析式。 (2)当CD=AB时，求点C,D的坐标 【技巧归纳】 综合题常见：求交点及面积（用割补法或坐标差求三角形面积）；根据图象位置写不等式解集；利用函数值大小 比较。巧用k的几何意义（矩形面积）。注意自变量取值范围，分类讨论交点所在象限。 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB:y=:-2与y轴相交于点A,与反比例函数y=8在 第一象限内的图象相交于点B(m,2). (1)求直线AB的表达式： (2)将直线AB沿y轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C,若S。Bc=18,请 求出n的值 【变式3-2】已知正比例函数y=x与反比例函数y=的图象在第一象限交于点M2,d. 7/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的解析式： 2)如图，将直线y=x向上平移b个单位后与y=的图象交于点4，m和点Bm,-), ①求AOB的面积； ②直接写出不等式x+b>k的解集， 题型4反比例函数的实际应用 【例7】光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lux),智能玻璃可以通过自动调节其 透明度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度y(Lx)是透明度x(%)的反比例函数， 其图象如图所示. y/(Lux) 6000 5000 4000 3000 2000 4A(30,2000) 1000F 0102030405060x/(%) (1)求出y与x之间的函数表达式： (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意.它适宜在照度为2000≤y≤5000的室内生长，那么智能玻璃的 透明度x应控制在什么范围内？请说明理由。 【例8】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由 木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体 的重量.小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”.如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑 在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点0右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆 保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y(单位：N)是x(弹簧秤与中点O的距离) (单位：cm)的反比例函数，当x20时，y=30. (1)求y关于x的函数表达式： (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值： (3)若弹簧秤的最大量程是100N,求x的取值范围. 8/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【技支巧归纳】 实际问题中，若两变量乘积为定值，则成反比例。根据已知数据求k,得解析式。利用解析式求未知量，注意自 变量的实际限制（如长度0、人数妫正整数）。结合图像分析变化趋势，如当x增大时y减小。 【变式4-1】小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度1（单位：A)和电阻R(单位：2）的数量 关系，通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得 到如表的数据： R(2 20 30 40 50 60 I(A) 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 w (1)请写出适当的函数表达式表示变量1与变量R的数量关系 (2)当电阻的阻值为R时，电路中的电流强度为【，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入 电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由 【变式4-2】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔 的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现L的长 度Cm和重物B的质量xW之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： A B 桔槔 ←y/cm 6 4 32 1020304050x7N 9/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x/N 10 16 20 25 40 50 y/cm 8 5 4 3.2 2 1.6 (1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y); 2)根据表中数据，从y=ax+ba≠0)和y=《(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物B的质量 Y 为xW和的长度为Cm的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； (3)在(2)的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在(2)中所求函数的图象上存在点C, 使得S。48c=40,请求出所有满足条件的点C的坐标. 题型5一次函数与反比例函数的实际应用 【例9】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示， 消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段 为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题： y(效力) 6---- 3A D 1030 x(时间) (1)第10分钟时消毒效果为 效力； (2)当x210时，求y与x之间的函数关系式： (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【例10】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药 量y(mg)与燃烧时间x（分钟)成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）·现测得药物10分钟燃 完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg.据以上信息解答下列问题： Ay(mg) 2 O 10 分) (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； 10/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式： (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【技巧归纳】 先确定变量关系：若和为定值用一次，积为定值用反比例。根据实际条件列方程组求解析式，再求交点（如平衡 点)。注意定义域须符合实际，如价格0、时间0。结果要检验合理性 【变式5-1】如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水 温开始下降，此时水温y(C)是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为20C时开始加热，水温y与通 电时间x之间的函数关系如图2所示. Ay/C 100-- 20 x/min 图1 图2 (1)将水从20C加热到100C需要-min: (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式： (3)加热一次，水温不低于40C的时间有多长？ 【变式5-2】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段 的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(C©与时间x()之间的函数关系，其中线段AB、BC表示 恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段. 请根据图中信息解答下列问题： ◆y(℃) 14 10A D 可2510 24xh) (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少C; (2)求全天的温度y(C)与时间xh)之间的函数关系式： (3)若大棚内的温度低于12C时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免 水果生长受到影响？ 11/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.在平面直角坐标系x0y中，过点0的直线与y=k(k<0)的图象交于A2,)和8，l)两点，则a+b的值 为() A.-1 B.1 C.-3 D.3 2.在同一直角坐标系中，函数y=3张 和y=-5x+8的图象大致是() 3.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数为=上(，≠0，x<0)的图象交于 45,),8-1,6两点，当<4时，自变量x的取值范围是(） B 6 A 6 5 1 A.x<-5 B.x<-5或x>-1 12/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.-5<x<-1 D.x<-5或-1<x<0 4.某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从20℃匀速升至100C,加热时间为10分钟；然 后自动转为恒温沸腾模式，保持100℃持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降.下降过程中，锅内 温度y(C)与启动加热后通电时间xm)成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）·当温 度降至60C时，自动启动保温功能.如图是开始启动加热过程中，锅内温度y(C)与通电时间xmi)的函 数关系图象，则下列说法中错误的是() 个/C 100 20 10 x/min A.启动后5分钟时，锅内温度为60C B.加热阶段，y与x的函数关系式为y=8x+20 C.启动后15分钟时，锅内温度为80C D.从启动到启动保温功能，锅内温度不低于80°C的总时长为8分钟 5,有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系.如图1是人的最大心率x与年龄α的 关系，如图2是有氧运动的适宜心率y(即从安静心率到运动时心率)与最大心率x的关系，如图3是有氧 运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间的关系.根据图象判断，下列说法中错误的是() (最大心率：次/分) (运动时心率：次/分) (心率与最大心率的比值) x不 A 运动心率 SA 200 G HI 17 0.8 38 安静心率 0.75 104 0.65 204053 160200x 00.5 (年龄：岁) 最大心率：次/分) 2(运动时间：h 图1 图2 图3 A.45岁的健康人最大心率约为175次/分 B.有氧运动的适宜心率范围在117~153的人年龄约为40岁 C.将有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可 以看成一个反比例函数图象的一部分 D.30岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为148次/分 二、填空题 6.若双曲线y=k与直线y=x+1的一个交点的横坐标为-2，则k的值为· 7.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流1（单位：A)与电阻R(单位：Ω）是反比例函数关 13/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 系，它的图象如图所示，当电阻为42时，电流【为A. I/A 8 R/ 8.如图，过原点的直线与反比例函数y=《(k>0)的图象交于Am,m,Bm-2,-8)两点，则k的值为 B 9.某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x(单位：元)的反比例函 数，其图像如图所示.该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元， 则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件.当该产品的月需求量和月供应量相等 时，其销售单价为元. 万件 40 x/元 10.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=《的图象交于A1,3),B(m,-2)两点，与y轴交于点 C,点P在坐标轴上，且△PAC是以AC为底的等腰三角形，则P点的坐标是 三、解答题 14/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.如图，反比例函数y=(k≠0)与正比例函数y=mx(m￥0)的图象交于点A-2,3)和点B,点C 是点A关于y轴的对称点，连接AC,BC. VA (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式： (2)求ABC的面积： (3)请结合函数图象，直接写出不等式≤mr的解集， 12.为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中 的含药量y(mg)与燃烧时间x(mi)成正比例.燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）·根据图中信息 解答下列问题： Ay/mg 8 10 x/min (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围： (2)当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒副作用.那么从有人开始消毒，至少经过多长 时间后学生才可以回教室. 13.如图，已知一次函数)=x+1的图像与坐标轴交于点C,D,与反比例函数y=-《的图像交于点A1,m), B(n,-1. D (1)直接写出点C,D的坐标： (2)直接写出m,n的值，并求反比例函数的表达式； (3)连接OA,求△A0C的面积. 15/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长入（单位：m)会随着电磁波的频率f(单位： MHz)的变化而变化.已知波长λ与频率f(f>O)是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f/MHz 10 20 30 波长m 60 30 20 个fMHz 60 50 40 30 20 10 01020304050601/m (1)求波长1关于频率∫的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数（∫>0）的图象； (2)当1=4时，求电磁波的频率f. 15.如图1.在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码， 可使得仪器左右平衡.改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 x/cm 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 ylg ◆y以g 35 30 20 15 B 10 5 5101520253035x/cm 图1 图2 (I)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲 线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为24g时，求托盘B与点0的距离： (4)当托盘B向左移动6c时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动 前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量， 16/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17/17 第15讲 实际问题与反比例函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型2 一次函数与反比例函数的交点问题 题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型4 反比例函数的实际应用 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数、建模、k≠0、自变量范围、图象、变化趋势、检验。 1. 能根据实际问题中的反比例关系，建立反比例函数模型（y =，k≠0）。 2. 掌握利用反比例函数的图象和性质解决实际问题，如面积、体积、工程、行程等问题。 3. 能根据实际问题背景确定自变量的取值范围，并分析函数值的变化趋势。 4. 经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数学建模思想，培养应用意识。 学习重点：建立反比例函数模型解决实际问题，利用反比例函数的性质分析问题中的变量关系。 学习难点：准确找出实际问题中的反比例关系（如乘积为定值），以及根据实际意义确定自变量的取值范围，并能结合图象解释问题的解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定 ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。 （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【易错提醒】 一次函数与反比例函数交点坐标易错警示：联立解析式得方程，解出x后需代回验算，确保分母不为0且满足两方程。注意：交点个数由判别式或图象判断，可能无交点、一个或两个。勿漏解。 即时即练1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P是x轴上一点，且满足的面积是6，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，一次函数与几何图形，根据图象求出不等式的解集，作出辅助线表示出的面积是解题的关键． 对于（1），将点代入可得反比例函数关系式，再将点代入反比例函数关系式可得坐标，然后将点A，B代入一次函数关系式，求出解可得关系式； 对于（2），根据交点的横坐标，再根据反比例函数图象在一次函数图象上方可得答案； 对于（3），先设点P的坐标，再表示出，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ∴反比例函数关系式为； 将点代入反比例函数关系式， 得， ∴点． 将点，代入一次函数关系式， 得， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：观察图象可得：当或时，； （3）解：如图所示， 当时，， 解得， ∴点， ∴． ∵的面积是6， ∴， 解得， 当点P在原点左侧时，点； 当点P在原点右侧时，点． 所以点P的坐标为或． 知识点02 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【易错提醒】 利用反比例函数解实际问题易错警示：正确建立y=模型，注意自变量范围（如数量、时间>0）。求函数值时勿忘单位统一，结果需符合实际意义（如人数取整数）。注意图象是两支，但实际问题通常只有一支。 即时即练1．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1) (2)200度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 知识点03 反比例函数在其他学科中的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【易错提醒】 反比例函数跨学科应用易错警示：物理（压强与面积、电压与电阻）、化学（气体体积与压强）中，注意变量是否为反比关系，同时单位要统一。利用xy=k计算时，勿混淆变量对应关系，且k为常数。 即时即练1．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例1】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象．根据k的正负讨论反比例函数和一次函数图象的位置即可判断． 【详解】解：若，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 【例2】函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 【技巧归纳】 先分别根据已知条件确定各自系数符号，再检验它们是否在同一直角坐标系中相符（如一次函数增减性与反比例所在象限）。常用假设法：假设一个成立，推导参数范围，验证另一个是否矛盾。也可通过交点代入联立验证。 【变式1-1】如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查反比例函数及一次函数图象的判断，根据a，b的符号判断两个函数图象经过的象限，再判断即可 根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A.由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； B. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，故正确； C. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； D. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； 故选B． 【变式1-2】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质、一次函数的图象性质等知识点，熟练掌握反比例、一次函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合． 故选：B． 题型2 一次函数与反比例函数的交点问题 【例3】已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键．将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得k的值． 【详解】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：C． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，满足不等式的的取值范围是或， 故选：． 【技巧归纳】 联立方程：令一次函数y=k₁x+b与反比例y=k₂/x相等，得k₁x²+bx-k₂=0。判别式Δ决定交点个数，Δ>0两交点，Δ=0相切，Δ<0无交点。求交点坐标即解方程。注意反比例定义域x≠0。 【变式2-1】已知直线与双曲线只有一个交点，将直线向上平移个单位后与双曲线相交于，两点，如图，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与双曲线的交点问题，直线的平移，了解直线与双曲线只有一个交点，得到关于x的整式方程的判别式等于0求出k值是解题的关键． 解方程，化为整式方程，由于直线与双曲线只有一个交点，有即可求出反比例函数解析式，求出直线向上平移1个单位后解析式，解两解析式，联立成的方程组即可求出A，B的坐标． 【详解】解：解方程， 化为整式方程， 直线与双曲线只有一个交点， ， 解得：， ， 直线向上平移个单位后解析式为， 解方程组， 解得：，， ，， 故选：A． 【变式2-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，下列说法正确的有(    ) ①A和点B关于原点对称；②当时，；③；④当时，都随x的增大而增大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，求出两函数解析式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断①；根据图象的特点即可判断②；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出两个三角形的面积，即可判断③；根据图形的特点即可判断④． 【详解】解：①联立，解得或， ∴， ∴A、B不关于原点对称，故①错误； ②由图象可知，当或时， ，故②错误； ③∵， ， ∴，故③正确； ④当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，故④错误； 故选：A． 题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例5】如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点． (1)求，的值； (2)设直线与轴交点为，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，一次函数与三角形的面积问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）把代入求出，再把代入求出的值； （2）先求，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）把代入， 得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为 （2）当时，有，解得：， ∴，， ∴． 【例6】如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【答案】(1)双曲线的解析式为 (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确理解题意，找到各点与表达式间的关系是正确解答此题的关键． （1）将代入，求得m，即可求解； （2）作轴于轴于． 证明（AAS）．得．由，得．即可求得点D坐标，设直线为，代入点D坐标，即可求解点C坐标． 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得． 解得． 将代入双曲线的解析式中，得． 双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则． ． ， ， ． ． 由题意，， ． 由，得． ； 设直线为，则． ， 直线为． 由，得． ． 【技巧归纳】 综合题常见：求交点及面积（用割补法或坐标差求三角形面积）；根据图象位置写不等式解集；利用函数值大小比较。巧用k的几何意义（矩形面积|k|）。注意自变量取值范围，分类讨论交点所在象限。 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先求出点．再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接BD．根据列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． （2）记平移后的直线与轴的交点为，则， 连接， ． ． 即：． ． 【变式3-2】已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 题型4 反比例函数的实际应用 【例7】光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 【例8】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)弹簧秤的示数的最小值为 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性和不等式的解法是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，把时，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵弹簧秤的示数是的反比例函数， ∴设关于的函数表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为． （2）解：∵关于的函数表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为． ∴弹簧秤的示数的最小值为． （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 【技巧归纳】 实际问题中，若两变量乘积为定值，则成反比例。根据已知数据求k，得解析式。利用解析式求未知量，注意自变量的实际限制（如长度>0、人数为正整数）。结合图象分析变化趋势，如当x增大时y减小。 【变式4-1】小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)电阻阻值缩小为原来的，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12，写出函数关系式即可； （2）当时，，结合，即可得出结论． 【详解】（1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12． 设， ∴， ∴． （2）电阻阻值缩小为原来的，理由如下： 当时， ； ∵， ∴ 【变式4-2】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 【例9】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【例10】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【技巧归纳】 先确定变量关系：若和为定值用一次，积为定值用反比例。根据实际条件列方程组求解析式，再求交点（如平衡点）。注意定义域须符合实际，如价格>0、时间>0。结果要检验合理性。 【变式5-1】如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【变式5-2】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 2．在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 3．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 4．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（     ） A．启动后5分钟时，锅内温度为 B．加热阶段，与的函数关系式为 C．启动后15分钟时，锅内温度为 D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 【答案】D 【分析】根据题意分别求出加热阶段一次函数解析式、恒温阶段常数、降温阶段反比例函数解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意可知，加热阶段图象过点和， 设加热阶段函数解析式为， 则， 解得， 加热阶段解析式为，故B选项说法正确，不符合题意； 当时，，故A选项说法正确，不符合题意； 恒温阶段时间为10至12分钟，温度为； 降温阶段，y与x成反比例，设，断电时刻为第12分钟，此时温度为， 图象过点 ∴， ∴降温阶段解析式为， 当时，则，故C选项说法正确，不符合题意； 对于D选项，求温度不低于的时长， 在加热阶段，令，解得，时长为， 在恒温阶段，，时长为； 降温阶段，令，解得，时长为， 总时长为；故D选项说法错误．符合题意. 5．有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系．如图1是人的最大心率x与年龄a的关系，如图2是有氧运动的适宜心率y（即从安静心率到运动时心率）与最大心率x的关系，如图3是有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系．根据图象判断，下列说法中错误的是（   ） A．岁的健康人最大心率约为次/分 B．有氧运动的适宜心率范围在的人年龄约为岁 C．将有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可以看成一个反比例函数图象的一部分 D．岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为次/分 【答案】C 【详解】根据图1，可知人的最大心率与年龄的关系是，岁的健康人最大心率大约是（次/分），故选项A正确，不符合题意； 根据图2，可知有氧运动的适宜心率（即从安静心率到运动时心率）是最大心率的倍，有氧运动的适宜心率范围在的人最大心率是或，年龄是（岁），故选项B正确，不符合题意； 有氧运动的实际心率与最大心率比值同运动时间的关系图象向下平移若干单位，仍然与轴有交点，不可能是一个反比例函数图象的一部分，故选项C错误，符合题意； 岁的健康人最大心率是次/分，进行有氧运动一个小时对应实际心率与最大心率比值大约是，此时的心率大约是（次/分），故选项D正确，不符合题意． 二、填空题 6．若双曲线与直线的一个交点的横坐标为，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据交点的横坐标，代入直线解析式得到交点的纵坐标，确定交点坐标后，将交点坐标代入双曲线解析式，即可求出的值． 【详解】解：将代入直线得，， 则交点坐标为， 将代入得，． 7．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流为______． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为：，把代入计算出反比例函数的解析式，再把代入运算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象可得：反比例函数经过点， ∴把代入可得： 解得：， ∴ 把代入可得：． 8．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 9．某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【详解】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，点在坐标轴上，且是以为底的等腰三角形，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】求出点坐标，进而求出直线的解析式，求出点坐标，再分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 当是以为底的等腰三角形时，则， 当点在轴上时，设， ∴， ∴，解得； ∴； 当点在轴上时，设， ∴， ∴，解得； ∴； 综上：或. 三、解答题 11．如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)12 (3)或 【分析】（1）把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式，再把点代入可得m的值，求得正比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点代入（）得 ∴反比例函数的解析式为     把点代入（）得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， ，     ； （3）解：根据图象得不等式的解集为或． 12．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 13．如图，已知一次函数的图像与坐标轴交于点，，与反比例函数的图像交于点，． (1)直接写出点，的坐标； (2)直接写出，的值，并求反比例函数的表达式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1),， (2)，，． (3) 【分析】（1）分别把代入函数解析式即可求得点，的坐标； （2）把、代入一次函数即可求得，的值；进而确定点的坐标，进而求得反比例函数解析式； （3）先求得的长，然后结合图形求的面积即可． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，解得：，即． 当时，，即． （2）解：将代入可得，即； 将代入可得，解得：； 将代入可得，解得：， 所以反比例函数解析式为． （3）解：如图： ∵， ∴，点A到y轴的距离为1， ∴的面积为． 14．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 【答案】(1)， 图象如下：    (2)当时，电磁波的频率为 【分析】（1）设波长关于频率的函数解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而画出图象即可． （2）将代入反比例函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数解析式为． 把点代入上式中，得， 解得， ． （2）解：当时，， ． 答：当时，电磁波的频率为． 15．如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设在移动前托盘中的砝码质量为，则在移动前托盘与点的距离为，根据当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据图象可知是关于的反比例函数， 设， 将代入得， 解得， ∴； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：设在移动前托盘中的砝码质量为， 由题意得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $